优秀学习资料欢迎下载第五单元三角函数一教学要求1. 了解正角、负角、零角、终边相同的角、象限角等概念. 2. 理解弧度的意义，掌握特殊角的弧度与角度的换算，会用计算器进行弧与角度的换算，培养学生正确使用科学型计算器的能力. 3. 理解任意角的正弦、余弦、正切函数的概念，熟记三角函数在各象限的符号. 4. 理解同角三角函数基本关系式，会用公式解决“已知任意角的一个三角函数值，求其他两个三角函数值”的问题，培养学生数据处理技能. 5. 了解诱导公式的推导及简单应用，提高学生数学思维能力. 6. 理解正弦函数的图像和性质，了解余弦函数的图像和性质，培养学生的观察能力. 7. 掌握利用计算器求角度，提高学生计算工具的使用技能. 8. 了解“已知一个角的三角函数值，求在指定范围内的角”的方法，培养学生有条理的思考和解决问题. 二 教材分析和教学建议（一）编写思路本单元教材的内容是三角函数的定义、图像、性质及应用. 三角函数是基本初等函数，它是描述周期函数的重要数学模型，在数学和其他领域中都具有重要的作用. 本教材以单位圆及几何中的对称性为基础，应用代数的方法对三角函数进行讨论，使学生在学习过程中初步了解代数与几何的联系，这有利于培养学生综合应用数学知识解决某些实际问题的能力.高等数学、物理学、天文学、测量学以及其他各科科学技术都要应用到三角函数的知识，因此，这些知识既是解决生产技术实际问题的有力工具，又是进一步学习数学的必要基础. 本单元知识可分为三大部分：第一部分主要介绍任意角的三角函数. 教材从学生已有的知识实际出发，全面地阐述了角的概念及其推广，引入任意角的概念，特别强调了建立角的弧度制的意义，从而使角的集合与实数集之间建立起一种直接的一一对应关系. 这里所讲的“直接”是指一个角的弧度数就是它所对应的那个实数，而较之角度制减少了单位换算的麻烦. 正是在此基础上，教材把精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载初中所学的三角函数推广到任意角的范围，并使角的度量由角度制（60 进制）自然地过渡到弧度制（ 10 进制） . 由此三角函数可以看做是以实数为自变量的函数，从而使三角函数具有广泛的意义. 任意角的三角函数应用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能体现初中所学锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从已有知识基础出发学习三角函数. 接着讨论了任意角三角函数值的符号，从定义出发导出了特殊象限角的三角函数值. 第二部分主要介绍三角函数公式. 在三角函数定义的基础上推导出同角三角函数的两个最基本的关系式，同时以平面几何中图形的轴对称、中心对称为基础推导三角函数的简化公式，使得求任意角的三角函数值的问题更为方便. 第三部分主要介绍三角函数的图像和性质. 教材首先用描点法做出正弦函数和余弦函数的图像，在基本掌握正弦曲线和余弦曲线的形状特征的基础上，对学习基础较好的学生可以在归纳“五点法”作简图的方法. 教材依据图像的直观性，直接阐述了正弦函数和余弦函数的主要性质. 本单元教材的重点是三角函数的概念，同角三角函数的基本关系，三角函数的周期性，正弦函数的图像和性质，并能利用计算器求任意角三角函数值及已知三角函数值求角的问题.难点是弧度制，周期的概念及综合应用三角公式进行化简和证明.（二）课时分配本单元教学时间约为18 课时，分配如下（仅供参考）：5.1 角的概念的推广 2课时5.2 弧度制 1课时5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切 2课时5.4 利用计算器求三角函数值 1课时5.5 同角三角函数基本关系式 2课时5.6 诱导公式 3课时5.7 正弦函数的图像和性质 2课时5.8 余弦函数的图像和性质 1课时5.9 利用计算器求角度 1课时5.10 已知三角函数值求指定范围内的角 1课时归纳与总结 2课时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载（三）内容分析与教学建议5.1 角的概念的推广1. 教材从初中有关角的知识出发，以螺帽拧紧，旋转一周、两周所转过的角度为例，说明日常生活与生产实际中存在大量未曾认识的角.本小节主要任务帮助学生理解并掌握正角、负角的概念. 2. 从角的形成说起，由于客观上存在着因旋转方向相反而形成两种不同的角，因而根据习惯规定了正角和负角，零角的补充，目的在于使角的集合和实数集一样具有完备性. 3. 