第三篇知识与思考策略结合运用的专题解析掌握每类问题中知识和思考策略应用的规律，将有效地提高数学的解题能力。关节九探究一：用代数式表示变化规律用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来，是探究性题目中很重要的一类，现在我们来研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法：它们是：、以归纳概括为指导的思考方法；、以函数思想为指导的方法；、以直接计算为指导的方法。一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式这种思想方法的核心是通过分析与研究提供的“变化片断”一些连续的特殊情况，归纳概括出整个变化过程所体现的规律，并用代数式将其表示出来，在实际运用中，又根据题目的实际情况，可分为三种形式：“一般归纳型” ；“分类归纳型” ； “递推归纳型” 。1、一般归纳型思考特点是：第一，系统考察所提供的一系列特殊，从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律，第二，特别注意研究相邻两项之间的相关性。例 1 如图，下列几何体是由棱长为1 的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页【观察与思考】我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来：001414242434第n个: ) 1(44nn解: 应选48n. 例 2 如图 , 是用火柴棒摆出的一系列三角形图案, 按这种方式摆下去, 当每边上摆10 根火柴棒时 , 共需要摆根火柴棒 . 【观察与思考】本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的小三角形( 所用火柴棒数就等于这样的三角形数再乘以 3). 为了找到规律 , 可以将每边4 根火柴棒的情况也画出: (1) (2 (3) (4) (10) 涂色三角形1 3216321104321归纳概括 : 5510.321的个数 : 165355解: 应填 165 . 下面一层上面一层.下面两层上面一层上面一层下面三层下面n层上面一层10 根10 根10 根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页【说明】 例 1 和例 2，都是统一系列变化的“图形”，首先是要分离出符合要求的部分，使问题简化与明晰化，然后依次观察、对比，找出共同的规律来。例 3 世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第10 行从左边数第3 个位置上的数是（）A、1321B、3601 C、4951 D、6601【观察与思考】仔细分析与研究后可以发现：（1）每一行左数从第一个数为该行的倒数；（ 2）每行中间及偏左的数，都等于它左上角的数减去它左边的数，如第3 行中，312161，如第7 行中，,.4213011051依（ 1）和（ 2）可知：第9 行左数第2 个数为7217181；第 10 行左数第 2 个数为90110191，第 10 行左数第3 个数应为3601901721解：应选B。【说明】 在本题，研究“系统”和“研究”相互间的关系“体现得极为突出。例 4 探索nn的正方形钉子板上（n是钉子板每边上的钉子数），连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：2n3n4n5n当2n时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1 与2，所以不同长度值的线段只有2 种，若用S表示不同长度值的线段种数。则;2S1121213161314112112141512013012015161301601601301617142110511401105142171精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页当3n时，钉子板上所连不同线段的长度值只有22,5, 2,2, 1五种，比2n时增加了 3 种，即532S。（1）观察图形，填写下表：钉子数)(nnS值222 332+3 442+3+（）55（）（2）写出)1()1(nn和)(nn的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；（用式子或语言表述均可）。（3）对)(nn的钉子板，写出用n表示S的代数式。【观察与思考】当4n时，钉子板上所连不同线段的长度值只有22,5, 2,2, 1。 （这些是3n时已有的） ，23,13,10, 3（新增加的）即左下角的钉子分别和最上一行四个钉子的所连线段的长（第一层归纳）；3n时比2n时多出 3 个种数；4n时比3n时多出 4 个种数 ; )(nn时比)1()1(nn时多出n个种数;-(第二层归纳 ). 