2023学年高二年级第二学期温州环大罗山联盟期中联考数学试题考生须知：1本卷共4页满分150分，考试时间120分钟2答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字3所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效4考试结束后，只需上交答题纸选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1. 设全集，集合，则=（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用补集、并集的定义直接求解即得.【详解】依题意，全集，则，得，所以.故选：B2. “”是“关于的不等式成立”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式得到解集，由为或的真子集，得到结论.【详解】，解得或，由于为或的真子集，故“”是“关于的不等式成立”的充分不必要条件.故选：A3. 幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】首先根据幂函数的单调性，确定得到取值，再回代函数确定函数的奇偶性，即可求解.【详解】因为幂函数，在区间上是减函数，所以，解得：，因为，得，当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去，当时，函数是偶函数，关于轴对称，故舍去，当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去，所以.故选：A4. 若数据，的方差为，则，的方差为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据方差性质，即可求解.【详解】由方差公式的性质可知，新数据，的方差为.故选：C5. 为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校要安排2名大学生，则不同的安排方法种数为（ ）A. 30B. 60C. 90D. 120【答案】B【解析】【分析】首先安排甲校，再按照不平均分组分配安排其他3人，根据分步计数原理，即可求解.【详解】甲校安排2名大学生有种方法，剩下的3名大学生安排到其余2所学校，有种方法，所以不同的安排方法有种方法.故选：B6. 已知某校有2400名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的有（ ）（参考数据：；A. 这次考试成绩超过100分的约有1000人B. 这次考试分数低于70分的约有40人C. D. 从中任取4名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为【答案】D【解析】【分析】由正态分布的性质即可得到A、B、C选项，用二项分布能够解决D.【详解】由公式得到，所以超过100分的占，所以有人，所以A错；低于分的概率为，所以大约有人，故B错；，故C错；分数超过100分的概率为，至少有2人的分数超过100分的概率为，符合题意，故D对.故选：D.7. 函数，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先分析出为偶函数，且在上单调递减，比较出，得到答案.【详解】的定义域为，其中，故为偶函数，当时，故，由复合函数单调性可知，在上单调递减，其中，故，故，所以，故故选：D8. 设定义在上的函数满足，为奇函数，当时，若，则（ ）A. 1011B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由为奇函数，可得，即可得到且关于对称，再求出，即可求出在上的解析式，由推出是以为周期的周期函数，最后由周期性与对称性计算可得.【详解】因为为奇函数，所以，则，即关于对称，同时，又由，令，可得，则有，当时，则有，解得，故时，由，即，则有，故，则是周期为的周期函数，因为，则，由于，则，故，故故选：B【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出函数的对称性，周期性，再由周期性求出函数值.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分9. 考虑两个变量和的样本数据集，其样本相关系数通过以下公式给出：其中，和分别是和的第i个样本值，和分别是和的样本均值下列关于样本相关系数公式各部分的陈述正确的是（ ）A. 分母中的和是和的标准差.B. 分子部分用于衡量两个变量之间变化趋势的一致性，即分子为正值时表示变量之间正相关，分子为负值时表示变量之间负相关.C. 样本相关系数的值越接近于0，表示和之间的线性关系越强.D. 通过对分子部分进行标准化处理，样本相关系数能够消除变量的度量单位的影响，使得不同数据集之间的相关性能够进行直接比较.【答案】BD【解析】【分析】根据标准差定义，判断A，根据相关系数的定义和性质，判断BCD.【详解】A.和是和的标准差，故A错误；B.由相关系数的定义，可知B正确；C.样本相关系数的值越接近于0，表示和之间的线性关系越弱，故C错误；D.根据相关系数的演化过程，可知D正确.故选：BD10. 已知函数的定义域为，若，则以下一定成立的是（ ）A. B. C. 为奇函数D. 在上是增函数【答案】AC【解析】【分析】利用赋值法可判断A；举反例可判断BD，根据奇函数的定义可判断C.