第六章第六章 刚体力学刚体力学习题课习题课 1 .描述刚体定轴转动的物理量及运动学公式描述刚体定轴转动的物理量及运动学公式角位置角位置 角运动方程角运动方程 = (t)角位移角位移 角速度角速度 角加速度角加速度角量与线量的关系角量与线量的关系内容提要内容提要 2 .力矩和转动惯量力矩和转动惯量(1)力矩力矩匀角加速转动公式匀角加速转动公式 = 0 + t 2 = 0 2 +2 (2)转动惯量转动惯量组合体的转动惯量组合体的转动惯量平行轴定理平行轴定理正交轴定理正交轴定理 3 .刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律4. 力矩的功力矩的功转动动能转动动能刚体定轴转动动能定理刚体定轴转动动能定理机械能守恒定律机械能守恒定律:只有保守力做功时：只有保守力做功时：5. 角动量和冲量矩角动量和冲量矩刚体的角动量刚体的角动量恒力矩的冲量恒力矩的冲量变力矩的冲量变力矩的冲量6. 角动量定理和角动量守恒定律角动量定理和角动量守恒定律角动量定理角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律:当合外力矩为零或远小于内力矩时当合外力矩为零或远小于内力矩时 7 .质点直线运动和刚体的定轴转动物理量对比质点直线运动和刚体的定轴转动物理量对比 质点直线运动质点直线运动 刚体的定轴转动刚体的定轴转动位移位移 x速度速度加速度加速度功功 角位移角位移 角速度角速度角加速度角加速度质量质量 m 转动惯量转动惯量功功动能动能转动动能转动动能动量动量角动量角动量功率功率角功率角功率 1 .当两个力作用在一个有固定转轴的刚体上当两个力作用在一个有固定转轴的刚体上,下列说法下列说法正确吗正确吗? (1)这两个力都平行于轴作用时这两个力都平行于轴作用时它们对轴的合力矩一定为零它们对轴的合力矩一定为零; (2)这两个力都垂直于轴作用时这两个力都垂直于轴作用时它们对轴的合力矩可能为零它们对轴的合力矩可能为零;(4)这两个力对轴的合力矩为零时这两个力对轴的合力矩为零时,它们的矢量和一定为零它们的矢量和一定为零;(3)这两个力矢量和为零时这两个力矢量和为零时,它它们对轴的合力矩一定为零们对轴的合力矩一定为零; (正确正确) (正确正确) (不正确不正确) (不正确不正确)练习题 2. 一水平均质圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心的中一水平均质圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心的中心轴转动心轴转动, 盘上站着一个人盘上站着一个人, 开始开始时时人人和和盘盘整个系统处整个系统处于静止状态于静止状态.当人在盘上任意走动时当人在盘上任意走动时, 忽略轴的摩擦忽略轴的摩擦, 对该系统下列各物理量是否守恒对该系统下列各物理量是否守恒?原因何在原因何在?(1)系统的动量系统的动量;(2)系统的机械能系统的机械能;(3)系统对轴的角动量系统对轴的角动量. (不守恒不守恒) (不守恒不守恒) (守恒守恒) 3. 一圆盘可绕垂直于盘面一圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心的中心轴且通过盘心的中心轴OO以以角速度角速度 沿顺时针方向沿顺时针方向转动转动. (1) 在同一水平直线以相在同一水平直线以相反方向同时射入两颗质量反方向同时射入两颗质量相同相同,速率相等的子弹速率相等的子弹,并并留在盘中留在盘中,盘的角速度如盘的角速度如何变化何变化?vv OO (2)两大小相等两大小相等,方向相反但方向相反但不在同一直线上的力沿盘面不在同一直线上的力沿盘面同时作用在盘上同时作用在盘上,盘的角速度盘的角速度如何变化如何变化?盘的角速度增大盘的角速度增大,因为转盘受到同向的力矩因为转盘受到同向的力矩盘的角速度减小盘的角速度减小,因为角因为角动量动量L=J 不变不变,但转动但转动惯量惯量J加大了加大了.vv OO 5. 两个质量均为两个质量均为m，半径均为半径均为R的球，一个空心，一的球，一个空心，一个实心。从粗糙的斜面上同时由静止无滑的滚下。问个实心。从粗糙的斜面上同时由静止无滑的滚下。问是否同时到底端，那个先到？摩擦力是否做功？是否同时到底端，那个先到？摩擦力是否做功？解解：定定量量计计算算那那个个球球先先到到底底端端，因因为为无无滑滑动动，所以摩擦力不做功，机械能守恒。所以摩擦力不做功，机械能守恒。动能：动能：空心球：空心球：实心球：实心球：结论结论 实心球先到。实心球先到。一个圆柱体和一个圆环同时从有摩擦的斜面上无滑一个圆柱体和一个圆环同时从有摩擦的斜面上无滑动地滚下来。两者由不同的材料组成，质量相同，动地滚下来。两者由不同的材料组成，质量相同，半径相同（并设质量分布都是均匀的）半径相同（并设质量分布都是均匀的） 。