有了以上两个层次的归纳概括, 三个问题的解都已是水到渠成. 解:(1) 两个括号内应分别埴: 4; 2+3+4+5; (2) )(nn的钉子板比) 1() 1(nn的钉子板中不同长度值的线段种数增加了n种; (3)nS.432. 【说明】 归纳的实质是从若干个特殊中发现共性, 因此应从研究特殊和特殊之间的关联入手, 这一点 , 本题体现得比较充分 . 2、分类归纳型思考特点是：第一，先根据背景与问题的特点，选定标准并按其分类；第二，将问题按所属类别做出解答。例 5 观察下列等式：,221422，823，1624，3225，6426，,.12827通过观察，用你所发现的规律确定20082的个位数字是。【观察与思考】将题目提供的一列数字按“个位数”的情况重新分类：个位数字2 的乘方2 512,2归纳概括为142n（n为自然数，下同）4 622,2归纳概括为242n6 .2,273归纳概括为342n8 .2,284归纳概括为442n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页而2008250242，个位数字应为6。解：20082个位数应为6。例 6 如图，已知),0, 1 (1A),1 , 1(2A) 1 , 1(3A，),1, 1(4A) 1, 2(5A，则点2007A和点2008A的坐标分别为；。【观察与思考】要求点的坐标， 一般分两步考虑：第一步先确定该点在哪一个象限；第二步确定该点到两坐标轴的距离，对本题我们也可以从这两步来研究。第一步，可以看出除了点1A外，其他各点均在象限内。按象限分类：所在象限点nA一.,1062AAA归纳概括为24nA（n为自然数）二.,1173AAA归纳概括为34nA三.,1284AAA归纳概括为nA4四,.,95AA归纳概括为14nA由,35014200750242008，可知2007A在第二象限，2008A在第三象限。第二步，从题目提供的坐标系里的图示看出：（1）第一、二、三、象限内各点横、纵坐标的绝对值是相等的；（2）就坐标的绝对值来说，又是这样对应的：点41 AA85 AA129 AA归纳概括为)1(414nnAA坐标的绝对值 1 2 3 1n由,350142007知其坐标的绝对值应为5021501；由50242008，知其坐标的绝对值应为502；将第一步和第二步结合，可得2007A和2008A的坐标。解：2007A的坐标为)502,502(，2008A的 坐标为)502,502(。4 xy-3 -2 O-4 2 1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页【说明】 由以上两题的思考过程可以看出：归纳概括是一个积极的活动过程，要观察、 要重新分类 （分类也是找共性） ，以便从中获得概括化的规律。为了充分展开相应的思考过程，我们特别用列表法表示分类，而在实际解题中，具体的做法就可以简缩。3、递推归纳型思考特点：找到由前一项（或前几项）表示该项的规律。这样，只要知道第一项（或前几项），就可以逐个地将随后的项推出。例 7 下面是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30 分钟便由1 个分裂成 2 个，根据此项规律可得：（1）这样的一个细胞经过第四个30 分钟后分裂成个细胞；（2）这样的一个细胞经过3 个小时后可分裂成个细胞；（3） ）这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时后要分裂成个细胞；【 观 察 与 思 考 】 如 果 假 设 , 由1 个 细 胞 开 始 , 经 过m次 分 裂 后 细 胞 数 记 为mP, 且 记10P, 依 题 意 有10P, 2201PP21222PP,32322PP, m次分裂后细胞数为m2，所以本题的结果为：解： （1）;1624（2）6426；（3）n22【说明】 本题当中21mmpP，即每经过一次分裂，新的细胞数都是前一次分裂后细胞数的2 倍。就是一种“递推”关系，2P可由1P求得，3P可由2P，等等。不少变化规律就是刻画这种递推关系的，对于这类问题的思考和解决，要点有两条：第一条，第一项等于什么？要搞清楚；第二条，由第一项怎样推得第二项的？由第二项怎样推得第三项的？即把“递推关系”搞清楚，有了这两条，整个问题便解决了。例 8 如图（ 1） ，在ABCRt中，2,1,90ACBCC，把边长分别为321,xxx, ，nx的n个正方形依次放入ABC中，请回答下列问题：（1）按要求填表：（1）（2）第n个正方形的边长nx；【观察与思考】如图（ 1） ，设0xBC，则10x，相当于搞清楚第一项；由11CABRtABCRt, 得n 1 2 3 nxA B C 1x2x3x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页21111ACBCACCB，而,111xCB11xACAC，,21211xx解得,321x即3201xx；完全类似地可得2123232xx。