1 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02cbxax根的分布情况设方程200axbxca的不等两根为12,x x且12xx，相应的二次函数为20fxaxbxc，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一： （两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0 120,0xx两个正根即两根都大于0 120,0xx一正根一负根即一个根小于0，一个大于0120xx大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f综合结论（不讨论a）00200baa f00200baaf00fa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页2 表二： （两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即kxkx21,两根都大于k即kxkx21,一个根小于k，一个大于k即21xkx大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkaf k0kf大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf综合结论（不讨论a）020bkaa fk020bkaafk0kfakkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页3 表三： （根在区间上的分布）分布情况两根都在nm,内两根有且仅有一根在nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在nm,内，另一根在qp,内，qpnm大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq综合结论（不讨论a）0nfmf00qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间nm,外，即在区间两侧12,xm xn， （图形分别如下）需满足的条件是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页4 （1）0a时，00fmfn；（2）0a时，00fmfn对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在nm,内有以下特殊情况：1若0fm或0fn，则此时0f mfng不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间nm,内，从而可以求出参数的值。如方程2220mxmx在区间1,3上有一根，因为10f， 所以22212mxmxxmx， 另一根为2m， 由213m得223m即为所求；2方程有且只有一根，且这个根在区间nm,内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程24260xmxm有且一根在区间3,0内， 求m的取值范围。 分析：由300ff g即141530mm得出15314m；由0即2164 260mm得出1m或32m，当1m时，根23,0x，即1m满足题意；当32m时，根33,0x，故32m不满足题意；综上分析，得出15314m或1m根的分布练习题例 1、已知二次方程221210mxmxm有一正根和一负根，求实数m的取值范围。解：由2100mfg即2110mm，从而得112m即为所求的范围。例 2、已知方程2210xmxm有两个不等正实根，求实数m的取值范围。解：由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页5 0102 200mfg218010mmmm32 232 20mmm或032 2m或32 2m即为所求的范围。例 3、已知二次函数222433ymxmxm与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。解：由210mf g即2210mmg122m即为所求的范围。例 4、已知二次方程22340mxmx只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。解： 由题意有方程在区间0,1上只有一个正根， 则010ffg4 310mg13m即为所求范围。（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由0计算检验，均不复合题意，计算量稍大）例 1、当关于x的方程的根满足下列条件时，求实数a的取值范围：（1）方程2270xaxa的两个根一个大于2，另一个小于2；（2）方程227(13)20xaxaa的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；（3）方程022axx的两根都小于0；变题：方程022axx的两根都小于1（4）方程22(4)2530xaxaa的两根都在区间 1,3上；（5）方程042axx在区间（1，1）上有且只有一解；例 2、已知方程042mxx在区间 1，1上有解，求实数m 的取值范围例 3、已知函数f (x)1)3(2xmmx的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围检测反馈：1若二次函数2( )(1)5f xxax在区间1(,1)2上是增函数，则(2)f的取值范围是_2若、是关于 x 的方程06kkx2x2的两个实根 , 则22)1()1(的最小值为3若关于x的方程2(2)210xmxm只有一根在(0,1)内，则m_ _4对于关于x 的方程 x2+(2m 1)x+4 2m=0 求满足下列条件的m 的取值范围：（1）有两个负根（ 2） 两个根都小于1 （3）一个根大于2，一个根小于2 （4） 两个根都在（0 ，2）内（5）一个根在 ( 2，0)内，另一个根在(1，3)内（6）一个根小于2，一个根大于4 （7） 在（ 0， 2）内有根（8） 一个正根，一个负根且正根绝对值较大5已知函数1)(2xmxxf的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围。2、二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值问题探讨设002acbxaxxf，则二次函数在闭区间nm,上的最大、最小值有如下的分布情况：abnm2nabm2即nmab,2nmab2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页6 图象最大、最小值nfxfmfxfminmaxabfxfmfnfxf2,maxminmaxmfxfnfxfminmax对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若nmab,2，则nfabfmfxf,2,maxmax，nfabfmfxf,2,minmin；（2）若nmab,2，则nfmfxf,maxmax，nfmfxf,minmin另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。例 1、函数2220fxaxaxb a在2,3上有最大值5 和最小值2，求,a b的值。解：对称轴012,3x，故函数fx在区间2,3上单调。（1）当0a时，函数fx在区间2,3上是增函数，故maxmin32fxffxf32522abb10ab；（2）当0a时，函数fx在区间2,3上是减函数，故maxmin23fxffxf25322bab13ab例 2、求函数221,1,3fxxaxx的最小值。解：对称轴0xa（1） 当1a时，min122yfa（2） 当13a时，2min1yf aa；（3） 当3a时，min3106yfa改： 1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解： （1）当2a时，max3106fxfa；（2）当2a时，max122fxfa。2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页7 解： （1）当1a时，max3106fxfa，min122fxfa；（ 2）当12a时，max3106fxfa，2min1fxfaa；（ 3）当23a时，max122fxfa，2min1fxf aa；（ 4）当3a时，max122fxfa，min3106fxfa。例 3、求函数243yxx在区间,1t t上的最小值。解：对称轴02x（1）当2t即2t时，2min43yfttt； （2）当21tt即12t时，min21yf；（3）当21t即1t时，2min12yf ttt例 4、讨论函数21fxxxa的最小值。解：2221,11,xaxxafxxxaxaxxa，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为直线12x，12x，当12a，1122a，12a时原函数的图象分别如下（1） ， （2） ， （3）因此， （ 1）当12a时，min1324fxfa； （2）当1122a时，2min1fxfaa；（ 3）当12a时，min1324fxfa以上内容是自己研究整理，有什么错误的地方，欢迎各位指正，不胜感激！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页