在教学中要强调任意大小的角在直角坐标系中的放置方法：（1）角的顶点和坐标原点重合；（2）使角的始边和x轴的非负半轴重合. 这样，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角，否则就不能根据它的终边位置来判断它属于第几象限. 4. 应该让学生明白，任意一个角可能属于某个象限也可能不属于任何象限，而不属于任何象限的角（即终边落在坐标轴上的角）是一种重要的特殊角，在三角函数值的计算、三角函数定义域的确定、三角方程求解等问题中经常会遇到，因此要求学习基础比较差的学生可以了解一下这些角，而对于基础较好的学生可以要求掌握这些角的表达式. 5. 准确区分0 90的角、锐角、小于90的角、第一象限的角和第二象限的角、钝角等 . 角的概念推广后，应从角的集合的表达形式入手，通过反复练习，使学生能正确理解. 0 90的角 = x|0 x90；锐角 = x|0 x90 ；第一象限的角= x|k 360 x90 +k 360 ，kZ；第二象限的角= x|90 +k 360 x180 +k 360 ，kZ ；钝角 = x|90 x 180 . 锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，如-330 和 750都是第一象限角，但它们都不是锐角. 钝角亦然 . 6. 教师讲解与角终边相同的角的集合S = x|x=+k360， kZ时，应指出：（1）k 是任意整数；（2）是任意角（包括正角、负角和零角）；（3）与360k之间是用“ +”号连接的，如360k应变成360)( k；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载（4）终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍 . 7. 在教学中应使学生明白，与某一个角终边相同的角的表达形式不是唯一的. 如与-45 角 终 边 相 同 的 角 的 表 达 式 可 写 成3 60k-45 ， 也 可 以 写 成36 0k+315 或360k-405 等等，这里kZ. 尽管表达式不同，但它们都表示与-45 终边相同的角 . 8. 对于终边在特殊位置的角的集合，列表表示如下：（1）象限角的集合：象限角角的集合第一象限角x|k 360 x90 +k 360 ，kZ 第二象限角x|90 +k 360 x180 +k 360 ，kZ 第三象限角x|180 +k 360 x270 +k 360 ，k Z 第四象限角x|270 +k 360 x360 +k 360 ，k Z （2）终边在坐标轴上的角的集合：终边位置角的集合终边在 x 轴的正半轴上 x| x=k 360 ，kZ 终边在 x 轴的负半轴上 x| x=180 +k 360 ，kZ 终边在 x 轴上 x| x=k 180 ，kZ 终边在 y 轴的正半轴上 x| x=90 +k 360 ，kZ 终边在 y 轴的负半轴上 x| x=-90 +k 360 ， kZ 终边在 y 轴上 x| x=90 +k 180 ，kZ 终边在坐标轴上 x| x=k 90 ，kZ 象限角集合和轴线角集合，集合的表达形式也不是唯一的，它们还有其他表达形式. 如第四象限角的集合还可以表示为 x|k 360 -90 x k 360 ，kZ；终边在y 轴负半轴上角的集合可以表示为 x| x=270 +k 360 ， kZ。还要指出，每个象限角集合中既有正角，又有负角. 5.2 弧度制教材通过类比引出另一种度量角的制度弧度制. 介绍了 1 弧度角的概念， 由弧度数的绝对值公式推出弧度与角度的换算关系. 在此基础上，通过具体例子巩固所学概念和换算公式， 进一步认识引入弧度制的必要性，使学生在探索和解决问题的过程中，更好地形成弧度概念，建立角的集合与实数集的一一对应关系，为学习任意三角函数奠定基础. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载1. 在教学中应强调弧度制和角度制是两种单位不同（前者是“弧度”，采用10 进制，后者是“度” ，采用 60 进制）的度量角的制度. 应使学生理解：要建立一种度量制，就必须确定它的度量单位，如在日常生活中，长度的单位是米，角度的单位是度. 那么，弧度制的单位是如何规定的？这可以使用教具加以演示得出. 要使学生明确，1 弧度是指等于半径的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而1是指圆周的3601所对的圆心角（或该弧）的大小； 1 弧度的角或1 度的角，它们的大小各自确定与半径的大小无关.