学习必备欢迎下载平行四边形及特殊的平行四边形适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域江苏课时时长（分钟）60 知识点平行四边形的判定与性质矩形的判定与性质菱形的判定与性质菱形与面积正方形的判定与性质教学目标1对比掌握各种特殊四边形的概念，性质和判定方法；2总结常用添加辅助线的方法；3总结本章常用的数学思想方法，提高逻辑思维能力教学重点平行四边形与特殊平行四边形的从属关系及它们的概念、性质和判定方法教学难点提高数学思维能力教学过程一、复习预习精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载根据以上图示，分别说出每种图形的性质和判定方法。二、知识讲解考点 1：基本方法(1) 利用基本图形结构使知识系统化；(2) 证明两条线段相等及和差关系的方法，也可类比总结证明两角相等，角的和差、倍、分问题，直线垂直、平行关系的方法；(3) 利用变换思想添加辅助线的方法；(4) 探求解题思路时的分析、综合法. 考点 2：基本思想及观点(1) “特殊般特殊”认识事物的方法；(2) 集合、方程、分类讨论及化归的思想；(3) 用类比、运动的思维方法推广命题. 三、例题精析【例题 1】如图， 在?ABCD 中，F 是 AD的中点， 延长 BC到点 E，使 CE=12BC ，连接 DE ，CF（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若 AB=4 ，AD=6 ，B=60 ，求DE的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载【答案】（1）证明：在 ?ABCD 中，AD BC，且AD=BC F 是 AD的中点，DF=12AD 又 CE=12BC ，DF=CE ，且 DF CE ，四边形CEDF 是平行四边形；（2）解：如图，过点D作 DH BE于点 H在?ABCD 中， B=60 ，DCE=60 AB=4 ，CD=AB=4 ，CH=2 ， DH=23在?CEDF中， CE=DF=12AD=3 ，则 EH=1 在 RtDHE中，根据勾股定理知DE=2(2 3)1=13 【解析】 （1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD BC ，且 AD=BC ；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE ，且 DFCE ） ，即四边形CEDF是平行四边形；（2）如图， 过点 D作 DH BE于点 H ，构造含 30 度角的直角DCH 和直角 DHE 通过解直角 DCH 和在直角 DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度【例题 2】如图， 在 ABC 中，D、E分别是 AB、AC 的中点， BE=2DE ，延长 DE 到点 F，使得 EF=BE，连接 CF（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若 CE=4 ，BCF=120 ，求菱形 BCFE 的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载【答案】 （1）证明： D、E分别是 AB 、AC的中点，DEBC且 2DE=BC ，又 BE=2DE ，EF=BE ，EF=BC ，EFBC ，四边形BCFE是平行四边形，又 BE=FE ，四边形BCFE是菱形；（2）解： BCF=120 ，EBC=60 ， EBC是等边三角形，菱形的边长为4，高为 23 ，菱形的面积为423 =83 【解析】 从所给的条件可知，DE是 ABC中位线，所以DE BC且 2DE=BC ，所以 BC和 EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE=FE ，所以是菱形；BCF是 120，所以 EBC为 60，所以菱形的边长也为4， 求出菱形的高面积就可求【例题 3】已知在 ABC中， AB=AC=5 ，BC=6 ，AD是 BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载【答案】 （1） AB=AC ，AD是 BC的边上的中线，AD BC ，ADB=90 ，四边形ADBE 是平行四边形平行四边形ADBE是矩形；（2） AB=AC=5 ，BC=6 ， AD是 BC的中线，BD=DC=612=3，在直角 ACD中，AD=22ACDC=4，S矩形 ADBE=BD?AD=3 4=12【解析】（1）利用三线合一定理可以证得ADB=90 ，根据矩形的定义即可证得；（2）利用勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解【例题 4】如图，已知点E、F、G 、H分别在正方形ABCD 的各边上，且AE=BF=CG=DH，AF、BG 、 CH 、DE分别相交于点A、B、C、D求证：四边形ABCD是正方形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载【答案】 证明：在正方形ABCD 中，在 ABF和 BCG中，ABBCABCBCDBFCG ABF BCG （SAS ） BAF= GBC ， BAF+ AFB=90 ， GBC+ AFB=90 ，BB F=90，ABC=90同理可得 BCD=CDA=90，四边形ABCD是矩形在 AB B和BC C 中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载BAFGBCAB BBCCABBCAB BBC C（ AAS ），AB =BC 在 AA E 和BB F 中，BAFGBCAA EBB FAEBFAA EBB F（ AAS ），AA =BB AB=BC矩形 ABCD是正方形【解析】 依据三角形的内角和定理可以判定四边形A B C D的三个角是直角，则四边形是矩形，然后证明一组邻边相等，可以证得四边形是正方形四、课堂运用【基础】1.如图 1， 在 OAB中， OAB=90 ，AOB=30 ，OB=8 以 OB为边， 在 OAB外作等边 OBC ，D是 OB的中点，连接AD并延长交OC于 E（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图 2，将图 1 中的四边形ABCO 折叠，使点C与点 A重合，折痕为FG ，求 OG 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载2.