2023-2024学年辽宁省抚顺市六校协作体高二下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x|1x24，B=x|133xy0”成立的充分不必要条件是()A. 1x1yB. x2y2C. ln(x+1)ln(y+1)D. x2 y23.已知函数f(x)=lnx+x2x，则f(x)的零点所在的区间为()A. (12,1)B. (1,2)C. (2,e)D. (e,3)4.定义行列式abcd=adbc，若行列式2a2122a145a2a，则实数a的取值范围为()A. (1,32) B. (,1)(32,+) C. (12,2) D. (,12)(2,+)5.已知a=log513，b=ln3，c=ba，则a，b，c的大小关系()A. bacB. bcaC. cabD. cba6.函数f(x)=ln( 9x2+13x)|3x2|的图象大致为()A. B. C. D. 7.若对任意的x1，x2(e,+)，且x1x2，都有x1lnx2x2lnx1x2x10，y0，且x+3y=1，则下列结论正确的是()A. 1x+2y的最小值为7+2 6B. x2+y2的最小值为 1010C. sinx2+3y1D. lnxe3y1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知f(x)=a3x+1+b是定义在R上的奇函数，且f(log35)=12，则f(1)= 13.已知数列an的首项为2，D是ABC边BC所在直线上一点，且2CA+5(an+3)AD(an+1+1)AB=0，则数列an的前n项和为。14.若关于x的不等式xe2x2axa(lnx+3)0在(0,+)上恒成立，则。四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知函数f(x)=log2(x+3)log2(x3)(1)判断函数f(x)的单调性并证明;(2)若关于x的方程f(x)=log2(x+m)在区间4,6上有解，求实数m的取值范围16.(本小题12分)在生活中，喷漆房和烤漆房是重要的工业设备，它们在我们的生活中起着至关重要的作用。喷漆房的过滤系统主要作用是净化空气。能把喷漆过程中的有害物质过滤掉，过滤过程中有害物质含量y(单位：mg/L)与时间x(x0)(单位：)间的关系为y=y0ekx，其中y0，k为正常数，已知过滤2消除了20%的有害物质(1)过滤4后还剩百分之几的有害物质?(2)要使有害物质减少80%，大约需要过滤多少时间(精确到1)?参考数据：lg20.317.(本小题12分)已知数列an满足a1=3，an+1=7an+3(1)证明an+12是等比数列，并求an的通项公式;(2)证明：1a1+1a2+1an71818.(本小题12分)已知函数f(x)=excosx(1)求证：当x2,+)时，f(x)有两个零点;(2)若f(x)x2ax在0,+)上恒成立，求实数a的取值范围。19.(本小题12分)柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，其形式为：(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2，等号成立条件为a1b1=a2b2=anbn或ai，bi，i=1，2，3，n至少有一方全为0.柯西不等式用处很广，高中阶段常用来计算或证明表达式的最值问题。已知数列an满足a1=13，an+1=12an(nN).(1)证明：数列1an1为等差数列，并求数列an的通项公式;(2)证明：n2(a12a1+an+a22a2+an1+an2an+a1)0x30，所以定义域为(3,+)，所以f(x)=log2(x+3)log2(x3)=log2x+3x3，x(3,+)，f(x)在定义域(3,+)上为减函数，证明如下：(法一)设任意x1，x2(3,+)，且x1x13，所以由x2x10，x130，x2+30知6(x2x1)(x13)(x2+3)0，即(x1+3)(x23)(x13)(x2+3)1，所以log2(x1+3)(x23)(x13)(x2+3)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在定义域上是减函数(法二)f(x)=1(x+3)ln21(x3)ln2=1ln2(1x+31x3)=1ln2(6x29)，因为x(3,+)，所以f(x)0即m=x+3x3x在4,6上有解记g(x)=x+3x3x，因为g(x)=x+3x3x=6x3x+1，所以g(x)在4,6上为严格减函数，所以，g(x)max=g(4)=3，g(x)min=g(6)=3，故g(x)的值域为3,3，因此，实数m的取值范围为3,3，经检验满足题意，综上：实数m的取值范围为3,316.解：(1)由y=y0ekx可知，当x=0时，y=y0，当x=2时，y=(120%)y0，则有y0e2k=(120%)y0，解得k=12ln0.8，所以y=y0 e(12ln0.8)x=y00.8x2，故当t=4时，y=y00.82=064y0，即过滤4后还剩64%的有害物质(2)要使有害物质减少80%，则有y=15y0，y00.8x2=15y0，因为y00，所以0.8x2=15，x2=log0.815=lg15lg45=lg5lg4lg5=lg213lg217，所以x14，故要使有害物质减少80%大约需要过滤14小时17.解：(1)由an+1=7an+3得an+1+12=7an+3+12=7an+72，所以an+1+12=7(an+12)，因为a1+12=720，所以an+1+12an+12=7，所以an+12是等比数列，首项为a1+12=72，公比为7，所以an+12=727n1，解得an=7n12，nN；(2)由(1)知：an=7n12，所以1an=27n1，因为当n1时，7n167n1，所以27n1137n1，1a1+1a2+1an13(1+17+172+17n1)=13117n117=718(117n)718，所以1a1+1a2+1an1，cosx1，所以excosx0，函数f(x)无零点；当x2,0时，f(x)=ex+sinx=(x)，(x)=ex+cosx0，所以f(x)在2,0上单调递增，因为f(2)=e21=1e210，所以存在唯一x0(2,0)，使得f(x0)=0，所以f(x)在(2,x0)上单调递减，在(x0,0)上单调递增，又因为f(0)=0，f(2)=e20，所以存在唯一x1(2,x0)，使得f(x1)=0所以由知，当x2,+)时，函数f(x)有两个零点为x1和0解：(2)若f(x)x2ax在0,+)上恒成立，即excosxx2ax恒成立，设g(x)=excosxx2+ax，x0,+)，即g(x)0在0,+)恒成立，g(x)=ex+sinx2x+a=t(x)，t(x)=ex+cosx2=m(x)，而m(x)=exsinx0恒成立，所以t(x)在0,+)上单调递增，所以t(x)t(0)=0，所以g(x)在0,+)单调递增，当a1时，g(x)g(0)=1+a0，所以g(x)在0,+)上单调递增，所以g(x)g(0)=0在0,+)上恒成立，所以a1，当a1时，g(0)=1+a0，因为exex，sinx1，所以g(1ae2)=e1ae2+sin1ae221ae2+ae1ae2121ae2+a=1a+a1=0，于是存在x2(0,+)，使得g(x2)=0，所以g(x)在(0,x2)单调递减，又因为g(0)=0，所以在x(0,x2)时，g(x)0，不合题意综上，实数a的取值范围是1,+)19.解：(1)因为an+1=12an，所以1an+111an1=112an11an1=2anan11an1=1anan1=1，又因为a1=13，故1an1是以32为首项，1为公差的等差数列;所以1an1=32(n1)=2n+12，所以an=122n+1，nN；(2)欲证n2(a12a1+an+a22a2+an1+an2an+a1)ln