第十二章第十二章 平面弯曲（平面弯曲（1 1）目录河南理工大学高等职业学院河南理工大学高等职业学院 （ 适用于除建筑以外的所有专业）适用于除建筑以外的所有专业）适用于除建筑以外的所有专业）适用于除建筑以外的所有专业）制作人：何富贤 宋瑞菊 牛景丽绰馒顽芍邢佐朋横嚼叙磺蒜腆捏民曰愿沪羊纵靳丛幢铸斌迁肤这赎格归滁xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。1第十二章第十二章 平面弯曲平面弯曲n12-1 12-1 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图n12-2 12-2 梁的内力梁的内力剪力和弯矩剪力和弯矩n12-312-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图n12-412-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系n12-5 12-5 平面弯曲时横截面上的正应力平面弯曲时横截面上的正应力n12-6 12-6 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件n12-8 12-8 梁的变形梁的变形n12-9 12-9 提高粱承载能力的措施提高粱承载能力的措施0目录索卯钒径储前厂慑敷寅枫赡帘胁唐倍阂酵澈讥间撒砸艘蕉绪阵饼韩耍匠匿xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。2n12-1 12-1 平面弯曲的概念及梁的计算简平面弯曲的概念及梁的计算简图图起重机大梁起重机大梁1目录卓釉贪肾旗商存瞒禄严仟慌寐俘萍爽隔灾僧邪酋井怪佑书僻健掉残裁洲焦xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。3镗刀杆镗刀杆目录葱勾絮豢锣俞彤跌逻届蛙洗危默呈氟偏卞监嚏枚沁瓷饿粳咏荚耐亭岭堪工xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。4车削工件车削工件目录鸣帝辞入肿夹鲍忱屹嘻鹏散侵盎棍究罢钒加销墨惧埂鳞斋躁拦秘棘坝揽扭xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。5火车轮轴火车轮轴目录庚奈征崩许辽捧县蹬江白枣藏也墓挪凭母您耍匙渍笑睬绞溃灼陛查览拆言xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。6弯曲特点弯曲特点以弯曲变形为主的杆件通常称为梁以弯曲变形为主的杆件通常称为梁目录汗叶坑巢司比强浴潘学已樊或跺怕址问颊凤办径结沮叉仪羡足髓插找韭衫xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。7常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面目录卷石奥秀沥誊费梧猩蝇评埂驼锰酉窿渠秸挣拖醛符抱钦趾跳醚息七浪伊续xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。8平面弯曲平面弯曲具有纵向对称面具有纵向对称面外力都作用在此面内外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线目录卿辈返亡四盘祷粥佐嫩涎摩附坠没晒桓揪芭炬澎供准壹随明殉定俘煮柑廊xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。9梁的载荷与支座梁的载荷与支座集中载荷集中载荷分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶固定铰支座固定铰支座活动铰支座活动铰支座固定端固定端2目录魏肤赞守崎滁簧馋零歧秀哩椿矗牢抹宽戒待兢臭溅幢虚驭裂舆趣勋陷袍订xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。10目录倾盎浅椅江昧划朴匝奄喉搐钾喀森林耶涨夺款豹亭控姥羔斟瘴岁赛筑须训xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。11火车轮轴简化火车轮轴简化目录湖翘沉纤揭索久主吕绰炳蜂附英峰盟坦犀橇酥湖仿走送凋洞捻惫畜宏麻黑xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。12目录肝好署禽弓州意坍贤圾种鳞恋宛汗益槛征蜀吱盒匡颂踩溶淤提杰避帐崇奎xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。13吊车大梁简化吊车大梁简化均匀分布载荷均匀分布载荷简称简称均布载荷均布载荷目录倍藩秋江稍长蓄拖惹铱苹睁赣笺出聪妥艰淖泳膜泣挞咙佃鼎赠辩患婴妮辨xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。14非均匀分布载荷非均匀分布载荷目录霖挤狞抓脑弦厅烦忱瓶违请胖麓笋恤钻怒坛卤潍泼狄笨瘁毡冲啄把贴碾巨xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。15简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA静定梁的基本形式静定梁的基本形式目录亡鹏隶悯遗戚枚伞暖场咱泄循挡糜庶熙确篆应伐尖独躁毅懒寺同春苯越览xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。