名师总结优秀知识点圆【知识梳理】1. 圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念圆：平面上到定点的距离 等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径（2）圆的有关性质圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以 CD 为端点的弧记为“” ，读作“圆弧 CD”或“弧 CD” 。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。 ) 弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角； 90”的圆周角所对的弦是直径等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 弦心距 :从圆心到弦的距离叫做弦心距. （3）对圆的定义的理解 ：圆是一条封闭曲线，不是圆面；圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长） 2. 与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页名师总结优秀知识点（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角3. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为 r，点到圆心的距离为d，则点在圆上 d=r; 点在圆内 dr; 点在圆外 dr. 其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。4. 确定圆的条件 : 1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径 ,圆心决定圆的位置 ,半径决定圆的大小 . 经过一点可以作无数个圆 ,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上 . 2. 经过三点作圆要分两种情况: (1) 经过同一直线上的三点不能作圆. (2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆 . 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆 ,这个三角形叫做圆的内接三角形. (2)三角形的外心 : 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质 :三角形外心到三顶点的距离相等. 5. 直线与圆的位置关系1. 直线和圆相交、相切相离的定义: (1)相交: 直线与圆有两个公共点时 ,叫做直线和圆相交 ,这时直线叫做圆的割线. (2)相切: 直线和圆有惟一公共点时 ,叫做直线和圆相切 ,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点 . (3)相离: 直线和圆没有公共点时 ,叫做直线和圆相离 . 2. 直线与圆的位置关系的数量特征: 设O 的半径为 r，圆心 O 到直线的距离为 d；dr 直线 L 和O 相交. d=r 直线 L 和O 相切. dr 直线 L 和O 相离. 3. 切线的总判定定理 : 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. 4. 切线的性质定理 : 圆的切线垂直于过切点的半径. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页名师总结优秀知识点推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论 : 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个 . 垂直于切线 ; 过切点 ; 过圆心 .5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心 , 这个三角形叫做圆的外切三角形. 6. 三角形内心的性质 : (1)三角形的内心到三边的距离相等. (2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角. 由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点 ,该线平分三角形的这个内角 . 6. 圆和圆的位置关系 . 1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆 )这五种位置关系的定义 . (1)外离: 两个圆没有公共点 ,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离 . (2)外切: 两个圆有惟一的公共点 ,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时 , 叫做这两个圆外切 .这个惟一的公共点叫做切点. (3)相交: 两个圆有两个公共点 ,此时叫做这个两个圆相交 . (4)内切: 两个圆有惟一的公共点 ,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时 ,叫做这两个圆内切 .这个惟一的公共点叫做切点. (5)内含: 两个圆没有公共点 , 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含 .两圆同心是两圆内的一个特例. 2. 两圆位置关系的性质与判定: (1)两圆外离 dR+r (2)两圆外切 d=R+r (3)两圆相交 R-rdR+r (R r) (4)两圆内切 d=R-r (Rr) (5)两圆内含 dr) 3. 