第1页（共 14页）二次根式压轴题（八下学完才能用）一选择题（共1 小题）1 （ 2003?杭州）对于以下四个命题： 若直角三角形的两条边长为3 与 4，则第三边的长是 5； （）2=a； 若点 P（a，b）在第三象限，则点Q（ a， b）在第一象限； 两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（）A只有 错误，其他正确B 错误， 正确C 错误， 正确D只有 错误，其他正确二填空题（共11 小题）2 （ 2012?山西模拟）若规定符号“ *” 的意义是 a*b=abb2，则 2*（）的值是3 （ 2010?鄂州）如图，四边形ABCD 中， AB=AC=AD ，E 是 CB 的中点， AE=EC ，BAC=3 DBC ，BD=6+6，则 AB=4 （ 2010?拱墅区一模）已知a， b 是正整数，且满足也是整数：（1）写出一对符合条件的数对是；（2）所有满足条件的有序数对（a， b）共有对5 （ 2010?澄海区校级模拟）化简=6 （ 2009?兴化市模拟）若实数a 满足 |a8|+=a，则 a=7 （ 2009?琼海模拟）化简二次根式的正确结果是8（2008?贵港）观察下列等式：， 请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：=9 （ 2004?宁波）已知：a0，化简=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页第2页（共 14页）10 （1998?杭州）已知，则=11 （1998?内江）已知ab=2，则的值是12 （1997?内江）已知1x 2，则的值是三解答题（共4 小题）13 （2012?巴中）先化简，再求值：（）?，其中 x=14 （2009?邵阳）阅读下列材料，然后回答问题在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：=； （一）=（二）=（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：=（四）（1）请用不同的方法化简 参照（三）式得=（） ； 参照（四）式得=（）（2）化简：15 （2008?凉山州）阅读材料，解答下列问题例：当 a0 时，如 a=6 则|a|=|6|=6，故此时a 的绝对值是它本身；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页第3页（共 14页）当 a=0 时， |a|=0，故此时a 的绝对值是零；当 a0 时，如 a=6 则|a|=|6|=（ 6） ，故此时a 的绝对值是它的相反数综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想问： （1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（2）猜想与|a|的大小关系16 （2005?台州）我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“ 三斜求积术 ” ，即已知三角形的三边长，求它的面积用现代式子表示即为： （其中 a、 b、 c 为三角形的三边长， s 为面积）而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s= （其中 p= ）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式 和公式 ，计算该三角形的面积 s；（2）你能否由公式 推导出公式 ？请试试精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页第4页（共 14页）二次根式压轴题（八下学完才能用）参考答案与试题解析一选择题（共1 小题）1 （ 2003?杭州）对于以下四个命题： 若直角三角形的两条边长为3 与 4，则第三边的长是 5； （）2=a； 若点 P（a，b）在第三象限，则点Q（ a， b）在第一象限； 两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（）A只有 错误，其他正确B 错误， 正确C 错误， 正确D只有 错误，其他正确考点 ： 二 次根式的性质与化简；点的坐标；全等三角形的判定；勾股定理专题 ： 压 轴题分析： 应明确边长为4 的边是直角边还是斜边； 隐含条件a 0，根据二次根式的定义解答； 根据每个象限内点的符号特点判断出a、b 的符号， 再判断出 a、b 的符号即可； 用“ 倍长中线法 ” 可证明两个三角形全等解答：解 ： 错误，应强调为直角三角形的两条直角边长为3与 4，则第三边的长是5； 正确，隐含条件a 0，根据二次根式的意义，等式成立； 正确，若点P（a，b）在第三象限，则a0， b0；则 a0， b0，点 Q（a， b）在第一象限； 正确，作辅助线，倍长中线，可证明两个三角形全等故选： A点评：本 题考查了对勾股定理的理解，二次根式的化简，点的对称性质，全等三角形的判定方法二填空题（共11 小题）2 （2012?山西模拟） 若规定符号 “ * ” 的意义是 a*b=abb2，则 2*（）的值是45考点 ： 二 次根式的混合运算专题 ： 压 轴题；新定义分析：先 理解 “ * ” 的意义，然后将2*（）表示出来计算即可解答：解：由题意得：2* （）=2 （1）=4 5故答案为： 4 5点评：本 题考查二次根式的混合运算，难度不大，注意理解“ * ” 的意义3 （ 2010?