读书破万卷下笔如有神高二数学排列组合同步练习高二数学排列组合同步练习一、选择题（本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）14 名男歌手和 2 名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是（ ）A6A3 3B3A3 3C2A3 3DA22A4A414 2编号为 1，2，3，4，5，6 的六个人分别去坐编号为1，2，3，4，5，6 的六个座位，其中有且只有两个人的编号与座位编号一致的坐法有（ ）A15 种 B.90 种 C135种 D150 种3从 6 位男学生和 3 位女学生中选出 4 名代表，代表中必须有女学生，则不同的选法有（）A168 B45 C60 D111 4氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，某肽链由7 种不同的氨基酸构成，若只改变其中 3 种氨基酸的位置，其他4 种不变，则不同的改变方法共有（ ）A210 种 B126 种 C70种 D35 种5某校刊设有 9 门文化课专栏 , 由甲, 乙, 丙三位同学每人负责3 个专栏 , 其中数学专栏由甲负责, 则不同的分工方法有（ ）A1680种 B560 种 C280 种 D140 种6电话号码盘上有 10 个号码，采用八位号码制比采用七位号码制可多装机的门数是（ ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页读书破万卷下笔如有神A10 87AA10 BC10-C10 107 D C8A8 10887 C108 7已知集合 A=1，2，3，4，集合 B=1，2，设映射 f: A B，若集合 B中的元素都是 A中元素在 f 下的象，那么这样的映射f 有 （ ）A16 个 B14 个 C12 个 D8 个8从图中的 12 个点中任取 3 个点作为一组，其中可构成三角形的组数是（ ）A208 B204 C200 D196 9由 0，1，2，3 这四个数字可以组成没有重复数字且不能被5 整除的四位数的个数是（）A24 个 B12 个 C6 个 D4 个10假设 200件产品中有 3 件次品，现在从中任取 5 件，其中至少有 2 件次品的抽法有（）AC3C198种 C3C197)种 5142332C(C200-C197)种 5423B (C3C197 C3C197)种 D(C200 11把 10 个相同的小球放入编号为1，2，3 的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是（ ）32AC6 BC6 32C C9 D C92 12. 现有 4 所重点院校，每所院校有3 个专业是你较为满意的选择，如果表格填满且规定学校没有重复， 同一学校的专业也没有重复的话，你将有不同的填写方法的种数是（ ）(A3)3 A43 (C3)3 B43 (C3)3 CA4 (A3)3 223232 DA4 二、填空题（本大题满分16 分，每小题 4 分，各题只要求直接写出结果. ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页读书破万卷下笔如有神13由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字，且数字1 与 2 不相邻的五位数有_个14一电路图如图所示，从A到 B 共有条不同的线路可通电 . 5 8 的展开式中，含x 项的系数是 _. 312x 6x2 x3 1 x 15在16 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组, 每组各人 , 分别进行单循环赛, 每组决出前两名 , 再由每组的第一名与另外一组的第二名进行淘汰赛, 获胜者角逐冠亚军, 败者角逐第三 , 第四名 , 则该大师赛共有 _ 场比赛 . 三、解答题（本大题满分74 分. ）17（12 分）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2 荤 2素共 4 种不同的品种，现在餐厅准备了 5 种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种多少种？18（12 分）一些棋手进行单循环制的围棋比赛，即每个棋手均要与其它棋手各赛一场，现有两名棋手各比赛3 场后退出了比赛， 且这两名棋手之间未进行比赛， 最后比赛共进行了 72 场，问一开始共有多少人参加比赛？19（12 分）用红、黄、蓝、绿、黑5 种颜色给如图的 a、b、c、d 四个区域染色，若相邻的区域不能用相同的颜色，试问：不同的染色方法的种数是多少？20（12 分）7 名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？(1)7 人站成一排，要求较高的3 个学生站在一起；(2)7 人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；(3) 任取 6 名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页读书破万卷下笔如有神21（12 分）4 位学生与 2 位教师并坐合影留念，针对下列各种坐法，试问：各有多少种不同的坐法？ (1) 教师必须坐在中间；(2) 教师不能坐在两端，但要坐在一起；(3) 教师不能坐在两端，且不能相邻B有 4 个元素 , 集合 C满足条件 : 22 （14 分）集合 A与 B各有 12个元素 , 集合 A B);(A(1)C (2)C中含有 3 个元素 ; . 