1 知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()nnnnnnmpqnnnnaq naaa qaad naandnn nSaanadaaaamnpq两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()nnnnmpqaa qaqqqqSnaqa aa amnpq等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1) 递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（d，q 为常数）例 1、已知 an 满足 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。例 1、解an+1-an=2 为常数an是首项为1，公差为2 的等差数列an=1+2（n-1 ）即 an=2n-1 例 2、已知na满足112nnaa，而12a，求na=？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页2 （2）递推式为 an+1=an+f（n）例 3、已知na中112a，12141nnaan，求na.解：由已知可知)12)(12(11nnaann)121121(21nn令 n=1， 2， （n-1 ） ，代入得（ n-1 ）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+ +（an-an-1）2434)1211(211nnnaan说明只要和f （1）+f （2）+f （n-1 ）是可求的，就可以由an+1=an+f （n）以 n=1，2，（n-1 ）代入，可得n-1 个等式累加而求an。(3) 递推式为 an+1=pan+q（p，q 为常数）例 4、na中，11a，对于 n1（n N）有132nnaa，求na. 解法一：由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）因此数列 an+1-an是公比为3 的等比数列，其首项为a2-a1=（3 1+2）-1=4 an+1-an=43n-1an+1=3an+2 3an+2-an=43n-1 即 an=23n-1-1 解法二： 上法得 an+1-an是公比为3 的等比数列， 于是有：a2-a1=4， a3-a2=4 3， a4-a3=4 32， ，an-an-1=4 3n-2，把 n-1 个等式累加得：an=23n-1-1 (4) 递推式为 an+1=p an+q n （p，q 为常数）)(3211nnnnbbbb由上题的解法，得：nnb)32(23nnnnnba)31(2)21(32 (5) 递推式为21nnnapaqa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页3 思路：设21nnnapaqa, 可以变形为：211()nnnnaaaa，想于是 an+1- an是公比为的等比数列，就转化为前面的类型。求na。(6) 递推式为 Sn与 an的关系式关系；（2）试用 n表示 an。)2121()(1211nnnnnnaaSS11121nnnnaaannnaa21211上式两边同乘以2n+1得 2n+1an+1=2nan+2 则2nan 是公差为 2 的等差数列。2nan= 2+ （n-1 ） 2=2n 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页4 数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果na等差，nb等比，那么nna b叫做差比数列）即把每一项都乘以nb的公比q， 向后错一项， 再对应同次项相减， 转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列11nnaa和11nnaa（其中na等差）可裂项为：111111()nnnnaadaa，1111()nnnnaadaa等差数列前n项和的最值问题：1、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最大值。（）若已知通项na，则nS最大100nnaa；（）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最大；2、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最小值（）若已知通项na，则nS最小100nnaa；（）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最小；数列通项的求法：公式法 ：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知nS（即12( )naaaf nL）求na， 用作差法 ：11,(1),(2)nnnSnaSSn。已知12( )na aaf ng g L g求na，用作商法：(1),(1)( ),(2)(1)nfnf nanf n。已知条件中既有nS还有na，有时先求nS，再求na；有时也可直接求na。若1( )nnaaf n求na用累加法 ：11221()()()nnnnnaaaaaaaL1a (2)n。已知1( )nnaf na求na，用累乘法 ：121121nnnnnaaaaaaaaL(2)n。已知递推关系求na，用构造法 （构造等差、等比数列）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页5 特别地 ， （1）形如1nnakab、1nnnakab（,k b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列 后，再求na；形如1nnnakak的递推数列都可以除以nk得到一个等差数列后，再求na。（2）形如11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项。（3）形如1knnaa的递推数列都可以用对数法求通项。（7） （理科） 数学归纳法 。（8）当遇到qaadaannnn1111或时， 分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式。数列求和的常用方法：（1）公式法 ：等差数列求和公式；等比数列求和公式。（2）分组求和法 ：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。