11.1 11.1 与三角形有关的线段与三角形有关的线段教学目标教学目标1理解三角形及其有关概念及三角形的分类2理解“三角形两边的和大于第三边”，并运用这个性质解决问题3理解三角形的高、中线、角平分线的概念4了解三角形的重心的概念5了解三角形的稳定性，四边形没有稳定性教学重点与难点教学重点与难点1. 理解“三角形两边的和大于第三边”2. 运用及理解三角形的高、中线、角平分线的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形三角形的边三角形的边 在下图中，线段 AB，BC，CA是三角形的边点A，B，C是三角形的顶点A，B，C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角 顶点是A，B，C的三角形，记作ABC，读作“三角形 ABC” ABC 的三边，有时也用 a，b，c 来表示如上图，顶点 A 所对的边 BC 用 a 表示，顶点 B 所对的边AC 用 b 表示，顶点 C 所对的边 AB 用 c 表示 我们知道：三边都相等的三角形叫做等边三角形（图（1）；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（图（2） 图 （3）中的三角形是三边都不相等的三角形思考思考我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形如何按照边的关锐角三角形、直角三角形和钝角三角形如何按照边的关系对三角形进行分类呢？说说你的想法，并与同学交流系对三角形进行分类呢？说说你的想法，并与同学交流 以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形 我们还知道：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角 等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形综上，三角形按边的相等关系分类如下：三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形探究探究 任意画一个任意画一个 ABC，从点，从点 B 出发，沿三角形的边到点出发，沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？能有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？证明你的结论吗？ 对于任意一个ABC，如果把其中任意两个顶点（例如 B，C）看成定点，由“两点之间，线段最短”可得 ABACBC. 同理有 ACBCAB， ABBCAC. 一般地，我们有 三角形两边的和大于第三边 由不等式移项可得BCABAC，BCACAB这就是说，三角形两边的差小于第三边 例例 用一条长为 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形 （1）如果腰长是底边长的 2 倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长是 4 cm的等腰三角形吗？为什么？ 解：解：（1）设底边长为 x cm，则腰长为 2x cmx2x2x18 解得 x3.6 所以，三边长分别为 3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm （2）因为长为 4 cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论 如果 4 cm长的边为底边，设腰长为 x cm，则42x18 解得 x7 如果 4 cm长的边为腰，设底边长为 x cm，则24x18 解得 x10 因为 4410，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长是 4 cm的等腰三角形 由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm 的等腰三角形练习练习1.1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形图中有几个三角形？用符号表示这些三角形. .答答: :有有5个个. .ABC， BCD， BCE， ABE， CDE. 2. 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，4，8； （2）5，6，11； （3）5，6，10 解：（解：（1）不能因为）不能因为3 4 8 ，即两条线段的和小即两条线段的和小于第三条线段，所以不能组成三角形于第三条线段，所以不能组成三角形. . （2）不能因为）不能因为5 6 11，不符合三角形两边的和，不符合三角形两边的和大于第三边大于第三边 （3）能因为）能因为5 610，10 65，10 56，符合三角形两边的和大于第三边符合三角形两边的和大于第三边三角形的高、中线与角平分线三角形的高、中线与角平分线 与三角形有关的线段，除了三条边，还有我们已经学过的三角形的高如下图，从ABC 的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画垂线，垂足为 D，所得线段AD 叫做ABC的边 BC 上的高（altitude） 我们再来看两种与三角形有关的线段 如下图（1），连接ABC 的顶点 A 和它所对的边 BC 的中点 D，所得线段 AD 叫做ABC 的边 BC 上的中线（median） 如图（2），三角形的三条中线相交于一点三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 如下图，画A的 平分线 AD，交A 所对的边BC于点 D，所得线段 AD叫做ABC的角平分线（angular bisector）练习练习 答答: : （）（）和（）中的（）（）和（）中的B 分别是锐角，直分别是锐角，直角，钝角角，钝角. .当当B 是锐角时，高是锐角时，高AD在在ABC的内部；的内部；当当B 是直角时，高是直角时，高AD与边与边AB重合；重合；当当B 是钝角时，高是钝角时，高AD的的垂足在垂足在CB的延长线上，高的延长线上，高AD在在ABC的外部的外部. 如图如图，（）（）和（）中的三个，（）（）和（）中的三个B 有有什么不什么不同？这三同？这三条条ABC 的边的边 BC上的高上的高AD在在各自三角形的什么各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？位置？你能说出其中的规律吗？三角形的稳定性三角形的稳定性 工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架（下图（1），其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条（下图（2）为什么要这样做呢？（1）（2）探究探究如图（），将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，如图（），将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？然后扭动它，它的形状会改变吗？如图（），将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，如图（），将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？然后扭动它，它的形状会改变吗？如图（），在四边形木架上再钉一根木条，将它的如图（），在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？改变吗？为什么？ 可以发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变这就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性 还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变这是因为斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，斜钉一根木条的窗框在未安装好之前也不会变形大桥 三角形的稳定性有广泛的应用，下面就是一些简单的例子大桥起重机伸缩门 四边形的不稳定性也有广泛的应用，伸缩门就是其中典型的例子练习练习 下列图形中哪些具有稳定性？下列图形中哪些具有稳定性？ （1 1）（）（4 4）（）（6 6）中的图形具有稳定性）中的图形具有稳定性. .再见！再见！