精品资料欢迎下载3.2 函数模型及其应用【入门向导】想一想？杰米是一个百万富翁，一天，他碰到了一件奇怪的事一个叫韦伯的人对他说，我想和你订个合同，在整整的一个月(30 天)内，我每天给你10 万元，而你第一天只需给我1 元钱，第二天给我2 元钱，每天给我的钱是前一天的两倍杰米非常高兴，他同意订这样的合同同学们，按此合同，谁最终会获利？(提示公式： 2021222n112n12) 幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况有什么区别？一般地，对于指数函数yax(a1)和幂函数yxn(n0)，通过探索可以发现，在区间(0， )上，无论 n 比 a 大多少， 尽管在 x 的一定变化范围内，ax会小于 xn，但由于 ax的增长快于 xn的增长，因此总存在一个x0，当 xx0时，就会有axxn. 同样地，对于对数函数ylogax(a1)和幂函数y xn(n0)，在区间 (0， )上，随着x的增长， logax 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x 轴平行一样，尽管在x 的一定变化范围内，logax 可能会大于xn， 但是由于 logax 的增长慢于xn的增长， 因此总存在一个x0， 当 xx0时，就会有logax1)、ylogax(a1)和 yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“级别”上，随着x 的增大， yax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当 xx0时，就会有logaxxn0，b1)；5对数函数模型：f(x)mlogaxn(m、n、a 为常数， a0，a1)；说明随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色6幂函数模型：f(x)axnb(a、b、n 为常数， a0， n1)；7分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛函数应用举例函数应用题是函数知识的综合运用，涉及到的知识面很广，这里主要对一、二次函数及分段函数的应用举例分析，希望能对同学们有所帮助一、建立函数解析式，解决几何问题例 1 现有 100米长的篱笆材料， 利用一面长度够用的墙作为一边，围成一个矩形的猪圈，问此矩形的长、宽各为多少时，猪圈的面积最大？最大为多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页精品资料欢迎下载分析如图要求出矩形的面积就要知道矩形长与宽，篱笆材料的长共为100 米，因此可假设宽为x 米，则矩形的长就可以表示出来，这样就可以得到面积S关于 x 的解析式解如右图，设矩形猪圈的宽为x 米，则长为 (1002x)米，于是 S x(1002x) 2x2100x 2(x25)21 250(0 x50)这是二次函数的一部分，由二次函数的性质可得当x25(米)时，面积 S最大， 最大值为1 250(平方米 )，此时矩形的长为10022550(米)答当矩形的长与宽分别为50 米、 25 米时，面积最大，最大为1 250 平方米二、由表格确定函数解析式，解决实际问题例 2 某公司今年一月份推出一种新产品，成本价为每件492 元，经试销调查，销售量与销售价的关系如下表：销售价x(元/件)650662720800 销售量y(件)350333281200 由此可知， 销售量 y 与销售价格x 的关系可近似看作一次函数ykxb(通常取表中相距较远的两组数据所得的一次函数较为精确)试问： 销售价定为多少时，一月份利润最大？并求最大利润和此时的销售量分析首先要根据表格确定销售量y 与销售价格x的关系式，进一步才能确定利润解由题意及表格可得当x650 时， y350；当 x800 时， y200. 将它们代入ykxb，可得350650kb，200800kb.解得k 1，b1 000.即销售量y 与销售价格的关系式为y x1 000(0x1 000)设一月份的利润为P，则由题意可得Py(x492)( x1 000)(x492) x2 1 492x492 000 (x 746)264 516(0 x1 000)这是二次函数的一部分，由二次函数的性质可得当 x746(元/件)时，利润最大，最大值为64 516(元 )，此时的销售量为y254(件 )答销售价定为746 元时，一月份利润最大， 最大利润为64 516 元，此时的销售量为254件三、分段函数的应用例 3 某单位决定住公房的职工必须按基本工资的高低交纳建房公积金，办法如下：每月工资公积金1 000 以下不交纳1 000 元至 2 000 元交纳超过 1 000 元部分的5% 2 000 元至3 000 元1 000 元至 2 000 元部分交纳5% 2 000 元至 3 000 元部分交纳10% 3 000 元以上1 000 元至 2 000 元部分交纳5% 2 000 元至 3 000 元部分交纳10% 3 000 元以上的部分交纳15% (1)设职工每月工资为x 元，交纳公积金后实得y 元，求 y 与 x 之间的关系式；(2)张某的月工资为2 400 元，则他应交纳多少的公积金精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页精品资料欢迎下载分析本题意为工资中要扣除公积金，由表可得分了四段，每一段交纳的方式不相同，因此我们一段一段地来分析解(1)当 0x1 000 元时，不交纳公积金，即 yx；当 1 000x2 000 时，交纳超过1 000 元的部分的5%，即 y1 000(x1 000)(10.05)0.95x50. 同理可得当2 0003 000 时，交纳公积金后实得y0.85x300. 所以所求函数的表达式为yx，0x1 000，0.95x 50，1 000x2 000，0.9x150，2 0003 000.