鄂州）如图，四边形ABCD 中， AB=AC=AD ，E 是 CB 的中点， AE=EC ，BAC=3 DBC ，BD=6+6，则 AB=12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页第5页（共 14页）考点 ： 二 次根式的应用；等腰三角形的性质；垂径定理；解直角三角形专题 ： 压 轴题分析：作 辅助圆 A，由已知证明 ABC 为等腰直角三角形，ACD 为等边三角形，作CFBD ，将 BCD 分为两个直角三角形，解直角三角形，列方程求解解答：解 ：法一：以点A 为圆心， AB 为半径画圆，作CFBD ，垂足为F， AB=AC=AD ，C、D 两点都在 A 上， E 是 CB 的中点， AE=EC ，由垂径定理得，AE=EC=BE ，AEBC， BAC=90 ， BDC= BAC=45 ，又 BAC=3 DBC ， DBC=30 ， CAD=2 DBC=60 ， ACD 为等边三角形，设 AB=AC=CD=x ，在 RtABC 中， BC=x，在 RtBCF 中， FBC=30 ， BF=BC=x，同理， DF=x，由 DF+BF=BD ，得x+x=6+6解得 x=12，即 AB=12 法二：作CFBD，垂足为F， AB=AC ， E 是 CB 的中点， AE=EC AE=BE=EC ， AEBC， BAE= ABE=45 ， ACE= EAC=45 ， BAC=90 ，又 BAC=3 DBC ， DBC=30 ， ABD= ADB=15 ， BAD=150 ， CAD=60 ， ACD 为等边三角形，设 AB=AC=CD=x ，在 RtABC 中， BC=x，在 RtBCF 中， FBC=30 ， BF=BC=x，同理， DF=x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页第6页（共 14页）由 DF+BF=BD ，得x+x=6+6解得 x=12，即 AB=12 点评：本 题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的判定及圆的相关知识，解直角三角形，列方程求解4 （ 2010?拱墅区一模）已知a， b 是正整数，且满足也是整数：（1）写出一对符合条件的数对是（15，15） 、 （60、60） 、 （15，60） 、 （60，15） 、 （240，240） 、（135，540） 、 （540，135）；（2）所有满足条件的有序数对（a， b）共有7对考点 ： 二 次根式的性质与化简专题 ： 计 算题；压轴题分析：把 2 放在根号下，得出+，是整数， a、b 的值进行讨论，使和为整数或和为整数，从而得出答案解答：解： （1）=+， 当 a、b 的值为 15， 60，135，240， 540 时，当 a=15，b=15 时，即=4；当 a=60，b=60 时，即=2；当 a=15，b=60 时，即=3；当 a=60，b=15 时，即=3；当 a=240，b=240 时，即=1；当 a=135，b=540 时，即=1；当 a=540，b=135 时，即=1；故答案为：（15，15） 、 （ 60、60） 、 （15， 60） 、 （60，15） 、 （240，240） 、 （135，540） 、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页第7页（共 14页）（ 540，135） ；（ 2）所有满足条件的有序数对（a，b）共有7 对，故答案为7点评：本 题考查了二次根式的性质和化简，解决此题的关键是分类讨论思想，得出a、b 可能的取值5 （ 2010?澄海区校级模拟）化简=2考点 ： 二 次根式的性质与化简专题 ： 计 算题；压轴题分析：先将 14x+4x2化成（ 12x）2，再根据（）2有意义，即可求得x 的取值范围，从而化简得出结果解答：解： （）2有意义， 2x3 0， x 1.5， 2x1 31=2，=2x+3 =2x12x+3 =2，故答案为2点评：本 题考查了完全平方公式和二次根式的化简和求值，是基础知识要熟练掌握6 （ 2009?兴化市模拟）若实数a 满足 |a8|+=a，则 a=74考点 ： 二 次根式有意义的条件专题 ： 压 轴题分析：由可得 a 10，再对式子进行化简，从而求出a 的值解答：解 ：根据题意得：a10 0，解得 a 10， 原等式可化为：a8+=a，即=8， a10=64，解得： a=74点评：二 次根式中被开方数为非负数，是解此题的突破口精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页第8页（共 14页）7 （ 2009?琼海模拟）化简二次根式的正确结果是考点 ： 二 次根式的性质与化简专题 ： 压 轴题分析：根 据二次根式的性质及定义解答解答：解 ：由二次根式的性质得a3b 0 ab a0，b0 原式 =a点评：解 答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a 0）的代数式叫做二次根式2、性质：=|a|8（2008?贵港）观察下列等式：， 请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：=2006考点 ： 分 母有理化专题 ： 压 轴题；规律型分析：所 求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为：+ +=，然后利用平方差公式计算解答：解： ， 原式 =（+ +） （）=（） （）=20082 =2006故本题答案为：2006点评：解 答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的抵消规律9 （ 2004?宁波）已知：a0，化简=2考点 ： 二 次根式的性质与化简专题 ： 压 轴题分析：根 据二次根式的性质化简精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页第9页（共 14页）解答：解： 原式 =又 二次根式内的数为非负数 a=0 a=1 或 1 a0 a=1 原式 =02=2点评：解 决本题的关键是根据二次根式内的数为非负数得到a 的值10 （1998?