搞清楚了递推关系。把这些都搞清楚了，本题的解就很容易得到了。解： （1）依次应填94,32；278；（2）n32（1 ）例 9 数字解密： 第一个数是123，第二个数是235，第三个是459，第四个数是8917, 按此规律观察并猜想第六个数是。【观察与思考】本题解法获得的关键是从提供的数据中，借助于归纳得到递推规律：后一个数前一个数 +（前一个数1） ，如第二个数第一个数（第一个数1） ，而第一个数是3，所以第二个数是523，如此等等。找到这个递推关系，很容易有第五个数331617，第六个数653233。解：应填65。【说明】 在本题，递推关系是通过观察，由归纳概括得到的，这种形式也应引起我们的重视。例 10 将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割，纸片均不得有剩余）：第一次分割：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形， 然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形；第二次分割： 将第一次分割后所得的正六边形纸片分割成三个全等的菱形；然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形。按上述分割方法进行下去（1）请你在图（1）中画出第一次分割的示意图；（2）若原正六边形的面积为a，请你通过操作和观察，将第1 次，第 2 次，第 3 次分割后所得的正六边形的面积填入下表：（1）分割次数)(n1 2 3 正六边形的面积S(3) 观察所填表格, 并结合操作 , 请你猜想 : 分割后所得的正六边形的面积S与分割次数n有何关系 ?( S用含a和n的代数式表示 , 不需要写出推理过程). 【观察与思考】显然 , 这是一个探究递推关系的题目, 首先应当完成第一次分割操作: 如图 (1);其次 , 由操作和观察容易知道 , 设原正六边形的面积0Sa, 则图 (1) 中小正六边形( 阴影所示 ) 的面积1S等于所在菱形面积的4386, 从而等于整个大正六边形面积的41, 即有关系aSS414101. 完全相同的道理,aSS212)41(41由此，问题（2） 、 （3）得解。A B C 1x2x3x1B2B3B1C2C3C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页解： （1）见图（ 1 ）（2）依次应填a41，a161，a641；（3）S（实际上是nS）an41。（1）二、借助于函数思想，得到表示变化规律的代数式很多情况下所要探究的变化规律，实质上就是建立函数关系，只不过这时的自变量是1，2，3，n这些表示顺序的正整数，既然是这样，当这些变化规律是正整数n的一次函数时，用“待定系数法”来确定关系，既规范，又准确，不失为一种聪明的选择。首先应当明确这样的事实，对于任意的一个一次函数，有性质： “当自变量x增大的数量相等时，对应的函数值y增大（或减小）的数量也是相等的”。我们来看例子：如一次函数32xy，满足的对应值有),1, 1 ()1 , 2(（3， 3） （4，5） ， （5，7） ， （6，9） ，可以看出：自变量每增大 1，对应的函数值就增大2；自变量每增大2，对应的函数值就增大4；再如13xy，满足的对应值有)2, 1 (，)5,2(，)8,3(， （)11,4，)14,5(，)17, 6(，可以看出：自变量每增大1，对应的函数值就减小3；自变量每增大2，对应的函数值就减小6；好了，现在逆过来考虑，就有这样的结论：如果一个y关于x的函数满足：当x增大的数值相等时，y增大（或减小）的数值也相等，那么，y就是x的一次函数。而一次函数的关系式可以借助待定系数法求出来。我们可以把这样的方法应用到某些探究变化规律的问题中来。例 1 观察图，（1）至（ 4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为m，则m（用含n的代数式表示） 。1n时2n时3n时4n时5m8m11m14m（1）（2）（3）（4）【观察与思考】题目提供的图形的序数与小圆圈的个数满足（1，5） ， （2，8） ， （3，11） ， （4，14） ，序数n（自变量）每增大1，对应的函数值m就增大 3。因此，它们就应当成一次函数关系。这样，我们就可以用待定系数法求其表达式。设bknm，由（ 1， 5） ， （ 2，8）满足关系，可知有：从中解得23nm1Sbk5bk283k2b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页解：应填23n【说明】 就本题来说，用“一般归纳”的方法也容易求得结果，而应用“待定系数法”不仅多了一种选择方法，更在于它过程规范，结果肯定，把合情“猜想”转变为程序性的执行。