如图，在菱形ABCD 中， AB=2 ，DAB=60 ，点E是 AD边的中点点M是 AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线 CD于点 N，连接 MD 、AN （1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；（2）填空：当AM的值为时，四边形AMDN 是矩形；当AM的值为时，四边形 AMDN 是菱形【巩固】1. 如图 1，P是线段 AB上的一点，在AB的同侧作 APC和 BPD ，使 PC=PA ，PD=PB ，APC=BPD ，连接 CD ，点 E、F、G、H分别是 AC 、AB 、BD 、CD的中点，顺次连接E、F、 G 、H（1）猜想四边形EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由；（2）当点 P在线段 AB的上方时， 如图 2，在 APB的外部作 APC和 BPD ，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）如果（ 2）中， APC= BPD=90 ，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由2.已知，四边形ABCD 是正方形， MAN=45 ，它的两边AM 、AN分别交 CB、DC与点 M 、 N，连接 MN ，作 AH MN ，垂足为点H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载（1）如图 1，猜想 AH与 AB有什么数量关系？并证明；（2）如图 2，已知 BAC=45 ， AD BC于点 D，且 BD=2 ，CD=3 ，求 AD的长；小萍同学通过观察图发现，ABM 和 AHM 关于 AM对称， AHN和 ADN关于 AN对称， 于是她巧妙运用这个发现，将图形如图进行翻折变换，解答了此题 你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？【拔高】1.在图 1到图 3中， 点 O是正方形 ABCD 对角线 AC的中点，MPN 为直角三角形， MPN=90 正方形 ABCD保持不动， MPN 沿射线 AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持 PM垂直于直线AB于点 E，PN垂直于直线BC于点 F（1）如图 1，当点 P与点 O重合时， OE与 OF的数量关系为；（2）如图 2，当 P在线段 OC上时，猜想OE与 OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；（3） 如图 3， 当点 P在 AC的延长线上时， OE与 OF的数量关系为； 位置关系为2.如图，在四边形ABCD中， AB=DC ，E、F分别是 AD 、BC的中点， G 、H分别是对角线BD、AC的中点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若 AB=1 ，则当 ABC+ DCB=90 时，求四边形EGFH 的面积课程小结1.各种平行四边形的关系；2.各种四边形的性质与判定的灵活运用。课后作业【基础】1.如图： ABC中， AD是边 BC上的中线，过点A作 AE BC ，过点 D作 DE AB与 AC 、AE分别交于点O 、E，连接 EC （1）求证： AD=EC ；（2）当 BAC=90 时，求证：四边形ADCE是菱形；（3）在（ 2）的条件下，若AB=AO ，且 OD=a ，求菱形ADCE的周长2.如图， 平行四边形ABCD中，点 E、F、G、H分别在 AB 、BC 、CD 、AD边上且 AE=CG ，AH=CF （1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果 AB=AD ，且 AH=AE ，求证：四边形EFGH 是矩形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载【巩固】1.如图，在四边形ABCD中， AB=CD ，BF=DE ，AE BD ，CFBD ，垂足分别为E，F（1）求证： ABE CDF ；（2）若 AC与 BD交于点 O ，求证： AO=CO 2.在?ABCD中， BAD的平分线交直线BC于点 E，交直线DC于点 F（1）在图 1 中证明 CE=CF ；（2）若 ABC=90 ， G是 EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数；（3）若 ABC=120 ， FG CE ，FG=CE ，分别连接DB 、 DG （如图 3），求 BDG 的度数【拔高】1.已知四边形ABCD ，以此四边形的四条边为边向外分别作正方形，顺次连接这四个正方形的对角线交点E，F，G ， H，得到一个新四边形EFGH （1）如图 1，若四边形 ABCD 是正方形， 则四边形EFGH （填“是”或“不是”）正方形；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载（2） 如图 2， 若四边形 ABCD是矩形，则 （1） 中的结论（填“能”或“不能”）成立；（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，其他条件不变，判断（1）中的结论是否还成立？若成立，证明你的结论，若不成立，请说明你的理由2.如图 1，在 ABC中， AB=BC=5 ，AC=6 ECD是 ABC沿 BC方向平移得到的，连接AE、AC和 BE相交于点O （1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图 2，P是线段 BC上一动点（图2） ， （不与点B、C重合），连接 PO并延长交线段AE于点 Q ， QR BD ，垂足为点R四边形PQED 的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED 的面积课后评价精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页