学习必备欢迎下载二次函数综合题 等腰三角形一解答题（共30 小题）1 （ 2014?新余模拟）如图，已知二次函数图象的顶点为（1， 3） ，并经过点C（ 2，0） （1）求该二次函数的解析式；（2）直线 y=3x 与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点 B 的坐标和 AOB 的面积；（3）点 Q 在 x 轴上运动，求出所有AOQ 是等腰三角形的点Q 的坐标2 （2014 秋?怀宁县校级月考）如图，二次函数y= x2+mx+3 的图象与y 轴交于点A，与 x轴的负半轴交于点B，且 AOB 的面积为6（1）求该二次函数的表达式；（2）如果点P 在 x 轴上，且 ABP 是等腰三角形，请直接写出点P的坐标3 （ 2011?淮安）如图已知二次函数y=x2+bx+3 的图象与x 轴的一个交点为A（4，0） ，与 y 轴交于点 B（1）求此二次函数关系式和点B 的坐标；（2）在 x 轴的正半轴上是否存在点P使得 PAB 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载4 （2014?曲靖模拟）如图，已知二次函数y=ax24x+c 的图象与坐标轴交于点A（ 1，0）和点 C（0， 5） （1）求该二次函数的解析式和它与x 轴的另一个交点B 的坐标（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2， 2） ，连接 OP，找出 x 轴上所有点M 的坐标，使得 OPM 是等腰三角形5 （2008 秋?密云县期末）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象分别经过点（0，3） （3，0） （2， 5） ，（1）求这个二次函数的解析式；（2）若这个二次函数的图象与x 轴交于点C、D（C 点在点 D 的左侧），且点 A 是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使 ABC 是等腰三角形，求出点B 的坐标6 （2008?海淀区二模）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象分别经过点（0，3） ， （3，0） ， （2， 5） 求：（1）求这个二次函数的解析式；（2）求这个二次函数的最值；（3）若设这个二次函数图象与x 轴交于点C，D（点 C 在点 D 的左侧），且点 A 是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使 ACB 是等腰三角形，求出点B 的坐标7 （ 2006?松江区二模）如图，已知二次函数y=x2+bx+c （c 0）的图象经过点A（ 2，m）（m0） ，与 y 轴交于点B，ABx 轴，且 3AB=2OB （1）求 m 的值；（2）求二次函数的解析式；（3）如果二次函数的图象与x 轴交于 C、D 两点（点 C 在左恻）问线段 BC 上是否存在点P，使 POC 为等腰三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载8 （ 2010 秋?永新县校级月考）已知二次函数y=（ x1） （x4）的图象与x 轴交于 A、 B两点（ A 在 B 的左边），与 y 轴交于点C（1）求出 A、B、C 三点的坐标；（2）求 ABC 的面积；（3）在 y 轴上是否存在点P，使 P、A、C 能组成以AC 为腰的等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由9 （ 2013?德宏州）如图，已知直线y=x 与抛物线交于 A、B 两点（1）求交点A、B 的坐标；（2）记一次函数y=x 的函数值为y1，二次函数的函数值为y2若 y1 y2，求 x 的取值范围；（3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB 构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于 3 个满足条件的点P 的坐标10 （2014?曲阜市模拟）设二次函数y=ax2+bx+c （a0）的图象与x 轴的两个交点A（x1，0） ， B（x2， 0） ，抛物线的顶点为C，显然 ABC 为等腰三角形（1）当 ABC 为等腰直角三角形时，求b24ac的值；（2）当 ABC 为等边三角形时，求b24ac 的值11 （2015?赤峰）已知二次函数y=ax2+bx3a 经过点 A（ 1，0） 、C（0，3） ，与 x 轴交于另一点 B，抛物线的顶点为D（1）求此二次函数解析式；（2）连接 DC、BC、DB ，求证： BCD 是直角三角形；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得 PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由12 （2013 秋?本溪期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=x2+bx+c 的图象与 x 轴相交于点A（ 4，0） ，与 y 轴相交于点B（0， 4） ，动点 C 是从点 A 出发，向O 点运动，到达0 点时停止运动，过点C 作 ECx 轴，交直线AB 于点 D，交抛物线于点E（1）求二次函数的解析式；（2）连接 OE 交 AB 于 F 点，连接 AE，在动点 C 的运动过程中， 若AOF 的面积是 AEF面积的 2 倍，求点 C 的坐标？（3）在动点C 的运动过程中，DEF 能否为等腰三角形？若能，请直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由13 （2011?临川区模拟）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过三点A（ 1， 0） ，B（3，0） ，C（0， 3） ，它的顶点为M，且正比例函数y=kx 的图象与二次函数的图象相交于 D、E 两点（1）求该二次函数的解析式和顶点M 的坐标；（2）若点 E 的坐标是（ 2， 3） ，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x 的取值范围；（3）试探究：抛物线的对称轴上是否存在点P，使 PAC 为等腰三角形？如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载14 （2006?