学习必备欢迎下载初一数学竞赛系列讲座 (9) 应用题（一）一、知识要点1、 应用题是中学数学的重要内容之一，它着重培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力，解应用题最主要的方法是列方程或方程组。2、 列方程 (组)解应用题的一般步骤是：(1) 弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数；(2) 找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；(3) 根据这个相等关系列出方程；(4) 解这个方程，求出未知数的值；(5) 写出答案 (包括单位名称 )。3、行程类问题行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系。它们满足如下基本关系式：速度时间 =路程4、数字类问题数字类问题常用十进制来表示数，然后通过相等关系列出方程。解数字类问题应注意数字间固有的关系，如：连续整数，一般设中间数为x，则相邻两数分别为x-1、 x+1；连续奇 (偶 )数，一般设中间数为x，则相邻两数分别为x-2、x+2。二、例题精讲例 1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20 千米， 下坡时每小时行驶35 千米， 。车从甲地开往乙地需9 小时，乙地开往甲地需217小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题) 分析本题用方程来解简单自然。解设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，根据题意得方程组(2)2172035(1)93520yxyx解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、 加减消元法等。 由于方程组系数比较特殊(第一个方程中x 的系数201恰好是第二个方程中y 的系数，而y 的系数351也恰好是第二个方程中 x 的系数 )，也可以采用如下的解法：(1)+(2) 得(x+y)( 201+351)=9+217所以x+y=2103512012179(3) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载(1)-(2)得(x- y)( 201-351)=9-217所以x-y=703512012179(4) 由(3)、(4)得x=140270210所以甲、乙两地间的公路长210 千米，从甲地到乙地须行驶140 千米的上坡路。例 2 公共汽车每隔x 分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6 分钟开过来一辆公共汽车， 而每隔724分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的，则x 等于分钟。 (第六届迎春杯初赛试题) 分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。若设汽车速度为a 米/每秒，小宏速度为 b 米/每秒，则当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面ax 米处，它用6 分钟追上小宏。 另一方面， 当一辆汽车与小宏相遇时，另一辆汽车在小宏前面ax 米处， 它经过724分钟与小宏相遇。由此可列出两个方程。解：设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b 米/每秒，根据题意得)(724)(6baaxbaax两式相减得12a=72b 即 a=6b 代入可得 x=5 评注： 行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及问题就是同向运动。 解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图，以便帮助我们直观、形象地理解题意。例 3 摄制组从A 市到 B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100 千米到 C 市吃午饭。 由于堵车， 中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇， 汽车赶了400 千米，傍晚才停下来休息。司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了。问A、B两市相距多少千米？(第五届华杯赛决赛试题) 分析：本题条件中只有路程，没有时间和速度，因而应当仔细分析各段路程之间的关系。解：如图，设小镇为D，傍晚汽车在 E 休息A D C E B 由已知，AD 是 AC 的三分之一，也就是AD =21DC 又由已知， EB=21CE 两式相加得：AD+ EB=21DE 因为 DE=400 千米，所以AD+ EB=21400=200 千米，从而 A、B 两市相距400+200=600 千米评注：行程问题常通过画行程示意图来帮助我们思考。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载例 4 有编号为、的3 条赛艇，其在静水中的速度依次为每小时v1、v2、v3千米，且满足v1 v2 v3 v 0 ，其中 v 为河流的水流速度。它们在河流上进行追逐赛，规则如下：(1) 3 条赛艇在同一起跑线上同时出发，逆流而上，在出发的同时，有一浮标顺流而下；(2) 经过 1 小时，、号赛艇同时掉头，追赶浮标，谁先追上谁为冠军。在整个比赛期间各艇的速度保持不变，则比赛的冠军为解：经过1 小时，、号赛艇同时掉头，掉头时，各艇与浮标的距离为：S i=(vi-v) 1+v 1= vi1(i=1 、2、 3) 第 i 号赛艇追上浮标的时间为：11iiiiivvvvvSt(小时 ) 由此可见，掉头后各走1 小时，同时追上浮标，所以3 条赛艇并列冠军。评注：顺流速度=静水速度 +水流速度；逆流速度 =静水速度 -水流速度。例 5 在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10 秒钟时追上乙，在第 30 秒时追上丙，第60 秒时甲再次追上乙，并且在第70 秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？ ( 第 11 届希望杯竞赛培训题)解：设甲的运动速度是甲，V乙的运动速度是乙V，丙的运动速度是丙V设环形轨道长为L。甲比乙多运动一圈用时50 秒，故有甲V乙V50L甲比丙多运动一圈用时40 秒，故有甲V丙V40L可得到乙V丙V40L50L200L4丙乙乙甲VVVV5丙乙丙甲VVVV甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离甲、丙之间距离甲、乙之间距离（甲V丙V） 30（甲V乙V） 10； 乙追上丙所用时间丙乙乙、丙之间距离VV丙乙丙甲30VVVV1104015010丙乙乙甲VVVV秒所以第110 秒时，乙追上丙评注：相遇问题的关系式是：路程和=速度和时间；追及 问题的关系式是：追及 路程 =速度差时间。