*三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算法 第九章 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X 型区域 则若D为Y 型区域则机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算当被积函数均非负均非负在D上变号变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .由于机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算说明说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , 为计算方便,可选择积分序选择积分序, 必要时还可以交换积分序交换积分序.则有(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算例例1. 计算其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. 解法解法1. 将D看作X型区域, 则解法解法2. 将D看作Y型区域, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算例例2. 计算其中D 是抛物线所围成的闭区域. 解解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算例例3. 计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :先对 x 积分不行, 说明说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算例例4. 交换下列积分顺序解解: 积分域由两部分组成:视为Y型区域 , 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算例例5. 计算其中D 由所围成.解解: 令(如图所示)显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算对应有二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下, 用同心圆 r =常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线 =常数, 分划区域D 为机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算即机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算设则特别特别, 对机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算若 f 1 则可求得D 的面积思考思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答答: 问 的变化范围是什么?(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算例例6. 计算其中解解: 在极坐标系下原式的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角由于故坐标计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算注注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上, 当D 为 R2 时,利用例6的结果, 得故式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算例例7. 求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设由对称性可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算定积分换元法*三、二重积分换元法三、二重积分换元法 满足一阶导数连续;雅可比行列式(3) 变换则定理定理:变换:是一一对应的 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算证证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩形, 其顶点为通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边形, 其对应顶点为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算同理得当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式: 例如例如, 直角坐标转化为极坐标时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算例例8. 计算其中D 是 x 轴 y 轴和直线所围成的闭域. 解解: 令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算例例9. 计算由所围成的闭区域 D 的面积 S .解解: 令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算例例10. 试计算椭球体解解: 由对称性令则D 的原象为的体积V.机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算内容小结内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为则 若积分区域为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算则(2) 一般换元公式且则极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为在变换下机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算(3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线, 后扫积分域 )充分利用对称性应用换元公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算思考与练习思考与练习1. 设且求提示提示: 交换积分顺序后, x , y互换机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算2. 交换积分顺序提示提示: 积分域如图机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算作业作业P95 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11 (2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19( 1); *20 (2) 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算解：解：原式备用题备用题1. 给定改变积分的次序.机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算2. 计算其中D 为由圆所围成的及直线解：解：平面闭区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学(同济大学)下第92二重积分的计算