学习必备欢迎下载第二十二讲生活中的数学 (一) 储蓄、保险与纳税储蓄、保险、纳税是最常见的有关理财方面的数学问题，几乎人人都会遇到，因此，我们在这一讲举例介绍有关这方面的知识，以增强理财的自我保护意识和处理简单财务问题的数学能力1储蓄银行对存款人付给利息，这叫储蓄存入的钱叫本金一定存期( 年、月或日 ) 内的利息对本金的比叫利率本金加上利息叫本利和利息 =本金利率存期，本利和 =本金 (1+利率经存期 ) 如果用 p，r ，n，i ，s 分别表示本金、利率、存期、利息与本利和，那么有i=prn ，s=p(1+rn) 例 1 设年利率为0.0171 ，某人存入银行2000 元， 3 年后得到利息多少元？本利和为多少元？解 i=2000 0.0171 3=102.6( 元)s=2000 (1+0.0171 3)=2102.6( 元) 答 某人得到利息102.6 元，本利和为2102.6 元以上计算利息的方法叫单利法，单利法的特点是无论存款多少年，利息都不加入本金相对地， 如果存款年限较长，约定在每年的某月把利息加入本金，这就是复利法，即利息再生利息目前我国银行存款多数实行的是单利法不过规定存款的年限越长利率也越高例如，1998 年 3 月我国银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表221所示用复利法计算本利和，如果设本金是p 元，年利率是r, 存期是 n 年，那么若第1 年到第 n 年的本利和分别是s1，s2, ，sn，则s1=p(1+r) ，s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2，s3s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3，sn=p(1+r)n例 2 小李有 20000 元，想存入银行储蓄5 年，可有几种储蓄方案，哪种方案获利最多？解 按表 221 的利率计算(1) 连续存五个1 年期，则 5 年期满的本利和为20000(1+0.0522)5 25794(元)(2) 先存一个 2 年期，再连续存三个1 年期，则 5 年后本利和为20000(1+0.0558 2) (1+0.0522)3 25898( 元) (3) 先连续存二个2 年期，再存一个1 年期，则 5 年后本利和为20000(1+0.0558 2)2(1+0.0552) 26003(元) (4) 先存一个 3 年期，再转存一个2 年期，则 5 年后的本利和为20000(1 0.0621 3) (1+0.0558 2) 26374( 元) (5) 先存一个 3 年期，然后再连续存二个1 年期，则 5 年后本利和为20000(1+0.0621 3) (1+0.0522)2 26268( 元) (6) 存一个 5 年期，则到期后本利和为20000(1+0.0666 5) 26660( 元) 显然，第六种方案， 获利最多， 可见国家所规定的年利率已经充分考虑了你可能选择的存款方案，利率是合理的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载例 3 小华是独生子女，他的父母为了给他支付将来上大学的学费，从小华5 岁上小学前一年，就开始到银行存了一笔钱，设上大学学费每年为4000 元，四年大学共需16000 元，设银行在此期间存款利率不变，为了使小华到 18 岁时上大学本利和能有16000 元，他们开始到银行存入了多少钱？( 设 1 年、 3 年、 5 年整存整取，定期储蓄的年利率分别为5.22 ，6.21 和 6.66 ) 解 从 5 岁到 18 岁共存 13 年，储蓄 13 年得到利息最多的方案是：连续存两个5 年期后，再存一个3 年期设开始时，存入银行x 元，那么第一个5 年到期时的本利和为x+x0.06665x(1+0.0666 5) 利用上述本利和为本金，再存一个5 年期，等到第二个5 年期满时，则本利和为x(1+0.0666 5)+x(1+0.0666 5) 0.0666 5 =x(1+0.0666 5)2利用这个本利和，存一个3 年定期，到期时本利和为x(1+0.0666 5)2(1+0.0621 3)这个数应等于16000元，即x(1+0.0666 5)2(1+0.0621 3)=16000 ，所以 1.777 1.186x=16000 ，所以 x 7594( 元) 答 开始时存入7594 元. 2保险保险是现代社会必不可少的一种生活、生命和财产保护的金融事业例如，火灾保险就是由于火灾所引起损失的保险，人寿保险是由于人身意外伤害或养老的保险，等等下面举两个简单的实例例 4 假设一个小城镇过去10 年中，发生火灾情况如表222 所示试问： (1) 设想平均每年在1000 家中烧掉几家？(2) 如果保户投保30 万元的火灾保险，最低限度要交多少保险费保险公司才不亏本？