试问：这样的集合C共有多少个?A (3)C 参考答案一、选择题1D 2C 3D 4C 5C 6C 7A 8B 9B 10B 11D 12D 280 3323325解：C8C6C3/C2 204 3C4 4 8 解：C12 9 解：二、填空题72. A4A2 12. 42121212313 解：A55112C3C2A2 17. C3) C3 (C3 1 C2) C2)(C2 14 解：(C2 15. 15 解：2016. 1 2 C4 22 16 解：C4 三、解答题C2217 解：设还需准备不同的素菜 x 种, x 是自然数，则 C5 ，即200 x 7. N ，得 x 0,x40 x x2 66，解得：n=12.故一 218 解：设这两名棋手之外有n 名棋手，他们之间互相赛了 72-23=66 场，Cn 开始共有 14 人参加比赛精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页读书破万卷下笔如有神19 解：180 8; 20 解：（ 1）A4A343111633=140 A2A2 144;（3）C7 C3（2）A2C6 21(1) 解法 固定法：从元素着眼，把受限制的元素先固定下来24) 教师先坐中间，有 A2种方法； ) 学生再坐其余位置， 有 A4种方法 共有4A2A 2448种坐法解法 排斥法：从位置着眼，把受限制的元素予先排斥掉42) 学生坐中间以外的位置：A4； ) 教师坐中间位置： A2解法 插空法：从元素着眼，让不受限制的元素先排好（无条件），再让受限制元素按题意插入到允许的位置上42) 学生并坐照相有A4种坐法；) 教师插入中间： A2解法 淘汰法（间接解法）：先求无条件限制的排法总数，再求不满足限制条件的排法数，然后作差即“A全体 - 非 A”.62A4 ) 6 人并坐合影有 A6种坐法；) 两位教师都不坐中间： A4 （先固定法）4；) 两位教师中仅一人坐中间； 14A1 A4( 再固定乙不坐中间 ) A4 2 （甲、乙互换）； 2( 甲坐中间 ) 62) 作差： A6-（A4114A4 4+2A2A4A4 ）解法 等机率法：如果每一个元素被排入，被选入的机会是均等的，就可以利用等机率法来解将教师5 看作 1 人（捆绑法），问题变成5 人并坐照相，共有A5种坐法，而每个人坐中间位置的机会是均等的，应占所有坐法的 1/5 ，即教师 1 人坐 中间的坐法有 15225A5A2即 A5种 55 (2) 将教师看作 1 人，问题变为 5 人并坐照相2 解法 从位置着眼， 排斥元素教师 . 先从 4 位学生中选 2 人坐两端位置：A4；其他人再坐精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页读书破万卷下笔如有神32 余下的 3 个位置： A3；教师内部又有 A2种坐法. 共有 32A2AA432 144种坐法1 解法 2 从元素着眼 , 固定位置 . 先将教师定位： A34241A2AAAA；再排学生：. 共有 24243 种坐法. (3) 解 插空法：（先排学生） A4A2 43 ( 教师插空 ). C，则这样的集合 C共有 C3A 22解：（ 1）若 C UB8=56个；B，则这样的集合 C共有 C3A （2）若 C 4 个； 4 ，则这样的集合 C共有 C2C112 a A且 C （3）若 C C8=160个 C4 8 4 综合（ 1），（ 2），（3）得：满足条件的集合C一共有 56+4+160=220个高二数学排列组合同步练习解答排列组合问题， 首先必须认真审题， 明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题， 其次要抓住问题的本质特征， 灵活运用基本原理和公式进行分析解答。 同时还要注意讲究一些策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。一、合理分类与准确分步法解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类， 按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。【例 1 】五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（ ）A120 种 B96 种 C78 种 D72 种分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有种排法； 2）若甲在第二，三，四位上，则有种排法，由分类计数原理，排法共有种，选 C 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页读书破万卷下笔如有神解排列与组合并存的问题时，一般采用先选（组合）后排（排列）的方法解答。【例 2 】 4 个不同小球放入编号为1，2，3，4 的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？分析：因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。1）选：从四个球中选2 个有种，从 4 个盒中选 3 个盒有种； 2）排：把选出的 2 个球看作一个元素与其余2 球共 3 个元素，对选出的 3 盒作全排列有种，故所求放法有种。二、元素分析与位置分析法对于有附加条件的排列组合问题，一般采用： 先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。【例 3】 用 0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。A 24 个 B。30 个 C。40 个 D。