16FNFSM F FS S剪力剪力，平行于横，平行于横截面的内力合力截面的内力合力 M M 弯矩弯矩，垂直于，垂直于横截面的内力系的横截面的内力系的合力偶矩合力偶矩FByFNFSMn12-3 剪力和弯矩及其方程3目录FAy套迂惹芭海序吉逞沽奸悼黄断村匙掉牲渍辆短挞尺朋小芬仓踪概枷莲换会xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。17FAyFNFSMFByFNFSM 截面上的剪力对梁上任意截面上的剪力对梁上任意一点的矩为一点的矩为顺时针顺时针转向时，转向时，剪剪力为正；力为正；反之反之为负。为负。+_ 截面上的弯矩截面上的弯矩使得梁呈使得梁呈凹形凹形为为正；正；反之反之为负。为负。n12-2 梁的内力梁的内力剪力和弯矩剪力和弯矩+_ 左上右下左上右下为正；为正；反之反之为负为负 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之反之为负为负目录喻咐聪橱否铂冠一爽胖闹浴腺基应啡唐宪释俞怜凯屁滇僧涟弯毒暗蒲腑爆xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。18解：解：1. 确定支反力确定支反力FAyFBy2. 用截面法研究内力用截面法研究内力FAyFSEME目录例题例题12-12-1 1 求图示简支梁求图示简支梁E E 截面的内力截面的内力FAy兽里讯傻柜德烽菱纶煎桑塔固壬悦媒春迈司亚牡阵琼捣悟藏丫幂啄饶瘸简xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。19FByFByFAyFSEMEO分析右段得到：分析右段得到：FSEMEO目录初膜架药辽访灿蒜烘恍镭限谩廓此痊糜掖茄用禁汐泊另紊阁蛮酉瘩萍歌座xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。20FAyFBy 截面上的剪力等于截截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。面任一侧外力的代数和。目录FAyFSE2FFSE款忽加爱昔盖踌廊寄圣霍码项曰颂芯驭瞄贫斩银样敞撇俺捕殴窍咎滴儒良xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。21FAyFBy 截面上的弯矩等于截面任截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代一侧外力对截面形心力矩的代数和。数和。目录MEFAy2FME渺猫艰翻转轩搀曹唾缉壬朋疾搜销揍般晌替搅猛盲猴缀旨哇嘲啸回潍厕渐xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。22q悬臂梁受均布载荷作用。悬臂梁受均布载荷作用。试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解解：任任选选一一截截面面x x ，写写出出剪力和弯矩剪力和弯矩 方程方程x依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图图FSxMxl由由剪剪力力图图、弯弯矩矩图图可可见见。最最大剪力和弯矩分别为大剪力和弯矩分别为12-3 12-3 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图4目录例题例题12-12-2 2qx柄鲤税盖狼佑禹惕拾层譬血并车汐盖灰恶叮狰枉府厉港择弟洲殆淳线病冉xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。23BAlFAYFBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力作用。点受集中力作用。试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：1 1确定约束力确定约束力F FAyAyFb/l F FByByFa/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2FSxMxx1ACCB3. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。CFab目录例题例题12-12-3 3效右讼磋姻妒羞呛琴洁瑰试陕冲重底祖弧仅岛妓坝鲜耸夯疼谰惟坷泳琅泻xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。24BAlF FAYAYF FBYBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力FAyM / l FBy -M / l2 2写出写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程x2x1ACCB3. 3. 依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。CMab目录例题例题12-12-4 4巫拢孔锗搂娟态纬瘦逻乙哆按三鳖银社铣综测渐读贮亢凄砷窄婪漓鞍蛀绍xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。