为了说明这个问题，可以让学生先任意画一个圆，用一段等于半径的铅丝弯成弧形，使它与圆周的某一段重合，再从圆心向这段弧的两个端点引射线，得到一个圆心角，这就是1 弧度的圆心角 . 再让学生画一个与第一个半径不相等的圆，用同样的方法做出1 弧度的圆心角， 然后用量角器量这两个圆心角，可以看出它们是相等的. 这样，我们可以比较直观的得出：当圆心角一定时，它所对的弧长与半径的比值是一定的，与所取半径无关. 因此用一个角所对的弧长与半径的比来度量这个角是合理的. 上面的结论也可以进行如下数学证明. 如图 5-1 ，假设射线上有任意不同于O的两点P和P1，OP=r，OP1=r1，当射线绕端点O旋转形成定角=n，点P和 P1也就分别形成圆弧PQ和圆弧 P1Q1，它们的长分别为l 和 l1，由弧长公式，得l=180rn，l1=1801rn. 明显地，当r r1时， ll1. 但是18011nrlrl. 这说明以为圆心角所对的弧长的半径的比值是一个仅与的大小有关的定值（因为确定时， n 为定值。这时180n为定值） . 最后，选取弧度做单位，这时rl就是定角的弧度数 .（注意：如果选取度做单位也可以，这时，rl是的角度数与180n的乘积，仍是的弧度数 . ）2. 弧度制的概念是本章教材的难点之一，而弧度制的建立又是本节的难点，因此必须以弧度制的建立为突破口着重解决这一难题. 解决这个难题的关键在于让学生弄明白1 弧度的角到底是怎样大小的角。除了借助几何直观的方式使学生有感性认识外，对于学习基础较好的学生还可以做以下推导：O Q Q1 P1 Pl1 lr1 r图 5-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载设圆半径为r，圆弧长为l=r，该圆弧所对的圆心角为n，由角度制下的弧长公式l=180rn，现rl，于是 r=180rn，所以 n=180. 这就是说等于半径的圆弧所对的圆心角是一个恒定的值 . 在角度制下，这个圆心角等于o180. 也就是说， 1 弧度的角等于o18057 1744.8 的角 . 3. 在教学中还必须强调用弧度制度量角的意义. 可使角的集合与实数集建立起一种直接的一一对应的关系. 此时，一个角的弧度数就是这个角所对应的实数. 同时也应强调弧度可记做 rad ，这样表示更加简便. 如3rad 的角正数3，-5rad 的角负数 -5. 弧度数和实数之间不需要进行单位换算，这给三角函数的研究带来了极大的方便. 例如，画正弦函数y=sin x 在长度为一周期的闭区间上的图像，我们可以画出x0,2 ，y-1,1内的函数图像，这里横轴和纵轴的长度单位都是相等的. 当然也应该指出用其他度量角的制度（如角度制）也可以在角的集合和实数集之间建立起一种一一对应的关系，但因存在着角的量数与它所对应的实数比值不同而须进行换算的问题，自然不如采用弧度制方便. 4. 在教学时， 应强调用公式 |=rl求圆心角， 所得的结果是该圆心角的弧度数的绝对值. 该公式还有另外两种形式：l=| r 和 r=|l，利用上面两种形式求弧长或半径时，的单位必须是弧度. 如果给定角的单位是度，那么，应把这个角的单位化成弧度（这里可用公式180n，该公式表示n的角的弧度数和 n 之间的关系），然后再计算. 5. 度和弧度是度量角的两种不同的单位，它们之间可通过关系式180=rad 进行换算. 在教学时，应注意突出关系式360=2rad 的来历，这一点教材中是注意到的，但过渡较快.在讲解中可让学生结合图5-2（教师也可做必要的指导）加深理解. 图 5-2 在教学中必须要求学生熟记特殊角的弧度数. 在进行度与弧度的换算时，应会利用特殊角的度数与弧度数的对应关系. 如将67化成度时，则有O r r 1 弧度(1) O r 2r (2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载67=76=730=210或67=+6=180+30=210；将 300化成弧度时，则有300=560=53=35或 300 =10 30=106=35或300=360-60 =2-3=35. 6. 教学时应特别指出：用弧度做单位时，“弧度”两字或rad 可省略不写，但用度做单位时， “”不可省略 . 如：要注意区别sin1 和 sin1 ，sin1 表示 1 弧度角的正弦，而sin1表示 1 度角的正弦 . 用含的形式表示一个角的弧度数时，不必写成小数。 如 90=2弧度，不必写成90 1.5708 弧度 . 7. 在教学时， 应使学生明确， 今后凡要求写出与角终边相同的角时， 一般地， 如果给出的是角度数， 则终边相同的角应写成ok 360，kZ； 如果给出的是弧度数，则终边相同的角应写成2k，kZ. 