多练出技巧巧思出硕果两个计数原理【知识网络】知识点内容分类加法计数原理完成一件事， 可有 n 类办法， 在第一类办法中有m1种方法， 在第二类办法中有m2种方法，在第n 类办法中有mn种方法，则完成这件事情，共有N种不同的方法分步乘法计数原理完成一件事情需要经过n 个步骤， 缺一不可， 完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，完成第n步有 mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N种不同的方法区别与联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理，联系：都涉及的不同方法的种数。区别：分类加法计数原理与有关，各种方法，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与有关，各个步骤，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成. 【典型例题】题型一、分类加法计数原理例1、从 3 名女同学和2 名男同学中选1 人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为（） A.6 B.5 C.3 D.2 例2、在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个? 【变式练习】1. 若a，bN*，且ab 5，则在直角坐标平面内的点(a，b) 共有 _个2在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页多练出技巧巧思出硕果例3、 有不同的语文书9 本，不同的数学书7 本，不同的英语书5 本，从中选出不属于同一学科的书 2 本，则不同的选法有（）A21 种 B315 种 C 143 种 D153 种例4、某同学有同样的画册2 本，同样的集邮册3 本，从中取出 4 本赠送给4 位朋友， 每位朋友一本，则不同的赠送方法共有( ) A4 种 B10 种 C18 种 D20 种方法总结分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理【变式练习】1 某校开设 10 门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）A120 B 98 C63 D56 2 某电脑用户计划使用不超过500 元购买单价分别为60 元、70 元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3 个，元件至少买2 个，则不同的选购方法有（）A.5 B.6 C.7 D.8 3 如图所示， 在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_个4 由 0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有( ) A238 个 B 232 个 C174 个 D168 个例5、在某种信息传输过程中，用4 个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0 和 1，则与信息0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( ) A10 B.11 C.12 D.15 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页多练出技巧巧思出硕果【变式练习】1为了应对欧债危机，沃尔沃汽车公司决定从10 名办公室工作人员中裁去4 人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为_2 在一块并排的10 垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B两种作物的间隔不少于6 垄，不同的选法共有多少种。3.有 4 人各写一张贺卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺卡，共有多少种不同取法？题型二：分步乘法计数原理例6、（1）四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种？（2）四名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方法有多少种？例7、甲、乙两人从 4 门课程中各选修2 门，则甲、 乙所选的课程中恰有1 门相同的选法有( ) A6 种 B12 种 C24 种 D 30 种例8、用数字 2,3 组成四位数， 且数字 2,3 至少都出现一次， 这样的四位数共有_ _个( 用数字作答 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页多练出技巧巧思出硕果方法总结此类问题， 首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”【变式练习】1 从 1，0，1，2 这四个数中选三个不同的数作为函数f （x）=ax2+bx+c 的系数，可组成不同的二次函数共有_个，其中不同的偶函数共有_个. （用数字作答）2 从集合 1 ，2， 3， 10中，选出由5 个数组成的子集，使得这5 个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个? 例9、由数字 1,2,3,4，(1) 可组成多少个3 位数；(2) 可组成多少个没有重复数字的3 位数；(3) 可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页多练出技巧巧思出硕果例10、(1)5名学生从3 项体育项目中选择参赛，若每名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法？（2）5 名学生争夺3 项比赛的冠军，获得冠军的可能情况种数有多少？探究 2解决计数问题时一定要明确研究的对象是什么？怎样才能完成计数，本题给出解决此类问题的一种方法：住店法【变式练习】1 十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有_种行车路线 . A.24 B.16 C.12 D.10 2设集合M 3， 2， 1,0,1,2，P(a，b) 是坐标平面上的点，a，bM，P可以表示平面上多少个不同的点？第二象限内的多少个点？不在直线yx上的多少个点？3(1) 三封信投入到4 个不同的信箱中，共有_种投法(2) 动物园的一个大笼子里，有4 只老虎， 3 只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页多练出技巧巧思出硕果4 乘积12312312345)()()aaabbbccccc（展开后共有多少项？5.8 本不同的书，任选3 本分给 3 位同学，每人1 本，有多少种不同的分法？考点三：分类与分步综合之简单的面的涂色问题例11、如图，用 5 种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？方法总结涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理例12、图为四棱锥P-ABCD ，用四种不同的颜色涂四棱锥的各个面，每个面只用一种颜色涂，要求相邻两面不同色，有多少种涂法？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页多练出技巧巧思出硕果【变式练习】1 如图 ,要给地图A、B、C、 D四个区域分别涂上3 种不同颜色中的某一种, 允许同一种颜色使用多次 , 但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种？2如图，一个地区分为5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种. （以数字作答）排数问题例13、用 0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？（4）比 2000 大的四位偶数？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页多练出技巧巧思出硕果五、课后习题（ 40 分钟，共 50分）一、选择题 ( 每小题 5 分，共 25 分) 1.如图，A、B、C、D为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连接起来，则不同的修筑方案共有( ) A8 种B12 种 C16 种D20 种2.如图，用6 种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( ) A400 种B 460种C480 种D 496种3.甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有( ) A20 种 B 30 种 C40 种D60 种4.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有( ) A16 种 B 18 种 C 37 种 D48 种5.4位同学从甲、 乙、 丙 3 门课程中选修1 门， 则恰有 2 人选修课程甲的不同选法有( ) A12 种 B24 种 C30 种 D36 种二、填空题 ( 每小题 5 分，共 10 分 ) 6.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项， 则报名方法的种数为_五名学生争夺四项比赛的冠军( 冠军不并列 ) ，获得冠军的可能性有_种精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页多练出技巧巧思出硕果7.如图所示22方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是4,3 ,2 , 1中的任何一个，允许重复，若填人A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有A192种 B128种 C96种 D12种三、解答题 ( 共 15 分) 8.(15 分) 如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色则不同的涂色方法共有多少种？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页