60 个 分析 由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0 不能排首位，故 0就是其中的“特殊”元素， 应该优先安排，按 0 排在末尾和 0 不排在末尾分两类：1）0 排末尾时，有个， 2）0 不排在末尾时，则有个，由分数计数原理，共有偶数=30个，选 B。【例 4】马路上有 8 只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯， 那么满足条件的关灯方法共有多少种？分析：表面上看关掉第1 只灯的方法有 6 种，关第二只，第三只时需分类讨论，十分复杂。若从反面入手考虑， 每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在5 只亮灯的 4 个空中插入 3 只暗灯”的问题。故关灯方法种数为。三、插空法、捆绑法对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好， 再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。【例 5】 7 人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？分析： 先将其余四人排好有种排法，再在这人之间及两端的5 个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有种方法，这样共有种不同排法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页读书破万卷下笔如有神对于局部“小整体”的排列问题，可先将局部元素捆绑在一起看作一个元，与其余元素一同排列，然后在进行局部排列。【例 6】7 人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？分析： 把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余4 人共 5 个元作全排列，有种排法，而甲乙、丙、之间又有种排法，故共有种排法。四、总体淘汰法对于含有否定字眼的问题， 可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不能多减，也不能少减。例如在例 3 中，也可用此法解答： 五个数字组成三位数的全排列有个，排好后发现 0 不能排首位，而且数字3，5 也不能排末位，这两种排法要除去，故有个偶数。五、顺序固定问题用“除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。【例 7】 6 个人排队，甲、乙、丙三人按“甲 - 乙- 丙”顺序排的排队方法有多少种？分析： 不考虑附加条件，排队方法有种，而其中甲、乙、丙的种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有种。六、构造模型“隔板法”对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。【例 8】方程 a+b+c+d=12有多少组正整数解？分析：建立隔板模型：将12 个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入3 块隔板，把球分成 4 堆，每一种分法所得 4 堆球的各堆球的数目，对应为 a、b、c、d 的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有。又如方程 a+b+c+d=12非负整数解的个数； 三项式 , 四项式等展开式的项数， 经过转化后都可用此法解。七、分排问题“直排法”把几个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其它的特殊要求， 可采取统一排成一排的方法来处理。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页读书破万卷下笔如有神【例 9】7 个人坐两排座位，第一排3 个人，第二排坐 4 个人，则不同的坐法有多少种？分析：7 个人可以在前两排随意就坐， 再无其它条件， 故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有种。八、表格法有些较复杂的问题可以通过列图表使其直观化。【例 10】 9 人组成篮球队， 其中 7 人善打前锋，3 人善打后卫，现从中选 5 人 （两卫三锋，且锋分左、中、右，卫分左右）组队出场，有多少种不同的组队方法？分析：由题设知，其中有1 人既可打锋，又可打卫，则只会锋的有6 人，只会卫的有 2 人。列表如下：人数 6 人只会锋 2 人只会卫 1 人即锋又卫结果 不同选法 3 2 3 1 1 （卫）2 2 1 （锋）由表知，共有种方法。除了上述方法外， 有时还可以通过设未知数， 借助方程来解答， 简单一些的问题可采用列举法等。 解此类问题常用的数学思想是：分类讨论的思想， 转化思想和对称思想等三种。 排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础。事实上，许多概率问题也可归结为排列组合问题。这一类问题不仅内容抽象，解法灵活， 而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来， 所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律， 掌握若干技巧，最终达到能够灵活运用。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页