（3）倒序相加法 ：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）. （4）错位相减法 ：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）. （5）裂项相消法 ：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和 . 常用裂项形式有：111(1)1n nnn； 11 11()()n nkk nnk；2211111()1211kkkk，211111111(1)(1)1kkkkkkkkk；1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn；11(1)!(1)!nnnn；2122(1)2(1)11nnnnnnnnn二、解题方法：求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、nnaS 求由（时，时，）naSnaSSnnn121113、求差（商）法如：满足aaaannnn121212251122解：naa1122151411时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页6 naaannn2121212215212211时，12122得：nnaann21annnn141221()()练习数列满足，求aSSaaannnnn111534（注意到代入得：aSSSSnnnnn1114又，是等比数列，SSSnnn144naSSnnnn23411时， 4 、叠乘法例如：数列中，求aaaannannnn1131解：aaaaaannaannnn213211122311，又，aann133 5 、等差型递推公式由，求，用迭加法aaf naaannn110( )naafaafaaf nnn22321321时，两边相加，得：( )( )( )aafff nn123( )( )( )aafff nn023( )( )( )练习数列，求aaaanannnnn111132（）ann1231精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页7 6、等比型递推公式acad cdccdnn 1010、 为常数，可转化为等比数列，设axc axnn 1acacxnn 11令，()cxdxdc11是首项为， 为公比的等比数列adcadccn111adcadccnn1111aadccdcnn1111练习数列满足，求aaaaannnn11934（）ann84311 7、倒数法例如：，求aaaaannnn11122由已知得：1221211aaaannnn11121aann111121aan为等差数列，公差为11112121annnann21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页8 2数列求和问题的方法（1） 、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。13 5 (2n-1)=n2【例 8】求数列 1， （3+5） ， （7+9+10） ， （ 13+15+17+19） ，前 n 项的和。解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n 项中，共有1+2+n=)1(21nn个奇数，最后一个奇数为：1+21n(n+1)-12=n2+n-1 因此所求数列的前n 项的和为（2） 、分解转化法对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1 （n2-1 ）+ 2 （n2-22）+3 （n2-32） +n（n2-n2）解 S=n2（1+2+3+ +n）- （ 13+23+33+n3）（3） 、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和：12363nnnnnSCCnCL例 10、解0120363nnnnnnSCCCnC?L Sn=3n2n-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页9 （4） 、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和例 11、求数列 1，3x，5x2, ,(2n-1)xn-1前 n 项的和解设 Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1(2)x=0时， Sn=1(3) 当 x0 且 x1 时，在式两边同乘以x 得 xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn， -，得 (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn(5) 裂项法：把通项公式整理成两项( 式多项 ) 差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：例 12、求和11111 53 75 9(21)(23)nn?L注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法1函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例 13】等差数列 an的首项 a10，前 n 项的和为Sn，若 Sl=Sk（l k）问 n 为何值时Sn最大？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页10 此函数以n 为自变量的二次函数。a10 Sl=Sk（l k）， d0 故此二次函数的图像开口向下 f （l ） =f （k）2方程思想【例 14】设等比数列 an前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比q。分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解依题意可知q1。如果 q=1，则 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出a1=0 与等比数列不符。 q1 整理得 q3（2q6-q3-1 ） =0 q0 此题还可以作如下思考：S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），由 S3+S6=2S9可得 2+q3=2（1+q3+q6）， 2q6+q3=03换元思想【例 15】已知 a，b，c 是不为 1 的正数， x，y，zR+，且求证： a，b， c 顺次成等比数列。