例 6 一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上数的3 倍，求这个三位数。解：设十位上的数为x，则个位上的数为3 x，百位上的数是x+7 由题意得： 3 x+x+ x+7=17 ， x=2 这个三位数是：100(x+7)+10 x+3 x=926 答：这个三位数是926 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载评注：数字问题常设出数位上的数字，再用十进制把数表示出来。例 7 两个三位整数，它们的和加1 得 1000，如果把大数放在小数的左边，并在这两数之间点上一个小数点， 则所成的数正好等于把小数放在大数的左边，中间点一个小数点所成的数的 6 倍，求这两个数。解：设大数为x，则小数为999-x，由题意得)1 0 0 09 9 9(61 0 0 09 9 9xxxx解这个方程得：x=857, 999-x=142 答：大数为857，小数为142。例 8 一辆卡车在公路上匀速行驶，起初看到里程碑上的数字为AB，过了1 小时里程碑上的数字为BA，又行驶了1 小时里程碑上的数字为A0B，求每次看到的数字和卡车的速度。分析：相等关系是前一小时走的路程=后一小时走的路程。解：依题意得：BA-AB=A0B-BA，即AB+A0B=2BA，所以(10A+B)+(100A+B)=2(10B+A)，整理得6A=B 因为 A、B 取 1 到 9 的自然数，所以只有A=1 ，B=6 故 3 次看到的数字分别是16，61，106，卡车的速度为45 千米 /时。评注：本题得到的是一个不定方程，通过A、B 是 1 到 9 的自然数来求出A、B。三、巩固练习选择题1、甲、乙二人从M 地同时出发去N 地，甲用一半的时间以每小时a 千米的速度行走，另一半的时间以每小时b 千米的速度行走；乙以每小时a千米的速度行走一半的路程，另一半路程以每小时b 千米的速度行走。若ab，则 ( )先到达 N 地。A、甲B、乙C、二人同时到达D、不确定2、已知游艇在静水中的航速为每小时10 千米，某一旅游团乘该游艇在黄河顺水航行2小时，又用3 小时返回出发地，求该团所走的航程是( ) A、24 千米B、12 千米C、 48 千米D、40 千米3、某人从 A 地步行到B 地，当走到预定时间时，离B 地还有 0.5 千米；若把步行速度提高 25%，则可比预定时间早半小时到达B 地。已知AB 两地相距12.5 千米，则某人原来步行的速度是 ( ) A、2 千米 /时B、4 千米 /时C、5 千米 /时D、6 千米 /时4、一个两位数，十位上的数与个位上的数的和是7，若十位上的数与个位上的数对换，现在的两位数与原来的两位数的差是9，则现在的两位数是( ) A、43 B、 34 C、25 D、52 5、在由两个不同数字组成的所有两位数中，每个两位数被其两个数字之和除时，所得的商的最小值是( ) A、1.5 B、1.9 C、3.25 D、4.375 6、一个插入一个一位数(包括 0)，就变成一个三位数，如：72 中间插入6后变成了762。有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数，是原来两位数的9 倍，这样的两位数有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载( ) (第六届祖冲之杯数学邀请赛试题) A、1 个B、4 个C、10 个D、超过 10 个填空题7、早晨 8 点多钟，有两辆汽车先后离开化肥厂，向幸福村开去。两辆汽车的速度都是每小时 60 千米， 8 点 32 分时， 第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的3 倍。到了 8 点 39分时，第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的2 倍。则第一辆车是8 点分离开化肥厂的 . 8、甲、乙两个同学从A 地到 B 地，甲步行的速度为每小时3 千米，乙步行的速度为每小时 5 千米，两人骑自行车的速度都是每小时15 千米。现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时出发。走了一段路程后，乙放下车步行，甲走到乙放车处改骑自行车，以后不断交替行进，两人恰好同时到达B 地。甲走全程的平均速度是千米 /小时。 (第六届迎春杯初赛试题 ) 9、一船从重庆到上海要5 昼夜，而从上海到重庆要7 昼夜，那么有一木排从重庆顺流漂到上海要昼夜10、一个六位数9abcde的 4 倍是abcde9，则这个六位数是11、有四个正整数，其中任三个数的算术平均数与第四个数的和，分别等于29、23、21、 19，则这四个数中最大的一个是12、一个两位自然数等于它的十位数字与个位数字之和的3 倍，则这样的两位自然数的个数是解答题13、一列客车的速度是60 千米 /时，一列货车的速度是45 千米 /时，货车比客车长135米，如果两车在平行的轨道上同向行驶，客车从后面赶上货车，它们交叉的时间是1 分 30秒，求各车的长度；如果这两车在平行的轨道上相向行驶，它们交叉时需要多少时间？14、甲、乙两人在一条长400 米的环形跑道上跑步，若同向跑步每隔313分钟相遇一次，若反向跑步则每隔40 秒相遇一次，求甲、乙两人的速度(甲比乙跑得快 )。15、某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行12 小时， 再换骑自行车行9 小时，恰好到达乙地。如果他从甲地先骑自行车行21 小时，再换骑摩托车行8 小时，恰好也到达乙地。问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？(第四届华杯赛初赛试题) 16、快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6 分钟、 10 分钟、 12 分钟追上骑车人。现在知道快车每小时走24 千米， 中车每小时走 20 千米，问慢车每小时走多少千米？(第一届华杯赛决赛试题) 17、有一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，并且这个两位数除以十位上的数字与个位上的数字的差，所得的商为11，余数为 5，求这个两位数。18、一个十位数字为0 的三位数，它恰好等于它的数字和的67 倍；交换它的个位与百位数字后得到一个新的三位数，它恰好又是它的数字和的m 倍,求 m 的值。19、一个两位数的十位数字小于个位数字，当数字交换位置后所得的新的两位数与原数之和大于70 而小于 90，求这样的两位数。20、今有一个三位数，其各位数字均不相同，如将此三位数的各位数字重新排列，必得一个最大数和一个最小数，且此两数之差恰为原来的那个三位数，求原来的三位数。精选学习资料 - 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