课时课题：第二章第 5 节用三种方式表示二次函数课型：新授课授课时间：2012 年 12 月 21 日星期五第 1 节课教学目标：1能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题2能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究3经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和特点，培养学生的观察、类比能力4通过用二次函数解决实际问题，让学生体验数学与生活的联系，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识教学重点与难点：重点： 能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究难点： 能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题教法与学法指导：教法： 以“学生发展为本”，整个教学过程主要采用启发探究式教学方法，体现“分析”“研究”“总结”的学习环节，并以多媒体为教辅手段引导学生主动参与学习，指导学生学会学习方法，培养学生积极探索的精神学法：通过创设问题情境，营造学习氛围， 组织学生讨论， 让学生尝试探索中不断发现问题，以激发学生的求知欲，并在寻求解决问题的方法尝试的过程中获得自信心和成功感，在完成知识目标的同时，也完成情感目标的教育教学准备：教师准备 : 多媒体课件，学生准备 : 课前预习，刻度尺、三角板教学过程 :一、创设情境，引入新课（多媒体展示“龟兔赛跑”故事图片及问题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页师：“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是() 生：选 B（齐声）师：回答的很好，通过这个故事我们可以看出小兔子骄傲自大，以为自己跑得快，不去努力， 结果导致自己的失败小乌龟自强不息，踏踏实实， 最终取得了成功平时的学习中，有的同学稍微取得一点成绩，就沾沾自喜，觉得自己比别人强，学习也不如以前认真，后来考试成绩不理想， 才知道自己不应该太骄傲因此同学们永远不要骄傲，要想取得最终成功，必须要通过自己的不懈努力师：B 答案主要用函数图像法来刻画龟兔赛跑的过程情况，除了用图像法来表述函数关系外，还有什么方法可用？生1：解析式法和列表法师：解析式法、 列表法和图像法是我们学常用的表述函数关系的方法这节课我们不仅要掌握三种表示方式，而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用哪一种方式更好?（教师板书课题：2.5 用三种方式表示二次函数）设计意图： 师生共同回顾经典故事，引发学生的学习热情，培养了他们的学习兴趣，主动参与思考，为知识迁移做准备并不失时机的进行德育渗透二、探究学习，获取新知试一试：（多媒体出示 ）长方形的周长为20 cm，设它的一边长为xcm，面积为ycm2y 随 x 变化而变化的规律是什么 ?你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗? （1）用函数表达式表示：y= （2）用表格表示：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-xy 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页（3）用图象表示：学生先自主利用教材第61 页上的表格及座标系进行探究，完成后在小组内交流、展示教师巡回指导，帮助学习有困难的学生生2：一边长为x cm，则另一边长为(10-x)cm，所以面积为：y x(10-x)=- x2+10x生3：表中第二行从左至右依次填9、 8、7、6、5、 4、3、2、1；第三行从左至右依次填 9、16、21、24、25、 24、21、16、9生4：图象如图 （利用实物投影仪展示右图）师：通过生3的画图可以看出函数图像在第几像限？生（齐答）：函数的图象在第一象限师：可是我们知道开口向下的抛物线可以到达第四象限和第三象限，这是什么原因呢? 生5：因为自变量的取值只取到了1 至 9，而这些点正好都在第一象限，所以图象只能画在第一象限师：大家同意这种说法吗? （部分同学同意，部分同学不同意，让不同意的同学说出理由）生6：不同意不是因为列表中自变量的取值的原因，而是由于实际情况函数值y 是面积，而面积是不能为负值的如果脱离了实际问题，单纯地画函数y=-x2+10x 的图象，就不是在第一象限作图象了师：非常棒设计意图： 通过学生的学习活动，让学生亲自体会到函数表达式，表格和图象这三种方法表示二次函数各自的优缺点议一议：（多媒体出示 ）(1)在上述问题中，自变量x 的取值范围是什么? (2)当 x 取何值 时，长方形的面积最大?它的最大面积是多少?你是怎样得到的? (3)请你描述一下y 随 x 的变化而变化的情况教师提醒学生：自变量x 的取值范围即是使函数有意义的自变量的取值范围先让学生思考，然后再在小组内互相交流、讨论和展示教师及时给予评价鼓励生7： （1）因为 x 是边长，所以x 应取正数，即x0，又另一边长(10-x)也应大于0，即10-x0，所以 x10，这两个条件应该同时满足，所以x 的取值范围是0x10生8： （2）当 x 取何值时， 长方形的面积最大，就是求自变量取何值时，函数有最大值，所以要把二次函数y=-x2+10x 化成顶点式当x2ba时，函数y 有最大值244acbay=-x2+10x=-x2+10x=-(x2-10x) =-(x2-10x+25-25) =-(x-5)2+25当 x=5 时，长方形的面积最大，最大面积是25 cm2可以通过观察图象得知也可以代入顶点坐标公式中求得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页当 x102( 1)=5 时， y最大=24( 1)0104( 1)=25(cm2)生9：当 x 由 1 至 5 逐渐增大时， y 的值逐渐增大，当x 由 5 至 10 逐渐增大时， y 的值逐渐减小师：回答得棒极了 这是一个实际问题，面积 y 为边长 x 的二次函数， 求当 x 取何值时，长方形的面积最大实际上就是求二次函数的最值，描述y 随 x 的变化而变化的情况，就是以对称轴为分界线，一边为y 随 x 的增大而减小，另一边是y 随 x 的增大而增大设计意图： 通过学生对三个问题的解答，让学生体会到函数表达式，表格和图象这三种表示方式各自的特点，为归纳总结的得出做一个适当的准备给予学生自由讨论的时间，让学生在学习活动中通过相互间的合作与交流，积极发表自己的看法和意见，相互启发， 培养学生细心观察，进一步发展学生合作交流的能力和归纳总结的能力做一做：（多媒体出示 ）两个数相差2，设其中较大的一个数为 x， 那么它们的积y 是如何随x 的变化而变化的?