总之，不要出现角的单位“度”与“弧度”混用的情况 . 如不要写成3604k或230k. 8. 为了适应计算器的教学需要，教材中给出了弧度的符号rad. 在利用计算器，使角度制与弧度制互化的问题上，教材给出了由角度化成弧度既有弧度化为角度的例题，对于计算器的使用应注意 MODE键的用法，以实现角度、弧度的转换. 9. 学完本节后应帮助学生进行总结，可采取下表形式：度量单位单位规定换算关系弧度制弧度（10 进制）等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角换算关系式 :=1801rad=o1805718角度制度(60 进制 ,1 =60, 1=60 ) 周角的3601为 1 度的角1=180rad 0.01745rad 5.3 任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数本节将三角函数的自变量从锐角推广到任意角. 教材首先利用平面直角坐标系定义了任意角的正弦、 余弦、正切函数， 接着讨论了这三种函数的定义域，并根据三角函数的定义，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载得出了“终边相同的角的同一三角函数的值相等”的结论并把此结论作为第一组诱导公式公式一； 其次，利用三角函数的定义讨论了三种函数的值在四个象限的符号以及特殊角的函数值问题 . 通过本节的学习，要使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义和定义域；熟练掌握公式一及其运用；掌握这三种函数的值在四个象限的符号以及特殊角的三角函数值. 本节的第一个重点是任意角的三角函数的定义（包括这三种函数值在各象限的符号），它是本章的基本概念，也是学好全章内容的关键. 公式一是本节的第二个重点，要使学生能熟练运用它们将求任意角的三角函数值问题转化为求0360之间的三角函数值问题. 1. 教材首先在初中学习过的锐角三角函数的定义的基础上，提出了本章教材中最基本的概念任意角的三角函数的定义. 需要注意的是，关于ry，rx，xy三个比值仅与的大小有关，而与P点在角终边上的位置无关，这个结论可根据相似形的性质很容易地加以证明；同时教学中还应强调：（1）sin不是sin与的乘积，它是一个整体，它表示一个比值，离开自变量的sin是没有意义的.（2）任意角的三角函数的定义是初中所学的三角函数定义的推广，初中的锐角三角函数定义仍然成立. 2. 任意角三角函数定义的教学应特别要求学生深刻理解，切实掌握 . 教学中要注意联系前面所学的函数的知识，应指导学生复习有关内容，理解函数是指在实数集合内的两个数集中的数与数之间的一种单值对应. 但三角函数却是以“角”为自变量的函数（注意这里函数值为实数），那么两者如何统一呢？前面讲过，在弧度制下，角的集合和实数集R 之间可建立一种直接的一一对应关系. 换言之，角可以用实数表示. 这样三角函数也就成为以实数为自变量并以实数为函数值的函数了，自然与以前所学的函数的概念是一致的. 同时，由于三角函数可看做是以实数为自变量的函数，这就使三角函数具有更广泛的意义. 由此可见，弧度制的引入使角的集合和实数集R 建立起的这种直接的一一对应关系，为我们研究三角函数带来极大的便利. 3. 函数的定义域是函数概念的三要素之一. 对于正弦、余弦函数的定义域，教学时注意引导学生根据rysin，rxcos自己去得到结论；而正切函数的定义域，由于xytan，因此0x，即角的终边不能落在y轴上，所以2)(Zkk，而这一点正是5.1 节中例 3 所讲的内容 . 4. 公式一的作用是： （1） 可以把任意角的正弦、余弦、正切函数值， 分别化为0360之间的角的同一三角函数值；（2）便于研究这些三角函数的周期性（这将在本单元的第5.7精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载节中介绍） . 5. 任意角三角函数的符号是根据三角函数的定义以及终边上的点落在不同的象限时的坐标符号而决定的. 因此，在教学时应引导学生注意三角函数的定义以及各象限内点的坐标符号的变化，让学生自己将得出的结论填在教材的图5-13 中，这样有利于学生在理解的基础上记忆各三角函数在不同象限内的符号. 6. 任意角的三角函数除了终边在各个象限的情况外，还应包括终边落在坐标轴上的情况，因此教材在本节中讲述了0，2，和23角的三角函数. 这一部分，教材只讲了0角的三个三角函数值，2，和23角的三角函数值由学生去完成. 7. 例 1 是已知角的终边上一点， 求的三个三角函数值. 