提高了确定感。例 2 一根绳子弯曲成如图（1）所示的形状，当用剪刀像图（2）那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5 段；当用剪刀像图（3）那样沿虚线)/(abb把绳子再剪一次时，绳子就被剪成9 段。若用剪刀在虚线ba,之间把绳子再剪)2(n次（剪刀的方向与a平行） ，这样一共剪n次时绳子的段数是（）A、14nB、24n C、34n D、54n（1）（2）（ 3）【观察与思考】我们先找出图1，2，3，4 中序号和绳子段数的对应情况，有（1，1） ， （ 2，5） ， （3，9） ， （4，13） 。序号每增大1，段数值就增大4，应呈一次函数关系。设为bkny，由（ 1，1） ， （2，5）得：解得即34ny。本题要求的是“剪n次” ，实际上是序号1n所对应的图，其中绳子的段数应为143)1(4nny。解：应选A。【说明】 对于本题应特别注意的是，图形序号和剪的次数是不一致的，我们建立的是图形序号与绳子线段的函数，而剪n刀则是第1n个图，二者不应弄混。当然，本题也可一开始就考虑“剪的次数n”与绳子段数y之间的关系，那就有（0，1） ， （1，5） ， （ 2，9） ，（3，13）仍借助于待定系数法求出函数关系式14ny, 最后的结果是一样的. aabbk1bk254k3b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页例 3 将图 (1) 所示的正六边形进行分割得到图(2), 再将图 (2) 中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图(3), 再将 (3) 中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割, ，则第n个图形中，其有个六边形。（1）（2）（3）【观察与思考】图形序号n与图形中正六边形的个数m满足（ 1，1） ， （2，4） ， （3， 7） ，n每增大 1，m就增大 3，可知m是n的一次函数，用待定系数法（略）求得23nm解：)23( n。由函数思想和待定系数法, 将那些可用一次函数表示的变化规律问题用统一而程序化的方式解决, 对我们不是一种很好的帮助吗 ? 三、借助于直接计算，得到表示变化规律的代数式有些情况， 其变化规律并不是主要体现在变化过程相邻情况的联系之中，而是明显确切地体现在每个情况之中，这时，思考解法的重点不应再是归纳，而应直接从第n个情况中通过计算得出表示规律的代数式。例 1 如图，是用火棍摆成边长分别是1， 2，3 根火柴棍时的正方形，当边长为n根火柴棍时，若摆出的正方形所用的火柴棍的根数为S，则S= 。 （用含n的代数式表示，n为正整数）。【观察与思考】 这只要直接计算第n个图形 （如上图所示） 有多少火柴棒即可，竖着摆放的火柴棍有1n列，有n行，共有) 1(nn根，而横着摆放的和竖着摆放的一样多。因此)1(2nnS例 2 如图，已知ABC的面积1ABCS。（1）在图（ 1）中，若,21111CACCBCBBABAA则41111CBAS；（2）在图（ 2）中，若31222CACCBCBBABAA，则31222CBAS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页（3）在图（ 3）中，若,41333CACCBCBBABAA则167333CBAS；按此规律，若91888CACCBCBBABAA，则888CBAS。（ 1）（2）（3）【 观察与思考】其实不用管图（1） ， （2） ， （3） ，可直接计算888CBA的面积即可，实际上( 21888hhAASCAA表 示88CAA边8AA上 的 高 ）ABChhAB为)(98()91(21边AB上 的 高 ）ABCShAB81881821同理，88ABBS，88BCCS均等于ABCS818，得2719278138181888CBAS。【说明】 通过以上两例说明，在有些情况，变化规律的表达式，可从第n种情况透露的信息中直接获得，一味拘泥归纳，反而会使解决方法曲折起来。练习题1、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组：1，1，2，3， 5，8，13，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和。现以这组数中的各个数作为正方形边的长度构造如下正方形：再分别依次从左到右取2 个、 3 个、 4 个、 5 个正方形拼成如下矩形并记为（1） ， （2） ， （3） ， （4） 。