解 (1) 因为1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家) ，365+371+385+395+412+418+430+435+440445=4096(家) 1140960.0026 (2)300000 0.0026=780( 元) 答(1) 每年在 1000 家中，大约烧掉2.6 家(2) 投保 30 万元的保险费，至少需交780 元的保险费例 5 财产保险是常见的保险假定A种财产保险是每投保1000 元财产，要交3 元保险费，保险期为1 年，期满后不退保险费， 续保需重新交费 B种财产保险是按储蓄方式，每 1000 元财产保险交储蓄金25 元，保险一年 期满后不论是否得到赔款均全额退还储蓄金，以利息作为保险费今有兄弟二人， 哥哥投保 8 万元 A种保险一年， 弟弟投保 8 万元 B种保险一年试问兄弟二人谁投的保险更合算些？( 假定定期存款1 年期利率为 5.22 ) 解 哥哥投保 8 万元 A种财产保险，需交保险费8000010003=803=240( 元) 弟弟投保 8 万元 B种财产保险，按每1000 元交 25 元保险储蓄金算，共交80000100025=2000( 元)，而 2000 元一年的利息为20000.0522=104.4( 元) 兄弟二人相比较，弟弟少花了保险费约240-104.4=135.60(元) 因此，弟弟投的保险更合算些精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载3纳税纳税是每个公民的义务，对于每个工作人员来说，除了工资部分按国家规定纳税外，个人劳务增收也应纳税现行劳务报酬纳税办法有三种：(1) 每次取得劳务报酬不超过1000 元的 ( 包括 1000 元) ，预扣率为3，全额计税(2) 每次取得劳务报酬1000 元以上、 4000 元以下，减除费用800 元后的余额，依照20的比例税率，计算应纳税额(3) 每次取得劳务报酬4000 元以上的，减除20的费用后，依照20的比例税率，计算应纳税额每次取得劳务报酬超过20000 元的 ( 暂略 ) 由(1) ，(2) ，(3) 的规定，我们如果设个人每次劳务报酬为x 元，y 为相应的纳税金额( 元) ，那么，我们可以写出关于劳务报酬纳税的分段函数：例 6 小王和小张两人一次共取得劳务报酬10000 元，已知小王的报酬是小张的2 倍多，两人共缴纳个人所得税 1560 元，问小王和小张各得劳务报酬多少元？解 根据劳务报酬所得税计算方法( 见函数 ) ， 从已知条件 分析 可知小王的收入超过4000 元，而小张的收入在10004000 之间，如果设小王的收入为x 元，小张的收入为y 元，则有方程组：由得 y=10000-x ，将之代入得x(1-20 )20+(10000-x-800)20=1560，化简、整理得0.16x-0.2x+1840=1560 ，所以0.04x=280 ，x=7000( 元) 则 y=10000-7000=3000( 元) 所以答 小王收入 7000 元，小张收入3000 元例 7 如果对写文章、出版图书所获稿费的纳税计算方法是其中 y(x) 表示稿费为x 元应缴纳的税额那么若小红的爸爸取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到6216 元，问这笔稿费是多少元？解 设这笔稿费为x 元，由于 x4000，所以，根据相应的纳税规定，有方程x(1-20 ) 20 (1-30 )=x-6216 ，化简、整理得0.112x=x-6216 ，所以 0.888x=6216 ，所以 x=7000( 元) 答 这笔稿费是7000 元练习二十二精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载1按下列三种方法，将100 元存入银行， 10 年后的本利和各是多少？( 设 1 年期、 3 年期、 5 年期的年利率分别为 5.22 ， 6.21 ， 6.66 保持不变 ) (1) 定期 1 年，每存满 1 年，将本利和自动转存下一年，共续存10 年；(2) 先连续存三个3 年期， 9 年后将本利和转存1 年期，合计共存10 年；(3) 连续存二个5 年期2李光购买了25000 元某公司 5 年期的债券， 5 年后得到本利和为40000 元，问这种债券的年利率是多少？3王芳取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到2580 元，问这笔稿费是多少元？4把本金 5000 元存入银行，年利率为0.0522 ，几年后本利和为6566 元( 单利法 ) ？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页