【详解】对于A，令，可得，所以，故A正确；对于B，当时，显然符合题设条件，此时，不一定有，故B错误.对于C，令，所以，令，时可得，所以为奇函数，故C正确；对于D，当时，显然符合题设条件，此时在上不具备单调性，故D错误.故选：AC.11. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据和事件的概率公式和条件概率公式逐个分析求解即可【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，所以，所以B错误，对于C，因为，所以，所以，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，所以，所以，所以D正确，故选：ACD非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 已知的展开式中的系数为80，则_【答案】2【解析】【分析】由二项式定理得到通项公式，得到方程，求出.【详解】展开式通项公式，令，解得，故，解得.故答案为：213. 已知正数x，y满足且有解，则实数m取值范围是_.【答案】【解析】【分析】不等式有解，即，巧用均值不等式求最值即可.【详解】由已知得：，当且仅当时取等号；由题意：，即，解得：或，故答案为：.【点睛】方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14. 已知实数为函数的零点，为函数的零点，则_【答案】【解析】【分析】首先将函数零点代入方程，得和，转化为函数和与函数的交点问题，利用函数的对称性，即可求解.【详解】由题意可知，即，则，则，函数和互为反函数，关于对称，设与的交点为，的交点为,点关于对称，所以，则.故答案：【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断和互为反函数.四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. 已知函数（1）若不等式解集为，求，的值；（2）当时，若方程的两个不相等的实根为，求的取值范围【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）根据不等式的解集与对应方程的关系，结合韦达定理，即可求解；（2）首先根据，求的取值范围，再根据韦达定理表示，转化为关于的函数，利用换元法，并结合函数的单调性求取值范围.【小问1详解】原不等式可化为，因为该不等式的解集为，可知的两根为和3， 则，解得；所以，【小问2详解】方程有两根，解得或，又， 由韦达定理：，所以 令，当时，在上单调递增，所以.16. 李医生家在小区，他在医院工作，从家开车到医院上班有，两条路线（如图），路线上有，三个路口，各路口遇到红灯的概率均为，；路线上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，（1）若走路线且，求最多遇到1次红灯的概率；（2）若走路线，求遇到红灯次数的分布列及数学期望；（3）按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李医生分析，选择，哪条路线上班更好【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据独立重复事件概率公式，即可求解；（2）首先确定，再根据独立事件概率公式，求分布列以及数学期望；（3）如走线路，则遇到红灯的次数，比例两条线路遇到红灯次数的期望，即可分析并判断.【小问1详解】设“走路线最多遇到1次红灯”为事件，则，所以走路线最多遇到次红灯的概率为【小问2详解】依题意，知的所有可能取值为0，1，2 ，故随机变量的分布列为012所以【小问3详解】设选择路线遇到红灯的次数为，则，所以 若，则，选择路线上班更好；若，则，此时选择路线上班更好；若，则，此时选择路线和路线一样17. 生物钟（昼夜节律）是生物体内部的一个调节系统，控制着生物的日常生理活动研究显示，人体的某些荷尔蒙（如皮质醇）在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化，从而影响人的活力和认知能力假设人体某荷尔蒙的分泌量（单位：）与一天中的时间（单位：小时，以午夜0点为起点）的关系可以通过以下分段函数来描述：在夜间，荷尔蒙分泌量保持在较低水平，可以近似为常数在早晨，随着人醒来和太阳升起，荷尔蒙分泌量线性增加，其关系为，当时，分泌量达到最大值在下午和晚上，荷尔蒙分泌量逐渐降低，可以用指数衰减模型描述，即已知午夜时荷尔蒙分泌量为，峰值分泌量为（1）求参数，和的值以及函数的解析式；（2）求该同学一天内荷尔蒙分泌量不少于的时长【答案】（1）， （2）10个小时【解析】【分析】（1）根据求出，再根据和分别求出，即可得出函数解析式；（2）分和两种情况解不等式即可.【小问1详解】根据题意得，午夜时荷尔蒙分泌量，在早晨，荷尔蒙分泌量满足关系式：，当时，分泌量达到峰值即，即，解得：，因此早晨时段的荷尔蒙分泌量关系为，在下午和晚上时段，荷尔蒙分泌量满足：，所以，解得，所以荷尔蒙分泌量为，综上，荷尔蒙分泌量的函数关系为；【小问2详解】当时，解得，所以，当时，综上所述，该同学一天之内荷尔蒙分泌不少于的时长为10个小时.18. 已知函数为偶函数（1）求的值；（2）若，判断在的单调性，并用定义法给出证明；（3）若在区间上恒成立，求的取值范围【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据，得到方程，求出；（2）先得到，定义法判断函数单调性步骤，取