证明依题意令ax=by=cz=k x=1ogak，y=logbk，z=logck b2=ac a，b， c 成等比数列（a，b，c 均不为 0）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页11 数学 5（必修）第二章：数列 提高训练C组 一、选择题1数列na的通项公式11nnan，则该数列的前（）项之和等于9。A98 B99C96 D972在等差数列na中，若4, 184SS，则20191817aaaa的值为（）A9 B12C16 D173在等比数列na中，若62a，且0122345aaa，则na为（）A6 B2)1(6n C 226n D6或2)1(6n或226n4在等差数列na中，2700.,200.10052515021aaaaaa，则1a为（）A22.5B21.5 C20.5 D205已知等差数列nan的前项和为mSaaamSmmmmn则且若,38,0, 1,12211等于（）A38B20C10D96等差数列na,nb的前n项和分别为nS,nT, 若231nnSnTn,则nnab=（）A23 B2131nn C2131nn D2134nn二、填空题1已知数列na中，11a，11nnnnaaaa，则数列通项na_。2已知数列的12nnSn，则12111098aaaaa=_。3三个不同的实数cba,成等差数列，且bca,成等比数列，则:a b c_。4在等差数列na中，公差21d，前100项的和45100S，则99531.aaaa=_。5若等差数列na中，37101148,4,aaaaa则13_.S6一个等比数列各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和，则公比q为_。三、解答题1 已知数列na的前n项和nnS23，求na精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页12 2 一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，如果其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数。3 数列),60cos1000lg(),.60cos1000lg(),60cos1000lg(,1000lg01020n的前多少项和为最大？4 已知数列na的前n项和)34()1(.139511nSnn，求312215SSS的值。5已知数列 an的前 n 项和为 Sn，满足 Sn=2an-2n(n N ) （1）求数列 an的通项公式an; （2）若数列 bn 满足 bn=log2(an+2),Tn为数列 2nnab的前 n 项和，求证Tn21; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页13 参考答案（数学5 必修）第二章 提高训练C组 一、选择题1.B 11,2132.11nnann Snnnn1 19,110,99nSnnn2.A 4841,3,SSS而48412816122016,SSSSSSSSS成等差数列即1,3,5,7,9,1718192020169aaaaSS3.D 225432534232220,22,(1)2(1)aaaaaaaaa qaq232210,2,11aaqq或或，当1q时，6na；当1q时，1216,6 ( 1)6 ( 1)nnnaa；当2q时，1213,3 26 2nnnaa；4.C 501505027002005050,1,()2002ddSaa，1501118,2498,241,20.5aaadaa5.C 20,(2)0,2,mmmmmmaaaaaa21121221()(21)38,21192mmmmSaamam6.B 121212112121()22(21)2122123(21) 131()2nnnnnnnnnaaaaSnnnbbTnnbb二、填空题1.1n1111111111,1,1,nnnnnaaaaaa是以11a为首项，以1为公差的等差数列，111(1)( 1),nnnn aan1.100228910111212712121(771)100aaaaaSS3. )2(:1:422222 ,2,(2) ,540acb cba abcbaaabb,4 ,2ab ab cb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页14 4. 10100110011001991100100()45,0.9,0.4,2Saaaaaaaad1995050()0.41022Saa5.156371011431110471311371312,12,()132aaaaaaaaaaSaaa6.512设221215,10,0,2nnnnnaaaqaq aqqqq三、解答题1.解：111132 ,32,2(2)nnnnnnnnSSaSSn而115aS，)2( ,2) 1( , 51nnann2.解：设此数列的公比为,(1)q q，项数为2n，则22222(1)1()85,170,11nnaqqSSqq奇偶2221122,85,2256,28,1 4nnSaqnSa偶奇,2q项数为82.解：3(1)lg2,nnana是以3为首项，以lg 2为公差的等差数列，2lg26lg 233(1)lg 2,222nnSnnn对称轴*6lg 210.47,10,112lg 2nnN比较起来10更靠近对称轴前10项和为最大。另法：由100nnaa，得9.910.9n3.解：( 4),2 ,2121,( 4)43,2nnnnn nSSnnnnn为偶数为偶数，为奇数为奇数15223129,44,61,SSS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页15 15223176SSS20.（1）当 nN 时， Snann22, 则当 n2，nN 时， S1n=2a1n-2(n-1).- ，得 an=2an-2a1n-2 即 an=2a1n+2，an+2=2（a1n+2） ，221nnaa=2 当 n=1 时， S1=2a1-2, 则 a1=2，| an+2| 是以 a1+2 为首项，以2 为公比的等比数列。an+2=421n，an=21n-2 （） bn=log2( an+2)= log221n=n+1, 2nnab=121nn, 则 Tn=222+323+121nn，21Tn=322+12nn+221nn- ，得21Tn=222321+421+121n-221nn =41+21121141n-221nn =41+21-121n-221nn =43-223nn，Tn=23-123nn. 当 n2 时， Tn-T1n=-1112123422223nnnnnnnnn0，Tn 为递增数列， TnT1=21. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页