(2)张某的月工资为2 400 元，则他实得y2 4000.91502 310(元)，因此他交纳的公积金为2 400231090(元)答张某应交纳公积金90 元函数模型建立过程中的常见错误解答函数应用问题时，要分四步进行：第一步：阅读、理解；第二步：建立数学模型，把应用问题转化为数学问题；第三步：解答数学模型，求得结果；第四步：把数学结果转译成具体问题的结论，做出解答而这四步中，最为关键的是把第二步处理好只要把数学模型建立妥当，所有的问题即可在此基础上迎刃而解但是，很多同学在建模过程中忽视了一些细节，导致“满盘皆输”一、忽视实际意义出错例 4 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数现知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函数为y102x2x2(万元 )，若售出一件商品的价格是20 万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？错解设该企业所能获取的最大利润为z(万元 )，则z20x(102x2x2)，即 z 2x218x10 2(x4.5)230.5，故 z的最大值为30.5，即该企业所能获取的最大利润为30.5 万元剖析同学们，你认为以上解答出现了什么问题？应该怎样进行修正呢？题目中的条件已经暗示了x 为自然数，而该错解中却是在x 4.5 时取到的最大值30.5，这种情况在实际中是无法操作的正解设该企业所能获取的最大利润为z(万元 )，则 z20x(102x2x2)(xN)，即 z 2x218x10 2(x4.5)230.5，故当 x 4或 5 时， z 取最大值30，即该企业生产4 件或 5 件商品时所取得的利润最大，为30 万元二、因读题不精而出错精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页精品资料欢迎下载例 5 已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向作匀速直线运动，其位移y(km) 和运动时间 x(h)(0 x5)的关系如图所示，给出以下说法：甲、乙运动的速度相同，都是5 km/h；甲、乙运动的时间相同，开始移动后相等时间内甲的位移比乙大；甲、乙运动的时间相同，乙的速度是4 km/h；当甲、乙运动了3 小时后，甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km 处其中正确的说法是() ABCD错解和一定是一对一错，经分析， 是对的； 对于， 因为乙的图象在甲的上方，所以应是甲的位移比乙小，故错误；对于，当甲、乙运动了3 小时，甲的位移为3515(km)，乙的位移为53417(km)，故错误故选A. 剖析错因在于未读懂图象，从而作出错误判断对于，不能依据图象的位置判断位移大小，要经计算判断；对于，乙的位移计算错误正解和一定是一对一错，经分析是对的；对于，甲、乙运动的时间显然都是5 小时，因为甲的速度为5 km/h，乙的速度为4 km/h，所以开始移动后相等时间内甲的位移比乙大，故正确；对于，当甲、乙运动了3 小时，甲的位移为3515(km)，乙的位移为 3412(km)，又因为乙是从甲前方5 km 处开始运动的，所以甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km 处，所以正确故选D. 点评对于图象题，同学们一定要认真观察，仔细分析，切实理解其真实含义和实际背景三、因主观性太强而致错例 6 如图所示， 圆弧型声波DFE 从坐标原点O 向外传播 若 D 是 DFE 与 x 轴的交点，设 ODx(0x a)，圆弧型声波DFE 在传播过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y(图中阴影部分 )，则函数y f(x)的图象大致是 () 错解观察图 1 可知，声波扫过的面积先增大后减小，故正确答案为B. 剖析本题的错误很明显，y 指的是声波扫过的总面积，不是发展趋势，所以扫过的面积始终是增大的，上述判断是因主观性太强而致错正解从题目所给的背景图形中不难发现：在声波未传到C 点之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快当到达C 点之后且离开A 点之前，因为OABC，所以此时扫过图形的面积呈匀速增长当离开A 点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢，所以函精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页精品资料欢迎下载数图象刚开始应是下凹的，然后是一条上升的线段，最后是上凸的故选A. 点评函数图象的凸凹性是函数的一个重要性质，其一般规律是：上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增得越来越慢；下凹函数图象正好相反错误总是垂青于那些基础知识不扎实、思维不严谨、解题不认真的人，读完本文，希望同学们能知道怎样远离错误求解实际问题四策略实际问题一般文字叙述较长、背景新颖、涉及知识面广很多同学在应用题面前束手无策，有的读不懂题意、有的不会分析这里向同学们介绍求解实际问题的四种思路，望对同学们的学习有所帮助一、抓常规，乱中找序实际问题往往与生活联系密切，无论多么复杂的问题，总存在着生活中的常规现象，抓住它，就在纷乱的条件中找到了“头序”，问题就能迎刃而解例 1 某商店将每个进价为10 元的商品，按每个18 元销售时，每天可卖出60 个经调查，若将这种商品的售价(在每个 18 元的基础上 )每提高 1 元，则日销售量就减少5 个，若将这种商品的售价(在每个18 元的基础上 )每降低 1 元，则日销售量就增加10 个为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？