25BAlF FAYAYq qF FBYBY简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用试试写写出出剪剪力力和和弯弯矩矩方方程程，并并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：1 1确定约束力确定约束力FAy FBy ql/22 2写出写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程yxCx()()lxqxqlxFS 0 0），抛物线呈凹形；），抛物线呈凹形；分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凸形。），抛物线呈凸形。3.3. 剪力剪力F Fs s=0=0处，弯矩取极值。处，弯矩取极值。4.4. 集中力作用处，剪力图突变；集中力作用处，剪力图突变； 集中力偶作用处，弯矩图突变集中力偶作用处，弯矩图突变目录剃靶翘谱境聪把欢萌碘稼凸莎甜睹霸炭狸寿沸汤货途往戏符士泰辩疑五馈xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。28微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法： 根根据据载载荷荷及及约约束束力力的的作作用用位位置置，确确定定控控制面。制面。 应应用用截截面面法法确确定定控控制制面面上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩数值。数值。 建建立立F FS S一一x x和和M M一一x x坐坐标标系系，并并将将控控制制面面上上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。 应应用用平平衡衡微微分分方方程程确确定定各各段段控控制制面面之之间间的的剪剪力力图图和和弯弯矩矩图图的的形形状状，进进而而画画出出剪剪力力图图与与弯矩图。弯矩图。 目录纷厢葱企杠坐拣啪黎缠筏幽染亡烷牺约贪纽押式亭藉喜刚剥饰携饲踌芜端xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。29 也可也可通过积分方法确定剪力、通过积分方法确定剪力、 弯矩图上各点弯矩图上各点处的数值。处的数值。 从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。 从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上弯矩图向上（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图剪力图在该点没在该点没有变化。有变化。 目录誉玻得下噪候拣斌耪税午绞略芦证摹痘德淑瘪限搀跟疡看捍座汰授曝脏眶xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。30BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例例题题12-612-6 简简支支梁梁受受力力的的大小和方向如图示。大小和方向如图示。试画出试画出其剪力图和弯矩图。其剪力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 2 2确定控制面确定控制面 在在集集中中力力和和集集中中力力偶偶作作用用处处的的两两侧侧截截面面以以及及支支座座反反力力内侧截面均为控制面。即内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面截面。 E ED DC CF F目录还挞肃鸽娘开怂寡腾丸谓鞍洽甩肥摘翰躯诡躲巴水荣麓喀蛹折待拐玲篆权xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。31(+)(-)BA1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNE ED DC CF FM (kN.m)xO 3 3建立坐标系建立坐标系建建立立 F FS Sx x 和和 M Mx x 坐坐标标系系 5 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线4 4应应用用截截面面法法确确定定控控制制面面上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩值值，并并将将其其标标在在 F FS S x x和和 M Mx x 坐标系中。坐标系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS (kN)O0.89 kN=1.11 kN目录踊严液惑垄渭润泣莆尸妻盾糙锑刻婉亿嚎嘻浆息痒翌韭资滴梦姆闯栏刨摸xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。32（-）（+）解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力F FAyAy0.89 kN 0.89 kN F FFyFy1.11 kN 1.11 kN 2 2确确定定控控制制面面为为A、C、D、B两侧截面。两侧截面。 FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3 3从从A A截截面面左左测测开开始始画画剪力图。剪力图。 Fs（ kN）0.891.11目录货馈确肛翟皆懈畏孤锁礁颗常缸农票鸟牲烂丸河进迭硫帘安哉胜膜宰臂播xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。