该例题是为了巩固任意角三角函数的概念，应使学生牢固、熟练的掌握. 例 2 是求三角函数值，由于还未学习更多的诱导公式，该例题仅限于运用公式一把求某些角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值. 例3、 例 4 都是为了使学生掌握这三个三角函数的值在各象限的符号这一知识点. 例 5 的唯一目的在于让学生牢记特殊角的三角函数值. 8. 本节的三个小节各配备了适量的练习，供学生在课堂中练习，以巩固所学的知识. 5.4 利用计算器求三角函数值本节主要研究如何利用计算器计算任意角的三角函数值，教材详细介绍了在使用计算器计算时一定要注意运算状态的调整，并通过例题说明了角度制和弧度制这两种制度的具体操作 . 通过本节的学习，要使学生掌握如何调整计算器的运算状态；掌握求以“度”为单位和以“弧度”为单位的角的三角函数值的操作. 本节的重点：一是如何调整计算器的运算状态；二是在两种状态下如何操作计算器求任意角的三角函数值. 1. 教材首先简单介绍了利用计算器求任意角的三角函数值的优点，接着强调了在使用计算器时需要注意的问题，即：如果求以“度”为单位的三角函数值，应将计算器置于Deg（以度为单位的计算）状态；如果求以“弧度”为单位的三角函数值，应将计算器置于Rad（以弧度为单位的计算）状态. 这一点教师在教学时一定要强调，以引起学生的重视. 2. 教学时教师要教给学生如何选择计算器的运算状态，本教材只给出了示例计算器的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载运算步骤，教师可以依据教学实际，根据所用计算器的品牌、型号自行调整计算步骤。3. 教学时教师还应使学生掌握计算器的第二功能键的操作与使用. 比如的输入， 就要利用 10x键的第二功能，具体操作是：先按SHIFT 键，再按键10x. 4. 对于在角度制下，含或的角的输入，教师让学生掌握键的操作，即：按第一次输入的是，按第二次输入的是，按第三次输入的是. 5. 本节的例1 是如何利用计算器求角度制下的三角函数值；例2 是利用计算器求弧度制下的三角函数值.两个例题分别详细介绍了计算器的操作，应使学生熟练的掌握. 6. 本节的最后针对教材中的两个例题，安排了一个针对性的练习，供学生在课堂中练习使用，以进一步巩固学生对计算器的操作与使用. 5.5 同角三角函数基本关系式本节首先由学生根据三角函数的定义，推导出同角三角函数的两个重要的基本关系式1cossin22和cossintan； 然后学习了这两个基本关系式的两方面的应用：（ 1）已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值；（2）化简三角函数式. 通过本节的学习，要使学生掌握同角三角函数的两个基本关系式，并会利用它们进行简单三角函数式的求值、化简. 本节的重点是两个基本关系式的推导及其应用. 1. （1）在讲解同角三角函数的基本关系式时，应强调两点：一是“同角”，二是所有涉及到的角均属于有关的函数的定义域，因此，在化简过程中，凡牵涉到的关系式，如无特别说明，都看做是有意义的. （2）要使学生明白2sin是2)(sin的简写， 读做“sin的平方” . 不要把2sin误写成2sin. 因为这两者的含义是不同的，前者是“的正弦的平方” ，而后者是“的平方的正弦” . 还应强调作为指数书写时，“2”的大小与位置都须十分重视，如在写2sin时，不要写成2sin. （3）公式1cossin22和cossintan的应用极为广泛，要求学生牢固掌握，并能灵活运用. 灵活运用的一个标准是掌握这两个公式的标准形式；另一个标准则是掌握这两个公式的等价形式，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载22cos1sin，22sin1cos，tancossin，tansincos，它们的应用也极为广泛. （4）根据大纲的要求，只要求重点掌握1cossin22和cossintan这两个基本关系式 . 教材中已精简了应用其他关系式的例题和练习，教师在此就不要补充了. 2. 根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余两个值的问题，教材中的例题只安排了指定角所在的象限这一种情况，对于不指定角所在的象限这种情况，由于需要对角所在的象限进行讨论，所以教师可视学生的接受情况而定. 3. 教学时应强调三角函数式的化简，要求结果以最简形式出现. 这里“最简”的含义是应用所有学过的公式，无论进行任何可能的合理变形，都无法使结果进一步化简的意思. 