第四章 定积分1 定积分的概念1.1 定积分的背景面积和路程问题 我们学过如何求正方形、长方形、三角形和梯形我们学过如何求正方形、长方形、三角形和梯形等平面图形的面积；这些图形都是由直线围成的。那等平面图形的面积；这些图形都是由直线围成的。那么如何求由曲线围成的平面图形的面积呢？么如何求由曲线围成的平面图形的面积呢？ 本章我们要学习的定积分，就可以帮助我们解本章我们要学习的定积分，就可以帮助我们解决这些问题。当然定积分还可以解决变速度的路程问决这些问题。当然定积分还可以解决变速度的路程问题，变力作功问题。它也是我们解决实际问题的有力题，变力作功问题。它也是我们解决实际问题的有力的工具。的工具。 这节课我们学习定积分的背景这节课我们学习定积分的背景-面积和路程问题面积和路程问题引入引入xoy 图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，这样图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，这样的平面图形称为的平面图形称为曲边梯形曲边梯形，ab曲边梯形曲边梯形定义定义： 我们把由直线我们把由直线 x = a，x = b (a b)， y = 0和曲和曲线线 y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形所围成的图形叫作曲边梯形。那么如何求那么如何求曲边梯形曲边梯形面积呢？面积呢？探究点探究点1 1：定积分的几何背景：定积分的几何背景 曲边图形曲边图形的面积问题的面积问题 我国古代的数学家我国古代的数学家祖冲之祖冲之，从圆内接正六边形入手，让边数，从圆内接正六边形入手，让边数成倍增加，用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积。成倍增加，用圆内接正多边形的面积去逼近圆面积。 古希腊的数学家，从圆内接正多边形和外切正多边形同时入古希腊的数学家，从圆内接正多边形和外切正多边形同时入手，不断增加它们的边数，从里外两个方面去逼近圆面积。手，不断增加它们的边数，从里外两个方面去逼近圆面积。 我们用正多边形逼近圆的方法我们用正多边形逼近圆的方法 ( (即即“以直代曲以直代曲”) ) 求出了圆求出了圆的面积，能否也能用直边形的面积，能否也能用直边形( (如矩形如矩形) )来逼近曲边梯形的方法求来逼近曲边梯形的方法求阴影部分面积呢？阴影部分面积呢？圆也是由曲线围成的平面图形，它的面积怎样求昵？圆也是由曲线围成的平面图形，它的面积怎样求昵？ y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积于是曲边梯形的面积A A近似为近似为A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 将区间将区间a，b平均分成许多小区间，把曲边梯形拆平均分成许多小区间，把曲边梯形拆分成一些小曲边梯形。对每个小曲边梯形分成一些小曲边梯形。对每个小曲边梯形“以直代曲以直代曲”，即用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个即用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积，对这些近似值求和，就得到曲边小曲边梯形的面积，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值。梯形面积的近似值。 可以想象，区间拆分的越细，近似程度就越好，亦可以想象，区间拆分的越细，近似程度就越好，亦即：用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲边梯形即：用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲边梯形的面积。可通过以下几个步骤具体实施：的面积。可通过以下几个步骤具体实施： （1）分割；）分割； （2）近似代替；）近似代替； （3）逼近。）逼近。问题问题1 1 图图中阴影部分是由抛物线中阴影部分是由抛物线 ，直线，直线以及以及 x x 轴所围成的平面图形，试估计这个曲边梯形轴所围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积的面积 S S . . xoy1xoy1分析分析 首先，将首先，将区间区间00，1515等分，如图所示等分，如图所示. . 图图 (1) (1) 中，所有小矩形的面积之和（记为中，所有小矩形的面积之和（记为S S1) )显显然大于所求的曲边梯形的面积，我们称然大于所求的曲边梯形的面积，我们称S S1为为S S的过剩的过剩估计值，估计值，有有（1 1）xoy1 图图 (2) (2) 中，所有阴影小矩形的面积之和中，所有阴影小矩形的面积之和( (记为记为s s1 1) )显然小于所求曲边梯形的面积，我们称显然小于所求曲边梯形的面积，我们称s s1 1为为S S的不足的不足估计值，估计值，有有. .