相应矩形的周长如下表所示：A A B C 2C2A2BA B C 3C3A3BB C A 1A1BA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页（1）（2）（3）（4）序号（1）（2）（3）（4）周长6 10 16 26 若按此规律继续作矩形，则序号为（10）的矩形周长是。2、观察下列球的排列规律（其中是实心球，是空心球）；从第一个球起，到第20XX年球止，共有实心球个。3、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第n个图形需根火柴棒。（第一个图形）（第二个图形）（第三个图形）4、用火柴棒按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律继续摆下去，第4 个图形需要根火柴棒，第n个图形需要根火柴棒（用含n的代数式表示） 。5、计算：1121，3122，7123，15124，31125，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测122008的个位数字是（）A、1 B、 3 C、7 D、5 1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 3 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页6、探索规律：根据右图中箭头指向的规律，从2006 到 2007 再到 2008，箭头方向是（）A、B、C、D、7、如图，平面内有公共端点的六条射线OFOEODOCOBOA,，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字 1，2， 3，4，5，6，7，(1) “17”在射线上. (2) 请任意写出三条射线上数字的排列规律. (3) “2008”在哪条射线上? 8、如图，将边长为1 的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转1001 次，点 P依次落在点,.,4321PPPP1001,1000PP的位置，则1000P和1001P的横坐标1000x，1001x分别为和。9、已知等边三角形OAB的边长为a，以AB边上的高1OA为边，按逆时针方向作等边1111,BABOA与OB相交于点2A。（1）求线段2OA的长；1 2 0 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C D E F O 1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12 xyOA P B 1P2P（3P）4P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页（ 2）若再以2OA为边按逆时针方向作等边三角形22BOA，22BA与1OB相交于点3A，按此作法进行下去，得到33BOA，14BOA，nnBOA（如图），求66BOA的周长。10、观察图（ 1）至图（ 5）中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放。记第n个图形中小黑点的个数为y。解答下列问题： （1）填表：n1 2 3 4 5 y1 3 7 13 (2) 当8n时,y . 11、 如图（1） ，A B C为等边三角形， 面积为S。,11ED1F分别是ABC三边上的点， 且ABCFBEAD21111，连结111111,DFFEED，可得111FED是等边三角形，此时11FAD的面积,411SS111FED的面积SS411。（2）（1）（1） 当222,FED分别是等边ABC三边上的点， 且ABCFBEAD31222时，（如图 （2） ， 若用S表示22FAD的面积2S，则2S；若用S表示222FED的面积2S，则2S= 。O A B 1A1B2A2B3A3B4A4B5A5B6A6B7A7BC A B 1D1E1FA B 2E2FC 2D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页（2）按照上述思路探索下去，并填空：当nnnFED,分别是等边ABC三边上的点，且ABnCFBEADnnn11时， （n为正整数） ，若用S表示nnFAD的面积nS，则nS= ；若用S表示nnnFED的面积nS，则nS= 。12、如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形,AEGH如此下去， 已知正方形ABCD的面积1S为 1，按上述方法所作的正方形的面积依次为nSSS,.,32（n为正整数），那么第8 个正方形面积8S= 。A B C D E F H G J I 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页