如结果是和式，应考虑项数能否减少；如结果是商式，应考虑能否化为单项式或乘积式等. 当然，还应说明的是随着教学的深入，知识水平的提高，化简的要求也将逐步提高. 5.6 诱导公式本节以平面几何中图形的轴对称、中心对称为基础推导出了三角函数的诱导公式（即，分别称之为公式二、三、四），并通过运用这些公式，把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，使得求任意角的三角函数值的问题更为方便，同时也渗透了把未知问题化归为已知问题的数学思想. 通过本节的学习，要使学生掌握三角函数的诱导公式，能正确运用这些公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简；能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，提高分析问题、解决问题的能力. 本节的重点是三组诱导公式，以及这三组公式和第5.3 节中的第一组诱导公式的综合运用 . 理解每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并对公式二、三、四进行准确的运用是本节的难点. 1. 本节教材中诱导公式的推导，都是以平面几何中的轴对称、中心对称为基础的，这样加强了诱导公式的几何意义. 在推导这三组诱导公式时，要讲清楚“与这两个角的终边关于x轴对称”、 “角的终边与单位圆的交点P与点P关于原点O中心对称”、以及“角的终边与单位圆交于点P与点P关于y轴对称” . 为了加深学生对这些结论的理解，除了教材中图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载5-15 、图 5-16 和图 5-17 所表示的情况之外，还可以补画出角的终边在其他象限的情况.在此基础上，分别复习关于x轴、y轴、原点对称的两个点的坐标之间的关系，然后写出点P，P的坐标 . 2. 诱导公式里的角是用弧度表示的，在本节的练习中也出现了用角度表示的形式，即也可以用角度表示成180，这两种表示形式，都应要求学生掌握. 3. 将任意负角的三角函数值化为任意正角的三角函数值，如果运用的是公式一，那么应先将这个负角写成360k或)(2Zkk的形式，其中角是“0360”或“02”范围内的角，然后根据公式一写出结果. 例如：80sin)360380sin()1000sin(，34tan2434tan320tan. 5.7 正弦函数的图像和性质本节的主要内容是正弦函数的图像和性质. 教材首先利用“描点法”画出了函数2, 0,sinxxy的图像， 并根据“终边相同的角的三角函数值相等”， 把这一图像向左、向右平行移动，得到正弦曲线；然后利用图像，考察了正弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性. 教材穿插介绍了周期函数与（最小正）周期的定义，介绍了画出定义在闭区间2,0（其长度为一个周期）上的函数简图的“五点法”；最后介绍了如何求与正弦函数有关的某些简单函数的最大、最小值和相应的自变量x的取值集合， 介绍了如何根据正弦函数的单调性比较两个三角函数值的大小. 通过本节的学习，学生应该做到：（1）会用“五点法”画正弦函数的简图，会用这一方法画出与正弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间2,0上的简图 . （2） 了解周期函数与最小正周期的意义；能通过正弦函数的图像理解正弦函数的性质. （3）掌握正弦函数的性质以及性质的运用. 本节的重点是正弦函数的图像形状、性质（包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性）以及性质的运用. 而求与正弦函数有关的某些简单函数的最大、最小值、根据正弦函数的单调性比较两个三角函数值的大小以及周期函数与最小正周期的意义是本节中的三个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载难点 . 充分利用图形讲清正弦曲线的特性，认真梳理好讲解的顺序，通过一定的训练使学生正确了解有关概念和图像性质，是学好本节的关键. 1. 画 正 弦 函 数Rxxy,sin的 图 像 可 分 为 两 步 ： 第 一 步 是 画 出 上 述 函 数2, 0,sinxxy的图像， 第二步是把这一图像向左、向右连续的平行移动（每次2个单位长度），就可得到完整的正弦曲线. 2. 