（2 2）xoy1思考：思考：我们可以用我们可以用S S1 1或或s s1 1近似表示近似表示S S，但是都存在，但是都存在误差，误差有多大呢？误差，误差有多大呢？提示：提示：二者之差为二者之差为S S1 1- -s s1 1=0.2=0.2如图如图(3)(3)中阴影所示，无论用中阴影所示，无论用S S1 1还是用还是用s s1 1来表示曲边来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过梯形的面积，误差都不会超过0.2.0.2.（3 3）xoy1(4) 为了减小误差，我们将区间为了减小误差，我们将区间0，1 10等分，则等分，则所求面积的过剩估计值为所求面积的过剩估计值为不足估计值为不足估计值为 二者的差值为二者的差值为S S2 2-s-s2 2=0.1=0.1，此时，无论用，此时，无论用S S2 2还是用还是用s s2 2来表示来表示S S，误差都不超过，误差都不超过0.1.0.1.结论：结论：区间分得越细，误差越区间分得越细，误差越小小. .当被分割成的小区间的长度当被分割成的小区间的长度趋于趋于0 0时，过剩估计值和不足估时，过剩估计值和不足估计值都会趋于曲边梯形的面积计值都会趋于曲边梯形的面积. . . . 有有理理由由相相信信，分分点点越越来来越越密密时时，即即分分割割越越来来越越细细时时，矩矩形形面面积积和和的的极极限限即即为为曲曲边形的面积。边形的面积。 把这些矩形面积相加把这些矩形面积相加 作为整个曲边形面积作为整个曲边形面积S S的近似值。的近似值。 （4 4）取极限取极限 抽象概括抽象概括 我我们通过们通过“以直以直代曲代曲”和和“逼近思想逼近思想”方方法解决了求法解决了求曲边梯形的面曲边梯形的面积的积的问题问题，它们的，它们的步骤：步骤：分割区间分割区间过剩估计值过剩估计值不足估计值不足估计值逼近逼近所求面积所求面积所分区间长度所分区间长度趋于趋于 0 估计值趋于所求值估计值趋于所求值 xyo1动手做一做动手做一做 求曲线求曲线y= y= 与直线与直线x=1,y=0x=1,y=0所围成的平面图形的面积的估所围成的平面图形的面积的估计值，并写出估计误差计值，并写出估计误差. .（把区间（把区间00，1 51 5等分来估计）等分来估计）解析：解析： 把把区间区间 00，11 5 5等分，以每一个小区间等分，以每一个小区间左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足左右端点的函数值作为小矩形的高，得到不足估计值估计值 和过剩估计值和过剩估计值 ，如如下：下：估计误差不会超过估计误差不会超过 - =0.2- =0.2探究探究点点2 2 定积分的物理背景定积分的物理背景 - -估估计变速运动的路程计变速运动的路程 已知匀速运动物体的速度已知匀速运动物体的速度v和运动的时间和运动的时间t, ,我我们可以求出它走过的路程们可以求出它走过的路程s=vt, ,那么如何求非匀速那么如何求非匀速运动的物体走过的路程呢？运动的物体走过的路程呢？问题问题2 想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，想象这样一个场景：一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行汽车滑行5s后停下，在这一过程中，汽车的速度后停下，在这一过程中，汽车的速度 v （单位：（单位：m/s)是时间是时间 t 的函数：的函数：请估计汽车在刹车过程中滑行的请估计汽车在刹车过程中滑行的距离距离 s .分析：分析：由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是由已知，汽车在刚开始刹车时的速度是v v(0)=25(0)=25m/sm/s, ,我们可以用这个速度来近似替代汽车在我们可以用这个速度来近似替代汽车在这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离：这段时间内的平均速度，求出汽车的滑行距离：s s=25=255=125(m)5=125(m)但显然，这样的误差太大了但显然，这样的误差太大了. .为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法为了提高精确度，我们可以采用分割滑行时间的方法来估计滑行距离来估计滑行距离. .首先，将滑行的时间首先，将滑行的时间5s5s平均分成平均分成5 5份份. .