学习必备欢迎下载二次函数压轴题解题思路一、基本知识1 会求解析式2.会利用函数性质和图像3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。一些方法：如相似、三角函数、解方程。一些转换：如轴对称、平移、旋转。二、典型例题：（一）求解析式（2014 兰州）把抛物线y=2x2先向右平移1 个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）Ay=2（x+1）2+2 By=2（x+1）22 Cy=2（x 1）2+2 Dy=2（x1）22 （二）二次函数的相关应用第一类：面积问题1. （2014?兰州） 如图，抛物线 y=x2+mx+n 与 x 轴交于 A、 B 两点， 与 y 轴交于点C，抛物线的对称轴交x 轴于点 D，已知 A （ 1，0） ，C （0，2） （1）求抛物线的表达式；（3）点 E时线段 BC上的一个动点，过点E作 x 轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形 CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标k | B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页学习必备欢迎下载| 1 . c |O |m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页学习必备欢迎下载第二类： .构造问题（ 1）构造线段2. （2013?莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（ 3，0） 、B（1，0） 、C（ 2， 1） ，交 y 轴于点 M （1）求抛物线的表达式；（2） D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直 x 轴于点 E ，交线段AM于点 F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；解： （1）把 A（ 3，0） 、B（1，0） 、C（ 2，1）代入得，解得。抛物线的表达式为。（2）将 x=0 代入抛物线表达式，得y=1 点 M 的坐标为（ 0，1） 。设直线 MA 的表达式为y=kx+b，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页学习必备欢迎下载则，解得。直线 MA 的表达式为。设点 D 的坐标为，则点 F 的坐标为。当时， DF 的最大值为。此时，即点 D 的坐标为。（3）存在点 P，使得以点P、A、N 为顶点的三角形与 MAO 相似。设 P，在 Rt MAO 中， AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P 不可能在第一象限。设点 P 在第二象限时，点P 不可能在直线MN 上，只能 PN=3NM。，即，解得 m= 3 或 m= 8。此时 3m 0，此时满足条件的点不存在。当点 P 在第三象限时，点 P 不可能在直线MN 上，只能 PN=3NM。，即，解得 m= 3（舍去）或m= 8。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页学习必备欢迎下载当 m= 8 时，此时点 P 的坐标为（ 8， 15） 。当点 P 在第四象限时，若 AN=3PN时，则，即 m2+m 6=0 。解得 m= 3（舍去）或m=2 。当 m=2时，此时点 P 的坐标为（ 2，） 。若 PN=3NA，则，即 m27m 30=0 。解得 m= 3（舍去）或m=10 。当 m=10时，此时点 P 的坐标为（ 10 ， 39） 。综上所述，满足条件的点P 的坐标为（ 8， 15 ） 、 （2，） 、 （10，39 ） 。（ 2）构造相似三角形3. （2013?莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（ 3， 0） 、B（1，0） 、C（ 2，1） ，交 y 轴于点 M （1）求抛物线的表达式； （抛物线的表达式为y= ） （3）抛物线上是否存在一点P，作 PN垂直 x 轴于点 N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与 MAO 相似？若存精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页学习必备欢迎下载在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由（2013?莱芜）解：由题意可知解得抛物线的表达式为y=（2）将 x=0 代入抛物线表达式，得y=1点 M的坐标为（ 0，1） 设直线 MA的表达式为y=kx+b，则解得直线 MA的表达式为y=x+1设点 D的坐标为（） ，则点 F的坐标为（） DF=当时， DF的最大值为此时，即点 D的坐标为（） （3）存在点 P，使得以点P、A、N 为顶点的三角形与 MAO相似设 P（m ，） 在 RtMAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限设点P 在第二象限时，点P不可能在直线 MN上，只能PN=3NM ，即 m2+11m+24=0 解得 m= 3（舍去）或m= 8又3m 0，故此时满足条件的点不存在当点 P 在第三象限时，点P不可能在直线MN上，只能PN=3NM ，即m2+11m+24=0 解得 m= 3 或 m= 8此时点P的坐标为（ 8， 15） 当点 P 在第四象限时， 若 AN=3PN 时，则3，即 m2+m 6=0解得 m= 3 （舍去） 或 m=2 当m=2时，此时点 P的坐标为（ 2，） 若 PN=3NA ，则，即 m27m30=0解得 m= 3（舍去）或m=10 ，此时点 P的坐标为（ 10， 39） 综上所述，满足条件的点P的坐标为（ 8， 15） 、 （2，） 、 （10，39） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页学习必备欢迎下载（ 3）构造平行四边形4.（ 2014?莱芜）如图，过A（1，0） 、B（3，0）作 x 轴的垂线，分别交直线y=4x 于 C、D 两点抛物线y=ax2+bx+c 经过 O、C、D 三点 （1）求抛物线的表达式；（2）点 M 为直线 OD 上的一个动点，过M 作 x 轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以 A、C、 M、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；（2014?