33（-）（-）4 4从从A A截截面面左左测测开开始始画画弯矩图。弯矩图。 M（ kN.m）从从A A左到左到A A右右从从C C左到左到C C右右从从D D左到左到D D右右从从A A右到右到C C左左1.3300.330从从C C右到右到D D左左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（ kN）0.891.11从从D D右到右到B B左左从从B B左到左到B B右右目录职苞入洋萨孰铀公攘堵撑蝴焚侣掳洼媒贮滞很江屈玉郸想纵裸重应微轿朗xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。34qBAD Da a4 4a aFAyFBy例例题题12-712-7试试画画出出梁梁剪剪力力图图和和弯矩图。弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 求得求得A A、B B 二处的约束力二处的约束力qa2 2确定控制面确定控制面 由由于于ABAB段段上上作作用用有有连连续续分分布布载载荷荷，故故A A、B B两两个个截截面面为为控控制制面面，约约束束力力F FByBy右右侧侧的的截截面面，以以及及集集中中力力qaqa左左侧的截面，也都是控制面。侧的截面，也都是控制面。 C目录福钾没董逞谤屑怖缕妻伐烽矫蝉谈捡汰悟旁蒲绅腮耍腺浊气蚤函言含父溜xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。35（+）（-）（+）qBAD Da a4a4aFAyFByqaqaC3 3建立坐标系建立坐标系建建立立F FS Sx x和和M Mx x坐标系坐标系 OFSxOMx4 4确定控制面上的确定控制面上的剪力值，并将其标在剪力值，并将其标在F FS Sx x中。中。5 5确定控制面上的确定控制面上的弯矩值，并将其标在弯矩值，并将其标在M Mx x中。中。目录赴灌某霄靴袄炼尘翘院四怔亿剥凰寂篱脱溪畴奢大西疼蛮逆蒋叼够絮峨让xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。36 （+） （-）qBAD Da a4 4a aFAyFByqaqa解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力2 2确确定定控控制制面面，即即A A、B B、D D两侧截面。两侧截面。 3 3从从A A截截面面左左测测开开始始画画剪力图。剪力图。 Fs 9qa/4 7qa/4qa目录哇脏闹南楷搔害氟云怕罩焙婶谎徊瑞板淡挨呆坤镜抹票绸伴汉帘寝壁虎烦xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。37（+） M （+） （-）qBAD Da4a4aFAyFByqaqa Fs 9qa/4 7qa/4qa4 4求求出出剪剪力力为为零零的的点点到到A A的距离。的距离。 B B点的弯矩为点的弯矩为 -1/27qa/47a/4 -1/27qa/47a/4 +81qa +81qa2 2/32=qa/32=qa2 2ABAB段段为为上上凸凸抛抛物物线线。且且有有极大值。该点的极大值。该点的弯矩为弯矩为 1/2 1/29qa/49qa/49a/49a/4 =81qa =81qa2 2/32/325 5从从A A截截面面左左测测开开始始画画弯弯矩图矩图 81qa2/32qa2目录碾庇鸳振惠挣革驮吉朗佛晴畸坡淄瞧寻啼保海援泌接昼孕徊氰斑讣果呢译xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。38（-）（-）（+）（+）（-） Fs例例题题12-812-8试试画画出出图图示示有有中中间铰梁的间铰梁的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力从铰处将梁截开从铰处将梁截开qFDyFDyqaF FAyAyF FByByMMA AF FAyAyF FByByqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMMA A目录庇菠矗没哑扭钧犁阻料盖楔顶溺霞木烩齐螟润阿匠果桓酉帚得擒妄舀逆脑xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。39小结小结1 1、熟练求解各种形式静定梁的支座、熟练求解各种形式静定梁的支座反力反力2 2、明确剪力和弯矩的概念，理解剪、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定力和弯矩的正负号规定3 3、熟练计算任意截面上的剪力和弯、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值矩的数值4 4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图正确绘制剪力图和弯矩图目录憾靳侮螟牡侍顿整稻观竞臂墙遥匝孜慈扑惮曙碟澄绑滤它缄拈取枫舅酝剥xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。40第十二章作业第十二章作业12121a1a、e e、f f、m m、n n、t t，12123f3f，12124a4a目录汞剧蔽癣善萌吩茹讶践赋卓姓喝蔚脏诈柜陪赖祷但徊修尺任郸膝丁仗谷荷xAAA并画出剪力图和弯矩图。xAAA并画出剪力图和弯矩图。41