我们分别用我们分别用v v(0),(0),v v(1),(1),v v(2),(2),v v(3),(3),v v(4) (4) 近似替代汽近似替代汽车在车在0 01s1s、1 12s2s、2 23s3s、3 34s4s、4 45s5s内的平均速内的平均速度，求出滑行距离度，求出滑行距离s s1 1：由于由于v v是下降的，所以显然是下降的，所以显然s s1 1大于大于s,s,我们称它为汽我们称它为汽车在车在5 s5 s内滑行距离的过剩估计值内滑行距离的过剩估计值. .用用v v(1),(1),v v(2),(2),v v(3),(3),v v(4),(4),v v(5)(5)分别近似替代汽车分别近似替代汽车在在0 01s1s、1 12s2s、2 23s3s、3 34s4s、4 45s5s内的平均速内的平均速度，求出汽车在度，求出汽车在5 5s s内滑行距离的不足估计值内滑行距离的不足估计值 ：不论用过剩估计值不论用过剩估计值s1s1还是不足估计值还是不足估计值 表示表示s s，误差都不超过：误差都不超过：不论用过剩估计值不论用过剩估计值s1s1还是不足估计值还是不足估计值 表示表示s s，误差都不超过：误差都不超过：为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分得更细些，因为我们知道，滑行时间的间隔越小，得更细些，因为我们知道，滑行时间的间隔越小，用其中一点的速度代替这段时间内的平均值，其用其中一点的速度代替这段时间内的平均值，其速度误差就越小速度误差就越小. .比如，将滑行时间比如，将滑行时间5s5s平均分成平均分成1010份份. .用类似的方法得到汽车在用类似的方法得到汽车在5s5s内滑行距离的过剩估内滑行距离的过剩估计值计值s s2 2：结论：结论： 滑滑行时间等分得越细，误差越小行时间等分得越细，误差越小. .当滑行时间被当滑行时间被等分后的小时间间隔的长度趋于等分后的小时间间隔的长度趋于0 0时，过剩估计值和时，过剩估计值和不足估计值就趋于汽车滑行的路程不足估计值就趋于汽车滑行的路程. .汽车在汽车在5s5s内滑行距离的不足估计值内滑行距离的不足估计值 ：无论用无论用s s2 2还是还是 表示汽车的滑行距离表示汽车的滑行距离s s，误差都不超过误差都不超过抽象概括抽象概括 前面，我们通过前面，我们通过“以直代曲以直代曲”的逼近方法解决了求的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题，对于变速运动路程的步骤：曲边梯形的面积的问题，对于变速运动路程的步骤：分割区间分割区间过剩估计值过剩估计值不足估计值不足估计值逼近所求路程逼近所求路程所分区间长度所分区间长度趋于趋于 0 估计值趋于所求值估计值趋于所求值 1. 1. 在在“近似替代近似替代”中，函数中，函数f(x)f(x)在区间在区间x xi i,x,xi+1i+1上上的近似值等于（的近似值等于（ ）A.A.只能是区间的左端点的函数值只能是区间的左端点的函数值f(xf(xi i) )B.B.只能是区间的右端点的函数值只能是区间的右端点的函数值f(xf(xi+1i+1) )C.C.可以是区间内的任意一点的函数值可以是区间内的任意一点的函数值f(f(i i) )（i ix xi i,x,xi+1i+1）D.D.以上答案均正确以上答案均正确解析解析 以直代曲，可以把区间以直代曲，可以把区间x xi,x,xi+1上的任意一点上的任意一点的函数值的函数值f(f(i) )（ix xi,x,xi+1）作为小矩形的高）作为小矩形的高. .C C2.2.已知自由落体的运动速度已知自由落体的运动速度v=gtv=gt，则估计在时间区，则估计在时间区间间0,60,6内，将时间区间内，将时间区间1010等分时，物体下落的等分时，物体下落的距离的估计值可以为（距离的估计值可以为（ ）A.14g B.15g C.16g D.17gA.14g B.15g C.16g D.17g解析解析 由其过剩估计值与不足估计值分别由其过剩估计值与不足估计值分别为为19.8g19.8g、16.2g16.2g，则估计值应在则估计值应在16.2g,19.8g16.2g,19.8g之间之间. .D D3.3.求曲线求曲线 与直线与直线x=1x=1，x=2x=2，y=0y=0所围成的平面所围成的平面图形的面积时，把区间图形的面积时，把区间5 5等分，其估计误差不超过等分，其估计误差不超过_._.解析解析 分别以左、右端点的函数值为小矩形的高，得分别以左、右端点的函数值为小矩形的高，得此平面图形面积的不足估计值此平面图形面积的不足估计值s s和过剩估计值和过剩估计值S S如如下：下： 所所以以S-s=0.3.S-s=0.3.0.30.31.1.曲边梯形的定义：曲边梯形的定义：分割区间分割区间过剩估计值过剩估计值不足估计值不足估计值逼近所求值逼近所求值2.2.求面积和路程问题的步骤：求面积和路程问题的步骤：我们把由直线我们把由直线 x = ax = a，x = b (a b)x = b (a b)， y = 0y = 0和曲和曲线线 y = f(x) y = f(x) 所围成的图形叫作曲边梯形所围成的图形叫作曲边梯形. .本节课讲了几个问题？本节课讲了几个问题？