立身以立学为先，立学以读书为本抽象函数常见题型解法综述赵春祥抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例 1. 已知函数)(2xf的定义域是1，2，求 f（x）的定义域。解：)(2xf的定义域是1，2，是指21x，所以)(2xf中的2x满足412x从而函数f（x）的定义域是1，4评析：一般地， 已知函数)(xf的定义域是A， 求 f （x） 的定义域问题， 相当于已知)(xf中 x 的取值范围为A，据此求)(x的值域问题。例 2. 已知函数)(xf的定义域是21，求函数)3(log21xf的定义域。解：)(xf的定义域是21，意思是凡被f 作用的对象都在21，中，由此可得4111)21(3)21(2)3(log11221xxx所以函数)3(log21xf的定义域是4111 ，评析： 这类问题的一般形式是：已知函数f（x）的定义域是A，求函数)(xf的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知)(x的值域 B，且AB，据此求x 的取值范围。例2 和例 1 形式上正相反。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本二、求值问题例3. 已知定义域为R的函数f（ x），同时满足下列条件：51)6(1)2(ff，；)()()(yfxfyxf，求 f（ 3）， f（9）的值。解： 取32yx，得)3()2()6(fff因为51)6(1)2(ff，所以54)3(f又取3yx得58)3()3()9(fff评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32yx，这样便把已知条件51)6(1)2(ff，与欲求的f（3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。三、值域问题例 4. 设函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数x、y，)()()(yfxfyxf总成立，且存在21xx，使得)()(21xfxf，求函数)(xf的值域。解： 令0yx，得2)0()0(ff，即有0)0(f或1)0(f。若0)0(f，则0)0()()0()(fxfxfxf，对任意Rx均成立，这与存在实数21xx，使得)()(21xfxf成立矛盾，故0)0(f，必有1)0(f。由于)()()(yfxfyxf对任意Ryx、均成立，因此，对任意Rx，有0)2()2()2()22()(2xfxfxfxxfxf下面来证明，对任意0)(xfRx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本设存在Rx0，使得0)(0xf，则0)()()()0(0000xfxfxxff这与上面已证的0)0(f矛盾，因此，对任意0)(xfRx，所以0)(xf评析： 在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。四、解析式问题例 5. 设对满足10xx，的所有实数x，函数)(xf满足xxxfxf1)1()(，求 f （x）的解析式。解： 在)1 (1)1()(xxxfxf中以xx1代换其中x，得：)2(12)11()1(xxxfxxf再在（ 1）中以11x代换 x，得)3(12)()11(xxxfxf)3()2()1(化简得：)1(21)(23xxxxxf评析： 如果把 x 和xx1分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。五、单调性问题例6. 设f（ x ）定义于实数集上，当0x时，1)(xf，且对于任意实数x、 y，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本)()()(yfxfyxf，求证：)(xf在 R 上为增函数。证明： 在)()()(yfxfyxf中取0yx，得2)0()0(ff若0)0(f，令00yx，则0)(xf，与1)(xf矛盾所以0)0(f，即有1)0(f当0x时，01)(xf；当0x时，01)(0xfx，而1)0()()(fxfxf所以0)(1)(xfxf又当0x时，01)0(f所以对任意Rx，恒有0)(xf设21xx，则1)(01212xxfxx，所以)()()()()(11211212xfxxfxfxxxfxf所以)(xfy在 R 上为增函数。评析： 一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。六、奇偶性问题例7. 已 知 函 数)0)(xRxxf，对 任 意 不 等 于 零 的 实 数21xx、都 有)()()(2121xfxfxxf，试判断函数f（x）的奇偶性。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本解： 取1121xx，得：)1()1()1(fff，所以0) 1(f又取121xx得：)1() 1()1(fff，所以0)1(f再取121xxx，则)()1()(xffxf，即)()(xfxf因为)(xf为非零函数，所以)(xf为偶函数。七、对称性问题例 8. 已知函数)(xfy满足2002)()(xfxf，求)2002()(11xfxf的值。解： 已知式即在对称关系式bxafxaf2)()(中取20020ba，所以函数)(xfy的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数)(1xfy的图象关于点（2002， 0）对称。所以0)1001()1001(11xfxf将上式中的x 用1001x代换，得0)2002()(11xfxf评析： 这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b 均为常数， 函数)(xfy对一切实数x 都满足bxafxaf2)()(，则函数)(xfy的图象关于点（ a，b）成中心对称图形。八、网络综合问题例 9. 定义在 R 上的函数f（x）满足：对任意实数m， n，总有)()()(nfmfnmf，且当 x0 时， 0f（x） 0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页