你能分别用函数表达式、表格和图象表示这种变化吗? 1用函数表达式表示：y2用表格表示：x y 3用图象表示：4根据以上三种表示方式问答下列问题：（1）自变量x的取值范围是什么? （2）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么? （3）如何描述y 随 x 的变化而变化的情况? （4）你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的? 先让学生独立思考，借助教材第62 页的表格及座标系完成2、3 两题，然后再在小组内互相交流、讨论和展示教师巡回指导，及时给予评价鼓励生10： （问题 1）因为较大的一个数为x，那么较小的数为(x-2)，则积 y=x(x-2)x2-2x 所以函数的表达式为yx2-2xx -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页生11： （问题2） 用 表格表示：生12： （问题 3）图象如右图 （利用实物投影仪展示右图）生13： （问题 4）(1)因为数可以是正数、负数和零，所以x 的取值范围为任何实数生14： （问题 4）(2)因为 y=x2-2x=(x2-2x+1)-1(x-1)2-1所以图象的对称轴为x1，顶点坐标为 (1-1)生15： （问题 4）(3)因为开口向上，对称轴x=1，所以在对称轴左侧即x1 时， y 的值随 x 值的增大而增大生16： （问题 4）(4)通过观察图象可知设计意图： 通过实例， 进一步帮助学生明晰二次函数的三种表示方法，为后面的讨论做铺垫这个问题与前一问题相比，会留给学生更多的时间用于自我探索和练习议一议：（多媒体出示 ）二次函数的三种表示方式有什么特点?它们之间有什么联系?与同伴进行交流（学生独立思考后在小组内互相交流、讨论和展示 只要学生的想法有一定的道理，教师应予以肯定与鼓励）生17：表格可以直观地找到对应点，图象就是把一对一对的对应点连接起来的，表达式反映出函数与自变量之间的关系生18：它们之间的联系是：根据表达式可以求得一对一对的对应点，用光滑的曲线把对应点连接起来即为图象y 15 8 3 0 -1 0 3 8 15 函数的表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；函数的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；函数的表达式可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系这三种表示方式各自有各自的优点，它们服务于不同的需要它们的联系是三种方式可以互化，由表达式可转化为表格和图象表示，每一种方式都可转化为另两种方式表示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页师：很好下面我们来更系统地学习它们各自的特点及联系（多媒体出示 ）设计意图： 鼓励学生发表自己的看法，引导学生向正确的思维方向前进，归纳总结出最后的结论三、巩固练习，应用提升基础题：1 （1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗?第 6 个图形中应该有多少个小圆圈?为什么 ? （2）完成下表：边上的小圆圈数1 2 3 4 5 小圆圈的总数（3）如果用n 表示等边三角形边上的小圆圈数，m 表示这个三角形中小圆圈的总数，那么 m 和 n 的关系是什么 ? 提高题：2一次函数y=2x 3，与二次函数y=ax2bxc 的图象交于A（m，5）和 B（3，n）两点，且当x=3 时，抛物线取得最值为9（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大（4）当 x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？设计意图： 基础题面向全体学生，能力题面向中等以上学生达到培优效果让不同的学生有不同的发展四、自我反思，纳入系统师：本节课我们经历了用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会了三种方式之间的联系与各自不同的特点（多媒体出示 ）表示优点不足表达式变量间关系简捷明了，便于分析计算. 需要通过计算, 才能得到所需结果精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页表格能直接得到某些具体的对应值不能反映函数整体的变化情况图象直观表示了变量间变化过程和变化趋势. 函数值只能是近似值关系表达式是基础,是重点 ,表格是画图象的关键,图象是在表达式和表格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达. 根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行了研究如最值问题和y随 x 的变化而变化等问题同学们在解决问题的过程中还存在哪些疑问和困惑？（2 分钟时间小组同学互相交流，说说学习感受及解题技巧.）生：设计意图： 回顾总结同化新知识，形成新认知结构，促进知识系统化五、课堂检测，当堂达标A 层：1 （1）你知道下面每一个图形中各有多少个圆圈吗？为什么? （2）完成下表：边上的小圆圈数1 2 3 4 5 小圆圈的总数（3）如果用n 表示六边形边上的小圆圈数，m 表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m 和 n 的关系是什么 ? B 层：2抛物线y=ax2bxc（ c0）如图所示，回答：（1）这个二次函数的表达式是；（2）当 x= 时， y=3；（3）根据图象回答：当x时， y0六、布置作业，落实目标必做题： 教材第 63 页，习题 2.6 第 2 题选做题： 教材第 63 页，习题 2.6 第 3 题板书设计：2.5 用三种方式表示二次函数试一试：议一议：做一做：练习：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页教学反思：通过学习活动应给予学生展示自己聪明才智的机会，在此过程中有利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言， 以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度，让所有的学生都相信我能行不足：课堂的容量较大，时间有点紧张 同时在选题上可以选一道应用型函数题以加深对三种表示函数方法的理解教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作讨论更具实效性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页