学习必备欢迎下载高二数学导学案预习案1、空间向量的加法和减法：1求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形C， 则以起点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在空间任取一点，作a，b，则ab2、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0a的长度是a的长度的倍3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线4、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量a，0b b，/ab的充要条件是存在实数，使ab5、平行于同一个平面的向量称为共面向量6、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使xyC； 或对空间任一定点，有xy C； 或若四点，授课教师高二数学组授课对象高二学年授课时间2015.11 授课题目空间向量与立体几何课型新课使用课时6 课时学习目标1、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。2、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。3、掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。4、理解直线的方向向量与平面的法向量。5、能用向量语言表述直线与直线，直线与平面，平面与平面的垂直、平行关系。6、能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。7、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。教学重点和难点空间向量及其运算，空间向量的应用。参考教材高中数学 2-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载，C共面，则1xyz C xyz7、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向量a，b的夹角，记作,a b两个向量夹角的取值范围是：,0,a b8、对于两个非零向量a和b，若,2a b，则向量a，b互相垂直，记作ab9、已知两个非零向量a和b，则cos,a ba b称为a，b的数量积，记作a b即cos,a ba ba b零向量与任何向量的数量积为010、a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影cos,ba b的乘积11、若a，b为非零向量，e为单位向量，则有1cos,e aa eaa e；20aba b；3a baba ba bab与同向与反向，2a aa，aa a；4cos,a ba ba b；5a ba b12、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组, ,x y z，使得pxaybzc13 、 若 三 个 向 量a，b，c不 共 面 ， 则 所 有 空 间 向 量 组 成 的 集 合 是, , ,p pxaybzc x y zR这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，, ,a b c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底14、设1e，2e，3e为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e，2e，3e的公共起点为原点，分别以1e，2e，3e的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起 点 与 原 点重 合 ， 得 到 向 量p 存 在 有 序 实 数 组, ,x y z， 使 得123px ey ez e把x，y，z称作向量p在单位正交基底1e，2e，3e下的坐标，记作, ,px y z此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标, ,x y z15、设111,ax y z，222,bxyz，则1121212,abxxyyzz2121212,abxxyyzz3111,axyz4121212a bx xy yz z5若a、b为非零向量，则12121200aba bxxy yz z6若0b则121212/,ababxxyyzz7222111aa axyz8121212222222111222cos,x xy yz za ba ba bxyzxyz9111,xy z，222,xy z，则222212121dxxyyzz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载16、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定点是直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点，有ta，这样点和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点17、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为a，b为平面上任意一点，存在有序实数对, x y，使得xayb，这样点与向量a，b就确定了平面的位置18、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量19、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则/abababR，0ababa b20、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则/aa0ana n，/aaanan21、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则/abab，0aba b22 、 设 异 面 直 线a，b的 夹 角 为， 方 向 向 量 为a，b， 其 夹 角 为， 则 有coscosa ba b23、设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l与n的夹角为，则有sincoslnln24、设1n，2n是二面角l的两个面，的法向量，则向量1n，2n的夹角（或其补角） 就是二面角的平面角的大小若二面角l的平面角为，则1212cosn nn n25、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算26、在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，则定点到直线l的距离为cos,ndnn27、点是平面外一点，是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，则点到平面的距离为cos,ndnn要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系考情聚焦： 1平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。2题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。考向链接： 1空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。2空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载探究案例 1： （2010安徽高考理科18）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，EFFB，2ABEF，90BFC，BFFC，H为BC的中点。(1)求证：FH平面EDB；(2)求证：AC平面EDB；(3)求二面角BDEC的大小。【命题立意】 本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。【规范解答】,/,.ABCDABBCEFFB EFABABFBBCFBBABFBCABFHBFFC HBCFHBCABBCBFHABC四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面HHB GH HF如图，以为坐标原点，分别以、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系，1,(1, 2,0),(1,0,0),( 1,0,0),( 1, 2,0),(0,1,1),(0,0,1).BHABCDEF令则(1) (0,0,1),(0,0,1),/HFHFGEHFHF设AC 与BD 的交点为 G，连接 GE 、GH,则G（0,-1,0）， GE又GE平面 EDB,平面 EDB,平面 EDB(2)( 2,2,0),(0,0,1),0,.ACACACACACGEGEGE又BD,且GE BD=G ，平面EBD.