相切两圆的性质 : 如果两个圆相切 ,那么切点一定在连心线上. 4. 相交两圆的性质 : 相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 7. 圆内接四边形若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆. 圆内接四边形的特征 : 圆内接四边形的对角互补; 圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角. 8. 弧长及扇形的面积1. 圆周长公式 : 圆周长 C=2R (R 表示圆的半径 ) 2. 弧长公式 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页名师总结优秀知识点图 5 OBCACBAOCBAO弧长180Rnl(R 表示圆的半径 , n 表示弧所对的圆心角的度数) 3. 扇形定义 : 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 4. 弓形定义 : 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5. 圆的面积公式 . 圆的面积2RS(R 表示圆的半径 ) 6. 扇形的面积公式 : 扇形的面积3602RnS扇形(R 表示圆的半径 , n 表示弧所对的圆心角的度数) 弓形的面积公式 :(如图 5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形SSS(2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形SSS(3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形SRS221精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页名师总结优秀知识点OCBAABCDO例题解析【例题 1】如图 1， O是ABC的外接圆， AB 是直径，若80BOC，则A等于（）A60oB50oC40oD30o图 1 图 2 图 3 【例题 2】如图 2，以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C，若大圆半径为10cm，小圆半径为 6cm，则弦 AB 的长为cm【例题 3】如图 3，ABC 内接于 O ，AB=BC ，ABC=120 ，AD为O的直径，AD 6，那么 BD _【例题 4】如图 4 已知 O的两条弦 AC ，BD相交于点 E，A=70o，c=50o，那么 sin AEB的值为（） A.21B.33C.22D.23图 4 【例题 5】如图 5，半圆的直径10AB，点 C 在半圆上，6BC（1）求弦AC的长；（2）若 P 为 AB 的中点， PEAB交 AC 于点 E，求 PE的长P B C E A （图 8）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页名师总结优秀知识点CBAOB C A O C A B S1 S2 三、课堂练习1、如图 6，在 O 中， ABC=40 ，则 AOC度图 6 图 7 图 8 2、如图 7，AB 是O 的直径， AC 是弦，若 ACO = 32 ，则 COB 的度数等于3、已知 O 的直径 AB=8cm ，C 为O 上的一点，BAC=30o，则 BC=_cm. 4、如图 8，已知在 RtABC中，RtACB，4AB，分别以 AC ， BC 为直径作半圆，面积分别记为1S，2S，则1S+2S的值等于5、如图 9，O 的半径 OA10cm，P 为 AB 上一动点，则点 P 到圆心 O 的最短距离为 _cm 。图 9 6、如图 10，在O 中， ACB=BDC=60 ，AC=cm32，（1）求 BAC 的度数；（2）求 O 的周长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页名师总结优秀知识点7、已知：如图 11，O 的直径 AB 与弦 CD 相交于，弧 BC弧 BD，O 的切线 BF 与弦 AD 的延长线相交于点F(1)求证:CD BF(2)连结 BC,若O 的半径为 4,cosBCD=34, 求线段 AD 、CD的长8、如图 12，在ABC 中，AB=BC ，以 AB 为直径的 O与 AC 交于点 D，过D 作 DFBC，交 AB 的延长线于 E，垂足为 F(1)求证：直线 DE 是 O 的切线；(2)当 AB=5，AC=8 时，求 cosE的值图 12 四、经典考题解析 1. 如图 13，在 O中，已知 A CB CDB 60，AC 3，则 ABC的周长是_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页名师总结优秀知识点图 13 图 14 图 15 2. “圆材埋壁”是我国古代九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”用数学语言可表述为如图 14，CD为O的直径，弦 AB CD于点 E，CE 1 寸，AB=10寸，则直径 CD的长为（） A 125 寸 B 13 寸 C 25寸 D 26 寸3. 如图 15，已知 AB是半圆 O的直径，弦 AD和 BC相交于点 P，那么CDAB等于（） A sin BPD BcosBPD C tan BPD D cot BPD 4. O的半径是 5，AB 、CD为O的两条弦，且 AB CD ，AB=6 ，CD=8 ，求 AB 与 CD之间的距离5. 如图 16，在 M中，弧 AB所对的圆心角为1200，已知圆的半径为2cm ，并建立如图所示的直角坐标系，点C是 y 轴与弧 AB的交点。