在讲解正弦函数图像的作法时，要让学生明白我们已经把三角函数看做是自变量为实数的函数了，在作图时，x轴用来表示自变量所取的实数（即教材第5.2 节中所说的，实际上是在弧度制下，角的弧度数） ，y轴用来表示相应的函数所取的实数（即函数值） . 因此，在一般情况下，两条坐标轴应取相同的单位长度. 如自变量x时，在x轴上的对应点应是在离原点右边约3.14 个单位的点，在讲解三角函数图像的作法时，教师应该边讲解边画图，力求准确，发挥示范作用，而不要采取预先画好图像的方式. 3. 在画正弦曲线时可以发现，该曲线可以按照闭区间例如，2,4，0,2，2,0，4,2，分段，这些闭区间的长度都等于2个单位长度 . 在每一个闭区间上，有五个点在确定其对应的图像的形状时起着关键作用，只要这五个点描出，这个闭区间所对应的图像的形状就基本确定了. 因此，在精确度要求不高时，常常采用先描出这五个点，再确定长度为2个单位长度且包含这五个点的闭区间，然后画出所对应的图像的方法，这种方法称为“五点法”，应要求学生熟练掌握，以便为后面学习性质打好基础.教学过程中，应强调这五个关键点及其坐标，还要讲清用光滑的曲线连接这五个点的意义，防止学生将图像画成折线或者抛物线的形状. 4. 教学时教师一定要强调正弦函数图像的重要性，因为图像能直观的反映出函数的性质. 正弦函数的图像为我们研究它的定义域、值域、符号、周期性、奇偶性和单调性带来了很大的方便 . 从图像看性质，用性质画图像（或简图），也体现了“数形结合”这一基本数学思想的巨大作用，教学时应让学生认真品味. 5. 在讲解三角函数的周期时，应向学生强调：（1）在周期函数的定义中至关重要的是“如果存在一个不为零的常数T，使得对于函数定义域内的任意x，等式)()(xfTxf恒成立”这段话，尤其要特别注意“对于函数定义域内的任意x”的含义 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载如6sin326sin，但2sin322sin.这就是说32不满足“对于函数定义域内的任意x， 等式xxsin32sin恒成立” 的要求， 所以32不是函数xysin的周期 . （2）周期函数的周期有很多. 但对于三角函数的周期，一般都是指它们的最小正周期.如，4，2，2，4，都是xysin的周期，但2是其中最小正数，所以xysin的周期是2. （3）关于正弦函数的周期与最小正周期，一般只要讲清定义，并根据正弦曲线观察出结果就可以了. 6. （1）例 1 的目的是利用“五点法”画出与正弦函数有关且定义在闭区间2,0上的某些简单函数的简图，并把它们分别与函数2,0,sinxxy的图像进行对比，分析两者之间的关系. （2） 例 2 的目的是求出使某些与正弦函数有关且定义在实数集R 上的简单函数的最大值与最小值 . （3）例 3 的目的是根据正弦函数在该单调区间内的单调性，比较这两个角的正弦值的大小 . 对这一例题，教学时教师一定要强调：两个角必须在正弦函数同一单调区间内，若两个角不在同一单调区间内，则应利用相关的诱导公式将它们转化为同一单调区间内，再利用正弦函数在该单调区间内的单调性，比较这两个角的正弦值的大小. 5.8 余弦函数的图像和性质本节的主要内容是余弦函数的图像和性质. 教材首先利用“描点法”画出了函数2,0,cosxxy的图像，并根据“终边相同的角的三角函数值相等”，把这一图像向左、向右平行移动，得到余弦曲线；然后利用图像，考察了余弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性. 最后介绍了如何求与余弦函数有关的某些简单函数的最大、最小值，介绍了如何根据余弦函数的单调性比较两个三角函数值的大小. 通过本节的学习，学生应该做到：（1）会用“五点法”画余弦函数的简图，会用这一方法画出与余弦函数有关的某些简精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载单函数在长度为一个周期的闭区间2,0上的简图 . （2）能通过余弦函数的图像理解余弦函数的性质. （3）掌握余弦函数的性质以及性质的运用. 本节的重点是余弦函数的图像形状、性质（包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性）以及性质的运用. 而求与余弦函数有关的某些简单函数的最大、最小值以及根据余弦函数的单调性比较两个三角函数值的大小是本节中的两个难点. 1. 与上一节一样，画余弦函数Rxxy,cos的图像也分为两步：第一步是画出上述函数2,0,cosxxy的图像，第二步是把这一图像向左、向右连续的平行移动（每次2个单位长度） ，就可得到完整的余弦曲线. 2. 对于余弦函数的性质，只要求学生能根据函数的图像直接得出即可，不要求学生理解. 