孝感）如图，已知二次函数y=x2+bx+c 的图象与x 轴只有一个公共点M，与 y轴的交点为A，过点 A 的直线 y=x+c 与 x 轴交于点N，与这个二次函数的图象交于点B（1）求点 A、B 的坐标（用含b、 c 的式子表示） ；（2）当 SBMN=4SAMN时，求二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点P为 x 轴上的一个动点，那么是否存在这样的点P，使得以 P、A、M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出符合条件的所有点P的坐标； 若不存在，请说明理由15 （2011?东营模拟）如图，已知二次函数y=x2+bx+c（c0）的图象与x 轴交于 A、B两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点C，且 OB=OC=3 ，顶点为M（1）求二次函数的解析式；（2）点 P为线段 BM 上的一个动点，过点P作 x 轴的垂线PQ，垂足为Q，若 OQ=m，四边形 ACPQ 的面积为S，求 S 关于 m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段BM 上是否存在点N，使 NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载16 （2010?徐州）如图，已知二次函数y=的图象与 y 轴交于点A，与 x 轴交于 B、C 两点，其对称轴与x 轴交于点D，连接 AC （1）点 A 的坐标为，点 C 的坐标为；（2）线段 AC 上是否存在点E，使得 EDC 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 P为 x 轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得 PAC 的面积为S，则 S 取何值时，相应的点P有且只有2 个？17 （2011?呼伦贝尔）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x 轴相交于点A、C，与 y轴相交于点B，A（） ，且 AOB BOC（1）求 C 点坐标、 ABC 的度数及二次函数y=ax2+bx+3 的关系式；（2）在线段AC 上是否存在点M（m，0） 使得以线段BM 为直径的圆与边BC 交于 P 点（与点 B 不同），且以点 P、 C、O 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由18 （2013?廊坊一模）如图，二次函数y=ax2+x+c 的图象与x 轴交于点A、B 两点，且A点坐标为（ 2，0） ，与 y 轴交于点 C（0，3） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载（1）求出这个二次函数的解析式；（2）直接写出点B 的坐标为；（3）在 x 轴是否存在一点P，使ACP 是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由；（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC 的面积最大？若存在，请求出 Q 点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由19 （2012?景宁县模拟） 已知二次函数y=x2+4x+5 图象交 x 轴于点 A、B，交 y 轴于点 C，点 D 是该函数图象上一点，且点D 的横坐标为4，连 BD ，点 P是 AB 上一动点（不与点A重合） ，过 P 作 PQAB 交射线 AD 于点 Q，以 PQ 为一边在 PQ 的右侧作正方形PQMN 设点 P 的坐标为（ t，0） （1）求点 B，C， D 的坐标及射线AD 的解析式；（2）在 AB 上是否存在点P，使 OCM 为等腰三角形？若存在，求正方形PQMN 的边长；若不存在，请说明理由；（3）设正方形PQMN 与ABD 重叠部分面积为s，求 s 与 t 的函数关系式20 （2013?徐州）如图，二次函数y=x2+bx的图象与 x 轴交于点A（ 3，0）和点 B，以 AB 为边在 x 轴上方作正方形ABCD ，点 P 是 x 轴上一动点，连接DP，过点 P 作 DP 的垂线与 y 轴交于点E（1）请直接写出点D 的坐标：；（2）当点 P 在线段 AO （点 P 不与 A、O 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值，求出这个最大值；（3） 是否存在这样的点P， 使PED 是等腰三角形？若存在，请求出点 P的坐标及此时 PED与正方形 ABCD 重叠部分的面积；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载21 （2013?鞍山一模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a 0）的图象与x 轴交与 A，B 两点，与 y 轴交与点C，已知点A 的坐标为（ 2，0） ，sinABC=，点 D 是抛物线的顶点，直线 DC 交 x 轴于点 E（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；（2）在直线 CD 上是否存在一点Q，使以 B，C，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 P是直线 y=2x4 上一点，过点P 作直线 PM 垂直于直线CD，垂足为M，若MPO=75 ，求出点P 的坐标22 （2013?菏泽）如图，三角形ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，点A、 C 分别是一次函数 y=x+3 的图象与y 轴、 x 轴的交点，点B 在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形（1）试求 b，c 的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点 P 从 A 到 D，同时动点Q 从 C 到 A 都以每秒1个单位的速度运动，问： 当 P 运动到何处时，有PQAC ？ 当 P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载23 （2014?