(3) 1111111(1,),( 1, 1,1),( 2, 2,0).010,10,220011,0y zBEBDBEyzyzyBD1111设平面 BDE 的法向量为 nn由即，得，nn（ ，）A E F B C D H G X Y Z 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载2222222(1,),(0,2,0),(1, 1,1).00,01,1001 0,-1yzCDCECDyyzyzCE2222设平面 CDE 的法向量为 nn由即，得，nn（ ，）1212121211cos,2|2 2,60 ,n nn nnnn n即二面角 B-DE-C 为60。【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。要点考向2：利用空间向量求线线角、线面角考情聚焦： 1线线角、线面角是高考命题的重点内容，几乎每年都考。2在各类题型中均可出现，特别以解答题为主，属于低、中档题。考向链接： 1利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为: （1）异面直线所成角设分别为异面直线的方向向量，则（2）线面角设是直线l的方向向量，n是平面的法向量，则2运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：（1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。 （ 4）结合公式进行论证、计算。 （5）转化为几何结论。例 2： （2010辽宁高考理科19）已知三棱锥PABC中， PA ABC ，AB AC ，PA=AC=12AB，N 为 AB 上一点， AB=4AN,M,S分别 为 PB,BC 的中点 . （）证明： CM SN；（）求SN 与平面 CMN 所成角的大小 . 【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】建系，写出有关点坐标、向量的坐标，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载计算CM SN、的数量积，写出答案；求平面 CMN 的法向量，求线面角的余弦，求线面角，写出答案。【规范解答】设 PA1，以 A 为原点，射线AB 、AC、AP 分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图。则 P(0,0,1)， C(0,1,0)， B(2,0,0)，M(1,0, 12)，N(12,0,0)，S(1,12,0) （I）111(1, 1,),(,0),2221100221(II)(,1,0),2( , , )CMN022,(2,1, 2)1021-1-22|cos|=2232SNCMNCMSNCM SNCMSNNCax y zzxyxaxya SN因为所以设为平面的一个法向量，则令得因为所与平面所成的o45角为【方法技巧】 （1）空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。（2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。（3）线面角的范围是0 90，因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的，要取绝对值。要点考向3：利用空间向量求二面角考情聚焦： 1二面角是高考命题的重点内容，是年年必考的知识点。2常以解答题的形式出现，属中档题或高档题。考向链接： 求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。其计算公式为：设分别为平面的法向量，则与互补或相等，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载例 3： （2010天津高考理科9）如图，在长方体1111ABCDA B C D中，E、F分别是 棱BC,1CC上的点，2CFABCE,1:1: 2:4ABADAA求异面直线EF与1A D所成角的余弦值；证明AF平面1A ED求二面角1AEDF的正弦值。【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问题。【规范解答】方法一：以A 为坐标原点， AB 所在直线为X 轴，AD 所在直线为Y 轴建立空间直角坐标系 （如图所示） ， 设1AB,依题意得(0,2,0)D,(1,2,1)F,1(0,0, 4)A,31,02E易得10,12EF,1(0,2,4)AD，于是1113cos,5EF A DEF A DEF A D，所以异面直线EF与1A D所成角的余弦值为35。证明：已知(1,2,1)AF,131,42EA,11,02ED于是AF1EA=0，AFED=0.因此，1AFEA,AFED,又1EAEDE所以AF平面1A ED(3)解：设平面EFD的法向量( , , )ux y z，则00u EFu ED,即102102yzxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载不妨令 X=1,可得(1,21u）。由（ 2）可知，AF为平面1A ED的一个法向量。于是2cos,=3| |AFAF|AF|uuu，从而5sin,=3AFu所以二面角1A -ED-F的正弦值为53检测案：一、选择题 ( 每小题 6 分，共 36 分 ) 1. 已知点 A（-3,1,-4） ，则点 A关于 x 轴的对称点的坐标为( ) (A) （-3,-1,4）(B)(-3,-1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4) 2. 在正三棱柱ABC A1B1C1中， D是 AC的中点， AB1BC1，则平面DBC1与平面 CBC1所成的角为 ( ) (A)30 (B)45 (C)60 (D)903. 设动直线xa与函数2( )2sin ()4f xx和( )3 cos2g xx的图象分别交于M、N两点，则|MN的最大值为（） A2 B3 C 2 D3 4. 在直角坐标系中， 设(3,2)A，( 2, 3)B，沿y轴把坐标平面折成120o的二面角后，AB的长为（）A6B42C2 3D2 115. 矩形 ABCD 中， AB=4 ，BC=3 ，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角BAC D，则四面体 ABCD 的外接球的体积为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载A12125B9125C6125D31256. 如图：在平行六面体1111DCBAABCD中，M为11CA与11DB的交点。若aAB，bAD，cAA1则下列向量中与BM相等的向量是（）（A）cba2121（B）cba2121（C）cba2121（D）cba2121二、填空题（每小题6 分，共 18 分）7OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直线，点P到这三条直线的距离分别为10,a,b，则OP37,则22ab_ _。8平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， AB=2 ，AA1=2 ，AD=1 ，且 AB 、AD、 AA1 两两之间夹角均为600，则1AC?1BD= 9将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后，有下列四个结论：（1）BDAC； （2）ACD是等边三角形； （3）AB与平面BCD成 60； （4）AB与CD所成的角为60 其中正确结论的序号为_（填上所有正确结论的序号）三、解答题（共46 分）10. 如图，在 四棱锥 P ABCD 中，底面是边长为2 的菱形， BAD=60 ，对角线AC 与BD 相交于点O，3PO,E、F 分别是 BC、AP 的中点（1）求证： EF平面 PCD；（2）求二面角ABPD 的余弦值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载11. 某组合体由直三棱柱111CBAABC与正三棱锥ACDB组成，如图所示，其中，BCAB它的正视图、侧视图、俯视图的面积分别为22+1，1，22+1（1）求直线1CA与平面ACD所成角的正弦；（2）在线段1AC上是否存在点P，使PB1平面ACD，若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页