School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA压电主主动层在梁振在梁振动控制中的控制中的应用用赵寿根寿根航空科学与工程学院航空科学与工程学院School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA1 分析分析对象及条件象及条件Q设如图所示复合材料梁，它由三部分组成分别为设如图所示复合材料梁，它由三部分组成分别为上下上下 ha厚度的压电层，中间为厚度的压电层，中间为hs厚度的本体结构厚度的本体结构层。层。 School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA2 复合材料梁自由振复合材料梁自由振动的微分方程的微分方程Q根据梁微元的分析，其横向的振动方程可以用下根据梁微元的分析，其横向的振动方程可以用下式表示：式表示： School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ其中：其中： Q为剪力，为剪力， M为弯矩，为弯矩， f(x,t)为为单位长为为单位长度上的横向载荷。度上的横向载荷。(1)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ对于自由振动令对于自由振动令f(x,t)=0,从而上式从而上式(1)简化为：简化为： (2)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ对于弯矩对于弯矩M，可有下式得：，可有下式得： School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ其中：其中： 为材料弹性模量为材料弹性模量School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ其中其中 H(x)为海维赛德函数，其定义如下：为海维赛德函数，其定义如下： Q将将(3)式代入梁的振动方程式代入梁的振动方程(2)式中有：式中有： (6)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ将上将上(6)式化简有：式化简有： Q其中：其中： (7)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA3 复合梁的复合梁的边界条件和初始条件界条件和初始条件 Q(1) 边界条件边界条件 当当x=0时：时： (8)当当x=L时：时：(9)当当=0时时当当M=0时时当当Q=0时时School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ(2) 初始条件初始条件 当当t=0时：时： School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA4 复合梁的自由振复合梁的自由振动方程的求解及方程的求解及其控制律其控制律 Q4.1 分离变量法分离变量法 采用分离变量法求解上方程，为此设：采用分离变量法求解上方程，为此设：(11)式中式中Wk(x)为模态方程。为模态方程。School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ对于悬臂梁其形式可用如下表达式表示：对于悬臂梁其形式可用如下表达式表示： (12)式中：式中：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ将将 W(x,t)表达式代入简化的振动方程有：表达式代入简化的振动方程有： (13)方程式两边同时乘以方程式两边同时乘以Wk(x),对两边进行对两边进行0L积分，积分，再根据自然振型的正交性有：再根据自然振型的正交性有：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ其中：其中： (14)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ再将再将W(x,t)表达式代入复合梁的初始条件式表达式代入复合梁的初始条件式(8)有：有： (15)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAA4.2 控制率的控制率的选取取 Q(1) 位移反馈位移反馈 为了使复合材料梁的振动得到抑制，在设计控制为了使复合材料梁的振动得到抑制，在设计控制率时采用位移作为反馈项，即改变系统的刚度特率时采用位移作为反馈项，即改变系统的刚度特性，从而性，从而Ei的表达式可设计为：的表达式可设计为： (16)式中式中p为反馈增益。为反馈增益。School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ将将(16)式代入式代入(14)式中有：式中有： (17)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ(2) 速度反馈速度反馈 为了使复合梁的振动得到抑制，在设计控制率时应为了使复合梁的振动得到抑制，在设计控制率时应使方程出现阻尼项即采用速度作为反馈项，从而使方程出现阻尼项即采用速度作为反馈项，从而Ei的表达式可设计为：的表达式可设计为： (18)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ将将(18)式代入式代入(14)式中有：式中有： (19)其中：School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ(3) 加速度反馈加速度反馈 为了使复合材料梁的振动得到抑制，在设计控制率为了使复合材料梁的振动得到抑制，在设计控制率时采用加速度作为反馈项，即改变系统的质量特性，时采用加速度作为反馈项，即改变系统的质量特性，从而从而 Ei的表达式可设计为：的表达式可设计为： (20)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAQ将将(20)式代入式代入(14)式中有：式中有： (21)School of Aeronautical Science and Engineering, BUAAEND，THANKS！