北塘区二模）已知二次函数y=mx25mx+1（m 为常数， m 0） ，设该函数图象与 y 轴交于点 A，图象上一点B 与点 A 关于该函数图象的对称轴对称（1）求点 A、B 的坐标；（2）点 O 为坐标原点，点M 为函数图象的对称轴上一动点，求当M 运动到何处时 MAO的周长最小；（3）若该函数图象上存在点P 与点 A、B 构成一个等腰三角形，且PAB 的面积为10，求m 的值24 （2015?黔东南州）如图，已知二次函数y1=x2+x+c 的图象与x 轴的一个交点为A（4，0） ，与 y 轴的交点为B，过 A、B 的直线为y2=kx+b （1）求二次函数y1的解析式及点B 的坐标；（2）由图象写出满足y1 y2的自变量x 的取值范围；（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得 ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 的坐标；若不存在，说明理由25 （2015?曲靖一模）如图，直线y=x+2 与 x 轴交于点B，与 y 轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C 和点 A（ 1，0） （1）求 B、C 两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3） 若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D， 则在抛物线的对称轴上是否存在点P， 使PCD是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载（4）点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点F，当点 E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标26 （2014?怀集县二模）如图，ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，点A、C 分别是一次函数 y=x+3 的图象与y 轴、 x 轴的交点，点B 在二次函数y=x2+bx+c 的图象上，且该二次函数图象上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形（1）试求点B、D 的坐标，并求出该二次函数的解析式；（2）P、Q 分别是线段AD 、CA 上的动点，点P 从 A 开始向 D 运动，同时点Q 从 C 开始向 A 运动，它们运动的速度都是每秒1 个单位，求： 当 P 运动到何处时，APQ 是直角三角形？ 当 P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？27 （2015?铜仁市）如图，关于x 的二次函数y=x2+bx+c 的图象与x 轴交于点A（1，0）和点 B 与 y 轴交于点C（0， 3） ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D（1）求二次函数的表达式；（2）在 y 轴上是否存在一点P，使 PBC 为等腰三角形？若存在请求出点P 的坐标）；（3）有一个点M 从点 A 出发，以每秒1 个单位的速度在AB 上向点 B 运动，另一个点N从 点 D 与点 M 同时出发，以每秒2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点 B 时，点 M、N 同时停止运动，问点M、N 运动到何处时， MNB 面积最大，试求出最大面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载28 （2015?丹东）如图，已知二次函数y=ax2+x+c 的图象与y 轴交于点A（0， 4） ，与 x轴交于点 B、C，点 C 坐标为（ 8，0） ，连接 AB、AC （1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c 的表达式；（2）判断 ABC 的形状，并说明理由；（3）若点 N 在 x 轴上运动，当以点A、N、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点 N 的坐标；（4）若点 N 在线段 BC 上运动（不与点B、C 重合） ，过点 N 作 NMAC ，交 AB 于点 M，当AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标29 （2013?无锡）如图，直线x=4 与 x 轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE 于点 A，交直线x=4 于点 B，过 B 且平行于x 轴的直线与抛物线交于点C，直线 OC交直线 AB 于 D，且 AD ： BD=1： 3（1）求点 A 的坐标；（2）若 OBC 是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载30 （2014?遵义）如图，二次函数y=x2+bx+c 的图象与x 轴交于 A（3，0） ，B（ 1，0） ，与 y 轴交于点 C若点 P，Q 同时从 A 点出发，都以每秒1 个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点C 的坐标；（2）当点 P运动到 B 点时，点 Q 停止运动，这时，在x 轴上是否存在点E，使得以 A，E，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E 点坐标；若不存在，请说明理由（3）当 P，Q 运动到 t 秒时， APQ 沿 PQ 翻折，点A 恰好落在抛物线上D 点处，请判定此时四边形APDQ 的形状，并求出D 点坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载二次函数综合题 等腰三角形参考答案一解答题（共30 小题）1； 2； 3； 4； 5； 6；7； 8； 9； 10；11；12；13；14；15；16 （0，4） ；（8，0） ；17；18 （6，0） ；19；20 （-3，4） ；21；22；23；24；25；26；27；28；29；30；精选学习资料 - 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