（1）求圆心 M的坐标；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页名师总结优秀知识点（ 2）若点 D是弦 AB所对优弧上一动点，求四边形ACBD 的最大面积图 16 五、课后训练 1. 如图 17，在 O中，弦 AB=1.8cm ，圆周角 ACB=30，则 O的直径等于_cm 图 17 图 18 图 19 2. 如图 18，C是O上一点， O是圆心若 C=35 ，则 AOB 的度数为（） A 35B70 C105D1503. 如图 19，O内接四边形 ABCD 中，AB=CD ，则图中和 1 相等的角有 _ 4. 在半径为 1 的圆中，弦 AB 、AC分别是3和2，则 BAC的度数为多少？5. 如图 20，弦 AB的长等于 O的半径，点 C在O上，则C的度数是 _. 图 20 图21 图22 CDABOMYX精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页名师总结优秀知识点6. 如图 21，四边形 ABCD内接于 O ，若BOD=100 ，则DAB 的度数为（） A 50 B80 C100 D 1307. 如图 22，四边形 ABCD 为O的内接四边形， 点 E在 CD的延长线上， 如果BOD=120 ，那么 BCE 等于（） A 30 B60 C 90 D1208. 如图， O的直径 AB=10 ，DE AB于点 H，AH=2 （1）求 DE的长；（2）延长 ED到 P，过 P作O的切线，切点为 C ，若 PC=225，求 PD的长九年级数学圆练习题一、填空题： （21 分）1、如图，在 O中，弦 AB OC ，115AOC，则BOC =_ 2、如图，在 O中，AB是直径，15C，则BAD =_ 3、如图，点 O是ABC 的外心，已知40OAB，则ACB=_ OABCDOABCDBOACA B O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页名师总结优秀知识点（1 题图）（2 题图）（3 题图）（4 题图）4、如图， AB是O的直径，弧 BC= 弧 BD ，25A，则BOD（5 题图）（6 题图）（7 题图）5、如图， O的直径为 8，弦 CD垂直平分半径 OA ，则弦 CD 6、已知 O的半径为 2cm ，弦 AB 2cm ，P点为弦 AB上一动点，则线段OP的范围是7、如图，在 O中， B=50 o， C=20 o，则 BOC 的=_ 二、解答题（ 70 分）1、如图，AB是O的直径 . 若 OD AC ，的大小有什么关系？为什么？2、已知：如图，在 O中，弦 AB=CD. 求证：弧 AC= 弧 BD ； AOC= BOD DBCAOBOCACAOBDDBOACOABPBD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页名师总结优秀知识点3、如图，已知： O中，AB 、CB为弦，OC交 AB于 D，求证： （1）ODB OBD ，（2）ODB OBC ；4、已知如图，AB 、AC为弦， OM AB于 M ，ON AC于 N ，MN 是ABC的中位线吗？5、已知如图， AB 、CD是O的直径， DF 、BE是弦，且 DF=BE ，求证： D= B 6、已知如图， AB是O的直径，C是O上的一点， CD AB于 D ，CE平分 DCO ，交O于 E，求证：弧 AE= 弧 EB ABCDOOABCDFENMOABOABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页名师总结优秀知识点7、如图，已知 ABC ，AC =3，BC =4，C=90，以点 C为圆心作 C，半径为 r . (1) 当 r 取什么值时，点 A、B在C外. (2) 当 r 在什么范围时，点A在C内，点 B在C外. (2) 当 r 在什么范围时， C与线段 AB相切。ABC三、计算下列各题：（40 分）1、如图，已知 AB为O的直径， AC为弦， OD BC交 AC于 D，OD = cm2，求 BC的长；2、如图，在 RtABC中， C90，AC 3，BC 4，以点 C为圆心， CA为半径的圆与 AB 、BC分别交于点 D、E，求 AB 、AD的长3、如图， O的直径 AB和弦 CD相交于点 E，且 AE=1cm ，EB=5cm ，DEB=60 ，求 CD的长。ABCDEABCDOEOABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页名师总结优秀知识点4、如图，在直径为100 mm 的半圆铁片上切去一块高为20 mm 的弓形铁片，求弓形的弦 AB的长. AB5、如图所示，已知矩形ABCD 的边ABcmADcm34，。（1）以点 A为圆心， 4cm为半径作 A，则点 B、C 、D与A的位置关系如何？（2）若以点 A为圆心作 A，使 B、C 、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则 A的半径 r 的取值范围是什么？四、作图题：（9 分）如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片, 试找出它的圆心, 并将它还原成一个圆要求：、尺规作图；、保留作图痕迹（可不写作法）A C D B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页名师总结优秀知识点五、探究拓展与应用（ 10 分）1、在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图(1) 所示：AOC 是ABO 的外角AOC= ABO+ BAO又OA=OB OAB= OBA AOC=2 ABO 即ABC=21AOC 如果 ABC的两边都不经过圆心，如图(2) 、 （3） ，那么上述结论是否成立？请你说明理由。(3)(2)(1)ABCOABCOOCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页