莱芜）解：（1）由题意，可得C（1，3） ，D（3，1） 抛物线过原点，设抛物线的解析式为： y=ax2+bx，解得，抛物线的表达式为：y=x2+x（2）存在设直线 OD 解析式为y=kx，将 D（3，1）代入求得k=，直线 OD 解析式为 y=x设点 M 的横坐标为x，则 M（x，x） ，N（x，x2+x） ，MN=|yMyN|=|x（x2+x）|=|x24x|由题意，可知 MN AC ，因为以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3 |x24x|=3若x24x=3，整理得： 4x212x9=0，解得： x=或 x=；若x24x=3，整理得： 4x212x+9=0，解得： x=存在满足条件的点M，点 M 的横坐标为：或或（ 4）构造等腰三角形5. （2013?泰安）如图，抛物线y=12x2+bx+c 与 y 轴交于点C（0，-4 ） ，与 x 轴交于点 A，B，且 B点的坐标为（ 2，0） （1）求该抛物线的解析式（2）若点 P 是 AB上的一动点，过点P 作 PE AC，交 BC于 E，连接 CP ，求 PCE面积的最大值 （3）若点 D为 OA的中点，点M是线段 AC上一点，且OMD 为等腰三角形，求M点的坐标解：（ 1）把点 C（0， 4）， B（2，0）分别代入中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页学习必备欢迎下载得，解得。该抛物线的解析式为。（ 2）令 y=0 ，即，解得 x1= 4，x2=2 。 A（ 4，0）， S ABC=AB?OC=12 。设 P 点坐标为（ x，0），则 PB=2 x。 PE AC， BPE= BAC ，BEP= BCA 。 PBE ABC 。，即，化简得：。当 x= 1 时， S PCE的最大值为3。（ 3） OMD为等腰三角形，可能有三种情形：当 DM=DO时，如图所示， DO=DM=DA=2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页学习必备欢迎下载 OAC= AMD=45。ADM=90。 M 点的坐标为（2， 2）。当 MD=MO时，如图所示，过点 M 作 MN OD 于点 N ，则点 N 为 OD 的中点， DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又 AMN为等腰直角三角形，MN=AN=3。 M 点的坐标为（1， 3）。当 OD=OM时， OAC 为等腰直角三角形，点 O 到 AC 的距离为4=，即 AC 上的点与点O 之间的最小距离为。2，OD=OM的情况不存在。综上所述，点M 的坐标为（ 2， 2）或（ 1， 3）。（ 1）利用待定系数法求出抛物线的解析式。（ 2）首先求出 PCE 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值。（ 3） OMD为等腰三角形，分DM=DO， MD=MO， OD=OM三种情况讨论即可。（ 5）构造直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页学习必备欢迎下载6.（2014?四川内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c 经过 A（ 3.0） 、C（0，4） ，点 B 在抛物线上， CBx 轴，且 AB 平分 CAO （1）求抛物线的解析式；（2）线段 AB 上有一动点P，过点 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段 PQ 的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使 ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由（2014?四川内江，第28 题， 12 分）解：（1）如图 1， A（ 3，0） ，C（0，4） ， OA=3 ，OC=4 AOC=90 ， AC=5 BCAO ，AB 平分 CAO， CBA= BAO= CAB BC=AC BC=5 BCAO ，BC=5，OC=4，点 B 的坐标为（ 5，4） A（ 3.0） 、C（0，4） 、B（5，4）在抛物线 y=ax2+bx+c上，解得：抛物线的解析式为y=x2+x+4（2）如图 2，设直线 AB 的解析式为y=mx+n ， A（ 3.0） 、B（5，4）在直线 AB 上，解得：直线 AB 的解析式为y=x+设点 P 的横坐标为t（ 3 t 5） ，则点 Q 的横坐标也为tyP=t+，yQ=t2+t+4 PQ=yQyP=t2+t+4（ t+）=t2+t+4t=t2+=（ t22t15）= （t1）216=（ t1）2+ 0， 3 1 5，当 t=1 时， PQ 取到最大值，最大值为线段PQ 的最大值为（3）当 BAM=90 时，如图 3 所示抛物线的对称轴为x= xH=xG=xM= yG= += GH= GHA= GAM=90 ， MAH=90 GAH= AGM AHG= MHA=90 ， MAH= AGM ， AHG MHA =解： MH=11 点 M 的坐标为（， 11） 当ABM=90 时，如图 4 所示 BDG=90 ，BD=5=，DG=4 =， BG=同理： AG= AGH= MGB ，AHG= MBG=90 ， AGH MGB=解得： MG= MH=MG+GH=+=9点 M 的坐标为（， 9） 综上所述：符合要求的点M 的坐标为（， 9）和（， 11） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页学习必备欢迎下载7.（常德）已知如图，以RtABC 的 AC 边为直径作 O 交斜边 AB 于点 E，连接 EO 并延长交 BC 的延长线于点D，点 F 为 BC 的中点，连接EF （1）求证： EF 是 O 的切线； （2）若 O 的半径为 3， EAC60，求 AD 的长。证明： （1）连接 FO 易证 OFAB ACO 的直径 CEAE OFAB OFCE OF 所在直线垂直平分CE FCFE，OEOC FEC FCE， 0EC 0CE RtABC ACB 90即： 0CE FCE90 0EC FEC90 即： FEO90 FE 为 O 的切线（2） O 的半径为 3 AOCOEO3 EAC60， OAOE EOA60 COD EOA60在 RtOCD 中， COD60， OC3 CD33 在 RtACD 中， ACD90， CD33，AC6 AD37 8.（呼和浩特） )如图， O 是 ABC 的外接圆， P 是 O 外的一点， AM 是 O 的直径， PAC=ABC (1) 求证： PA 是 O 的切线；(2) 连接 PB 与 AC 交于点 D，与 O 交于点 E，F 为 BD 上的一点，若M 为弧 BC 的中点，且 DCF=P，求证：BD/PD = FD/ED = CD/AD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页学习必备欢迎下载 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页