分析“总利润销售量单个利润 ”这是生活中的常规，从这里入手我们先设每个售价为 x元，每日利润为y 元解若 x18(即提价 )，销售量为605(x18)，单个利润为x10，那么每日利润为y605(x18)( x10) 5(x20)2500，显然当售价定为每个20 元时，利润最大，其最大利润为500 元若 xa ，由 0c 5，得 88c13，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页精品资料欢迎下载因此，第二、三两月的用水量超过最高限量由8b 15a c19，8b 22a c33，得 b2 且 2ac19. 再分析限量a，若 a5 时， L(x)120.25x 为减函数，此时 L(x)10.75(万元 )生产 475 台时利润最大四、用草图，显现关系例 4 某工厂在甲、 乙两地的两个分厂各生产某种机器12 台和 6台， 现销售给 A 地 10 台，B 地 8 台已知从甲地调运1 台至 A 地、 B 地的运费分别为400 元和 800 元，从乙地调运1台至 A 地、 B 地的运费分别为300 元和 500 元(1)若总运费不超过9 000 元，问共有几种调运方案？(2)求出总运费最低的调运方案及最低的运费解画一个草图， 如图所示，设从甲地运x 台到 A 地， 那么甲地的另12 x 台运往 B 地 由于 A 地购 10 台，因此，尚需从乙地运去10x 台，乙地的另6(10 x)台运往 B 地设总运费为 y，则 y400x800(12x)300(10 x) 5006 (10x) 200x10 600. (1)由 y9 000，即 200x10 6009 000，得 x8. 由于甲地有12 台， A 地需要 10 台，因此有三种调运方案，即从甲地运8 台、 9 台或 10台到 A 地(2)由于 y 200x10 600 为减函数，又8x10，因此，当x10 时，运费最低，最低运费为8 600 元. 函数应用问题中的创新考点分析新课标加大了对应用问题的考查，近几年各类考试中函数的应用问题也正悄然变化，对情境文字与图形的结合的考查增多，下面举例说明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页精品资料欢迎下载考点一看图计算1(广州模拟 )某民营企业生产A、B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元) 图 1图 2 (1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式，并写出它们的函数关系式；(2)该企业已筹集到10 万元资金，并全部投入A、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10 万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到 1 万元 ) 解(1)设 A 产品的利润y1(万元 )与投资 x(万元 )之间的关系式为y1axb(a0)，由 x1，y10.25 和 x 1.8，y10.45，得ab0.25,1.8ab0.45，a0.25，b0， y10.25x. 设 B 产品的利润y2(万元 )与投资 x(万元 )之间的关系式为y2kx(k0)，由 x4，y22.5，得 k1.25. y21.25 x. 所以 A、B 两种产品利润与投资的函数关系式分别为y10.25x，y21.25 x. (2)设将 10 万资金投资B 产品 x 万元， A产品 (10x)万元，则利润y0.25(10x)1.25 x. 令 tx， x t2. y 0.25t21.25t2.5 0.25(t2 5t)2.5 0.25(t2.5)24.062 5. 又 0x10， t0，10当 t2.5 时，即 x6.25 时，y 取得最大值ymax4.062 5,106.253.75. 所以，当投资A 产品约 4 万元， B产品约 6 万元时，所获利润最大，最大利润约为4 万元点评图象信息题是由图象给出数据信息，探求多个变量之间的关系，再综合应用有关函数知识加以分析，以达到解决实际问题的目的这类问题考查收集、整理与加工信息的能力，解决这类问题的一般步骤是：(1)观察图象，捕捉有效信息；(2)对已获信息进行加工，分清变量之间的关系；(3)选择恰当的数学工具，通过建模来加以解决；(4)要注意检验，去伪存真，尤其是实际问题，答案要符合实际考点二几何图形与应用问题的交汇2(上海高考 )某人定制了一批地砖每块地砖(如图 1)是边长为0.4 m 的正方形ABCD，点 E、F 分别在边BC 和 CD 上， CFE 、ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成CFE、 ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比为321.若将此种地砖按如图 2 所示的形式辅设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH . (1)求证：四边形EFGH 是正方形(2)E，F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页精品资料欢迎下载(1)证明图 2 是由四块图1 所示的地砖绕点C 按顺时针连续三次旋转90 后得到的，CFE 为等腰直角三角形，所以四边形EFGH 是正方形(2)解设 CEx，则 BE 0.4x，每块地砖的费用为W，制成 CFE、ABE 和四边形AEFD 三种材料每平方米的价格依次为(单位：元 )3a,2a，a，W12x2 3a120.4(0.4x)2a0.1612x2120.4 (0.4 x)a a(x2 0.2x0.24) a(x0.1)20.23，0x0，当 x0.1 时，W 有最小值，即总费用最省所以当 CECF0.1 m 时，总费用最省点评本题考查平面几何的知识以及二次函数在有限区间上的值域问题，考查对实际问题的理解以及解决应用问题的能力精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页