哪一个会。哪一个会先到达底端？先到达底端？圆柱柱圆环A. 圆柱体圆柱体B. 圆环圆环C. 两者同时到达底端两者同时到达底端D. 信息不足，无法判断信息不足，无法判断#1a0302018aA两个质量和尺寸都不相同的圆柱体两个质量和尺寸都不相同的圆柱体(（并设质量分布都（并设质量分布都是均匀的）是均匀的）)从有摩擦的斜面顶端同时滚动下来。哪一从有摩擦的斜面顶端同时滚动下来。哪一个会先到达底端？个会先到达底端？A. 大圆柱体大圆柱体B. 小圆柱体小圆柱体C. 二者同时到达底端二者同时到达底端D. 信息不足，无法判断信息不足，无法判断#1a0302018bCx:平动平动y:转动转动纯滚动纯滚动 约束方程约束方程例：一质量为例：一质量为M，半径为半径为R的均匀圆柱体沿倾角为的均匀圆柱体沿倾角为 的的粗糙斜面粗糙斜面无滑无滑滚下滚下.求静摩擦力，质心加速度以及保证求静摩擦力，质心加速度以及保证圆柱体做无滑滚动所需要的条件圆柱体做无滑滚动所需要的条件.mgFNF x四个方程联立解：四个方程联立解：mgFNF x静静摩擦力摩擦力要保证圆柱体做无滑滚动，所需的静摩擦力不能大要保证圆柱体做无滑滚动，所需的静摩擦力不能大于最大静摩擦力于最大静摩擦力:保证圆柱体做无滑滚动所需要的条件保证圆柱体做无滑滚动所需要的条件: 6. 如图所示，长为如图所示，长为L的均匀直棒，质量的均匀直棒，质量M，上端用上端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一子弹光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一子弹m，一水平一水平速度速度v0射入杆的悬点下距离为射入杆的悬点下距离为d处而不复出。处而不复出。问：（问：（1）一子弹和杆为系统，动量是否守恒？）一子弹和杆为系统，动量是否守恒？ （2）作用力是水平还是竖直？）作用力是水平还是竖直？ （3）此力可能为零吗）此力可能为零吗? (4) 子弹射入过程什么量守恒子弹射入过程什么量守恒?（2）都有）都有（3）由于击中点位置不同，水平分）由于击中点位置不同，水平分力有可能为零力有可能为零（4）对轴的角动量守恒。）对轴的角动量守恒。mv0M.lO(1) 轴承力是外力，外力不为零，系统动量轴承力是外力，外力不为零，系统动量不守恒不守恒！例例例例:如图如图,已知已知A: m, l, 质量均匀质量均匀,开始时水平静止开始时水平静止B : m , , A竖直时被竖直时被碰碰,然后滑行距离然后滑行距离s.试试求求 :碰后碰后A的质心可达高度的质心可达高度 h.A由水平下摆至垂直由水平下摆至垂直, ,机械能守恒机械能守恒. .以地面为零势点以地面为零势点A与与B碰撞对碰撞对O点点角动量角动量守恒守恒B向右滑动向右滑动, ,根据根据动能定理动能定理A向上摆动向上摆动机械能机械能守恒守恒可解得可解得思考思考:几个过程几个过程,各有何特点各有何特点?mOABlmo例例例例:大圆盘大圆盘M,R. 人人m.二者最初都相对地面静止二者最初都相对地面静止.当人沿当人沿盘边缘行走一周时盘边缘行走一周时,求盘对地面转过的角度求盘对地面转过的角度?解解: : 盘盘+ +人人 系统系统对竖直轴的外力矩对竖直轴的外力矩=0=0系统对轴的系统对轴的角动量守恒角动量守恒. . 与与 分别表示人和盘对地面发生的角位移分别表示人和盘对地面发生的角位移人在盘上走一周时人在盘上走一周时这是一道角动量守恒这是一道角动量守恒+ +相对运动的题型，请大家注相对运动的题型，请大家注意方法，并与动量守恒意方法，并与动量守恒+ +相对运动题型的比较。相对运动题型的比较。解解: :杆与球的系统对轴的杆与球的系统对轴的角动量守恒角动量守恒l,m例例: : 杆杆( (m m, ,l l ) )与球与球( (mm, ,v v0 0) )弹性碰撞弹性碰撞求碰后的球速度和杆的角速度求碰后的球速度和杆的角速度弹性碰撞弹性碰撞机械能守恒机械能守恒转动动能转动动能解上二式解上二式由由 ， 与与 的方向相同。的方向相同。旋进现象旋进现象外力矩不为零情况外力矩不为零情况飞轮不下落，而是其自旋飞轮不下落，而是其自旋轴绕竿顶在水平面内转动轴绕竿顶在水平面内转动五五 刚体定点运动刚体定点运动 进动进动 进动现象是自旋物体在外力矩进动现象是自旋物体在外力矩作用下沿外力矩方向改变其角动量作用下沿外力矩方向改变其角动量矢量的结果矢量的结果旋进实例旋进实例: :陀螺的进动陀螺的进动 枪炮膛线枪炮膛线进动是刚体定点转动的一种特例：外力矩进动是刚体定点转动的一种特例：外力矩与角动量垂直，外力矩只改变角动量的与角动量垂直，外力矩只改变角动量的 向而不改变它的大小。向而不改变它的大小。作业：作业：6.7；6.9；6.10；6.12；6.15 作业：作业： 习题册：习题册：P20-3 4 6 7 9