3. （1）例 1 的目的是利用“五点法”画出与余弦函数有关且定义在闭区间2,0上的某些简单函数的简图，并把它们分别与函数2,0,cosxxy的图像进行对比，分析两者之间的关系. （2） 例 2 的目的是求出与余弦函数有关且定义在实数集R 上的简单函数的最大值与最小值 . （3）例 3 的目的是根据余弦函数在该单调区间内的单调性，比较这两个角的余弦值的大小 . 对于上述三道例题，教师不必再做拓展. 5.9 利用计算器求角度本节的主要内容是详细介绍了如何利用计算器解决“已知角x的一个三角函数值，求角x”的问题，并针对此问题介绍了已知角x的正弦值、余弦值或正切值，如何操作计算器求出符合条件的角x. 通过本节的学习，学生应该掌握：（1）已知角x的正弦值、余弦值或正切值，会操作计算器求出符合条件的角x；（2）会利用计算器对求得的角x的结果，按照题目要求保留位数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载（3）会利用计算器将十进制度数转换为度分秒表示. 本节的重点是已知角x的一个三角函数值，如何操作计算器求出符合条件的角x.而计算器的正确、 熟练的操作， 利用计算器对求得的角x的结果， 按照题目要求保留位数或将十进制度数转换为度分秒表示是本节的难点. 1. 本节介绍的利用计算器求出的符合条件的角x是角度形式，因此计算器的运算状态应置于Deg（以度为单位的计算）状态. 由于这一内容在本章的第5.4 节中已有详细说明，故在此不再赘述. 但在教学中，教师还应强调，以免学生因计算状态调整错误而导致结果错误. 2. 利用计算器也可以对求得的角x按照题目的要求进行位数精确. 对于这一操作教学时应让学生熟练掌握. 3. 利用计算器也可以对求得的弧度制角x转换为度分秒表示，可接着按键即可 . 这一操作教学时也应让学生熟练掌握. 4.例 1 是已知角x的余弦值，求符合条件的角x. 这一例题的目的在于使学生掌握使用计算器求出角x的相关操作， 掌握若将结果显示为近似值或将结果显示为度分秒，应如何操作计算器 .例 2 与例 3 是已知角x的正弦值或正切值，利用计算器求出符合条件的角x，相关操作与例1 类似 . 5.10 已知三角函数值求指定范围内的角本节主要介绍了如何根据角的正弦值、余弦值或正切值，并利用相应的诱导公式求出这个特殊角（仅限于在2,0范围内） . 通过本节的学习，学生应该学会由已知特殊角的三角函数值求指定范围内的角的步骤和方法 . 本节的重点是已知特殊角的三角函数值求指定范围内的角. 难点主要是如何选择相应的诱导公式求出所有属于指定范围内的角. 1. 已知的一个三角函数值求指定范围内的角， 实质上是解一个最简单的三角方程.在教学中应注意使学生认识到这样的角往往不止一个，具体的求解步骤是：（1）先确定角所在的象限 . （2）如果函数值为正数，则先求出对应的角1x；如果函数值为负数，则先求出与其绝精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载对值对应的角1x. （3）根据角所在的象限，求出在2,0范围内的角如在第二、第三、第四象限时，则角依次为1x，1x，21x. （4）如果要求出适合条件的一切角，那么可利用终边相同的角的表达式写出. 根据大纲的要求，教学中需控制在“求指定范围内的角”这个层次，因此步骤中的第（4）步教材未涉及. 2. 本节中的3 个例题分别介绍了根据角的正弦值、余弦值或正切值，如何求出指定范围内的角 . （四）复习建议1.构建知识网络2.梳理知识要点见本单元教材归纳与总结.3.应注意的问题（1）三角函数是中学阶段一类初等函数，所以对三角函数的性质研究应结合一般函数研究方法进行对比学习，如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等。通过与函数这一单元的对比学习，加深对函数性质的理解. （2）在这一单元中，角的变换、三角函数名的变换、三角函数次数的变换、三角函数式表达形式的变换比比皆是，变是本单元的主题。（3）应立足基本公式，在解题时，注意在条件与结论建立联系. 4.典型例题任 意 角 的概念角 度 制 与弧度制任 意 角 的三角函数三角函数的图象与性质同 角 三 角函 数 关 系式诱导公式已 知 三 角函 数 值 求角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载见本单元教材归纳与总结，其中例 1 复习同角三角函数关系式，例2 复习正弦函数的性质 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页