杭州）已知，则=13考点 ： 二 次根式的加减法专题 ： 压 轴题；换元法分析：用 换元法代替两个带根号的式子，得出m、n 的关系式，解方程组求m、n 的值即可解答：解：设 m=，n=，那么 mn=2 ，m2+n2=+=34 由 得，m=2+n ，将 代入 得： n2+2n15=0，解得： n=5（舍去）或n=3，因此可得出，m=5，n=3（ m 0，n 0） 所以=n+2m=13点评：本 题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解11 （1998?内江）已知ab=2，则的值是考点 ： 二 次根式的化简求值专题 ： 压 轴题分析：由 已知条件可知，本题有两种情况需要考虑：a0，b 0；a0，b0解答：解 ：当 a0， b0 时，原式 =；当 a 0，b0 时，原式 =2点评：此 题的难点在于需考虑两种情况精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页第10页（共 14页）12 （1997?内江）已知1x 2，则的值是2考点 ： 二 次根式的化简求值专题 ： 压 轴题分析：由于（）2=x 12+=x+3，又 ，由此可以得到 （）2=4，又由于 1 x2，由此可以得到的值 0，最后即可得到的值解答：解： （）2=x12+=x+3，又 ， （）2=4，又 1x2，0，=2故填： 2点评：此 题解题关键是把所求代数式两边平方，找到它和已知等式的联系，然后利用联系解题三解答题（共4 小题）13 （2012?巴中）先化简，再求值：（）?，其中 x=考点 ： 二 次根式的化简求值；分式的化简求值专题 ： 压 轴题；分类讨论分析：先 根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可解答：解：原式 =?，当 x=时， x+10，可知=x+1 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页第11页（共 14页）故原式 =?=；点评：本题考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是当x=时得出=x+1，此题难度不大14 （2009?邵阳）阅读下列材料，然后回答问题在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：=； （一）=（二）=（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：=（四）（1）请用不同的方法化简 参照（三）式得=（） ； 参照（四）式得=（）（2）化简：考点：分母有理化专题：压轴题；阅读型分析：（1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页第12页（共 14页）解答：解： （1）=，=；（2）原式=+ +=+ +=点评：学会分母有理化的两种方法15 （2008?凉山州）阅读材料，解答下列问题例：当 a0 时，如 a=6 则|a|=|6|=6，故此时a 的绝对值是它本身；当 a=0 时， |a|=0，故此时a 的绝对值是零；当 a0 时，如 a=6 则|a|=|6|=（ 6） ，故此时a 的绝对值是它的相反数综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想问： （1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（2）猜想与|a|的大小关系考点 ： 二 次根式的性质与化简专题 ： 压 轴题；阅读型分析：应 用二次根式的化简，首先应注意被开方数的范围，再进行化简解答：解： （1）由题意可得=；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页第13页（共 14页）（ 2）由（ 1）可得：=|a|点评：本题主要考查二次根式的化简方法与运用： 当 a0时，=a； 当 a0时，= a； 当 a=0 时，=016 （2005?台州）我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“ 三斜求积术 ” ，即已知三角形的三边长，求它的面积用现代式子表示即为： （其中 a、 b、 c 为三角形的三边长， s 为面积）而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s= （其中 p= ）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式 和公式 ，计算该三角形的面积 s；（2）你能否由公式 推导出公式 ？请试试考点 ： 二 次根式的应用专题 ： 压 轴题分析：（1）代入计算即可；（ 2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算解答：解： （1）S=，=；P=（5+7+8）=10，又 S=；（ 2）=（）=，=（c+a b） （c a+b） （a+b+c） （ a+bc） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页第14页（共 14页）=（2p2a） （2p2b）?2p?（2p2c） ，=p（pa） （p b） （p c） ，=（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）点评：考 查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页