7.6 7.6 余角和补角余角和补角 角的分类角的分类锐角锐角直角直角钝角钝角平角平角周角周角比较两个角的大小有两种方法比较两个角的大小有两种方法:度量法和叠合法度量法和叠合法合作合作合作合作学习学习学习学习请你观察下图请你观察下图,1+2,1+2与与RtAOBRtAOB相等吗相等吗? ?你是怎样判断的你是怎样判断的? ?12AOB请你再观察下图请你再观察下图, + , + 与平角与平角AOBAOB相相等吗等吗? ?你是怎样判断的你是怎样判断的? ?AOB12 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两 个角个角互为余角互为余角，简称，简称互余互余。也可以说其中一个。也可以说其中一个 角是另一个角的角是另一个角的余角余角(complementary angle)。21180如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角角互为补角互为补角，简称，简称互补互补，也可以说其中一个角，也可以说其中一个角是另一个角的是另一个角的补角补角( (supplementary anglesupplementary angle) )。若若1 + 2 =180 , 则则 .( ) 若若1和和2互补互补,则则 .( )若若3 + 4 =90 ,则则 .( )若若3和和4互余互余,则则 .( )341211和和22互补互补互补的意义互补的意义1 + 2 =1801 + 2 =180互补的意义互补的意义33和和44互余互余互余的意义互余的意义3 + 4 =903 + 4 =90互余的意义互余的意义互余、互补的数量关系互余、互补的数量关系:1.1.如图如图 1+2=901+2=90， 11与与22互为互为 ； 11的余角是的余角是 ； 11是是 的余角。的余角。余角余角 2 2122.(1)702.(1)70角的余角是角的余角是 , ,它的补角是它的补角是 ； (2)(2)如果一个角的余角是如果一个角的余角是505012 12 ， 那么这个角的补角是那么这个角的补角是 ； (3)(3)如果一个角为如果一个角为x x度（度（0 0x x9090），）， 那么它的余角是那么它的余角是 度，它的补角是度，它的补角是 度。度。20110140 12 (90x)(180x) AOCAOC与与COB COB 互余互余 又又 BODBOD与与COB COB 互余互余 即即AOC和和BOD都是都是COBCOB的余角的余角 AOC =BOD . 画出画出 COB的余角的余角COBAD AOC = BOD同角的余角相等同角的余角相等( (一一) )如图，如图，11与与22互余，互余，33与与44互余，互余， 如果如果1=31=3，那么，那么22与与44相等吗相等吗? ?为什么为什么? ?1234解：相等。解：相等。 1 1 与与22互互 余余 1 +21 +2 = = 9090 即即2 = 902 = 9011 3 3与与44互互 余余 3+4 = 903+4 = 90 即即4 = 904 = 9033 1 =3 1 =3 90 901 = 901 = 903 3 2 =4 2 =4等角的余角相等等角的余角相等同角或等角的余角相等同角或等角的余角相等同角的余角相等同角的余角相等探讨探讨12 如果如果11与与22互补互补, , 11与与33互补互补, , 则则22 33 如果如果11与与22互补互补, , 33与与44互补互补, , 1=3, 1=3, 则则22 442143同角或等角的补角相等同角或等角的补角相等3 33探讨探讨(二二)同角的补角相等同角的补角相等等角的补角相等等角的补角相等 如图如图,已知，已知，AOC= DOB=Rt,指出指出 图中还有哪些角相等图中还有哪些角相等, ,并说明理由。并说明理由。DOCAB解：解： AOB =CODAOB =COD理由理由: : AOC=DOB=RtAOC=DOB=Rt AOB+COB=Rt AOB+COB=Rt COD+COB=Rt COD+COB=Rt 即即AOB 和和COD都是都是COBCOB的余角的余角 AOB =COD (同角的余角相等同角的余角相等) 已知一个角的补角是这个角的已知一个角的补角是这个角的 余角的余角的4 4倍，求这个角的度数倍，求这个角的度数 解：设这个角为解：设这个角为x x度，根据题意，得度，根据题意，得180180 x = 4 x = 4（9090x x） 解得解得 x=60x=60答：这个角为答：这个角为6060. .用代数的用代数的思想、方思想、方程的知识程的知识能解决几能解决几何问题何问题 。请你判断：请你判断： （1）一个角的余角一定是锐角）一个角的余角一定是锐角( ) （2）一个角的补角一定是钝角）一个角的补角一定是钝角( ) （3）如果如果1+2+3=901+2+3=90，那么，那么 11、22、33互为余角互为余角( ) （4）如果一个角的余角和补角都存在）如果一个角的余角和补角都存在, 那么这个角的余角一定比这个角那么这个角的余角一定比这个角 的补角小的补角小( )课本课本170作业题作业题4要求要求: : 设这个角为设这个角为x x度度, ,表示出这个角的补角表示出这个角的补角和余角和余角; ; 列出方程列出方程; ; 解出方程解出方程; ; 检验作答检验作答. .已知一个角的补角是它的余已知一个角的补角是它的余角的角的2.5倍倍,求这个角的度数。求这个角的度数。探究活动：方位角探究活动：方位角如图如图1 1射线射线OAOA表示北偏西表示北偏西（一般不说成（一般不说成“西偏北西偏北）方向，方向，请指出上图请指出上图2中中公园、医院、法院公园、医院、法院各在各在学校学校的什么方向？的什么方向？在日常生活中我们什么时候会用到这样的表示方法？在日常生活中我们什么时候会用到这样的表示方法？图图 1北北西西公园公园医院医院学校学校754530法院法院南南东东图图 2图中，医院位于学校的北偏东图中，医院位于学校的北偏东30方向，方向，那么学校位于医院的（那么学校位于医院的（ ）方向）方向.北北西西公园公园医院医院学校学校754530法院法院南南东东图图 2A.北偏东60 B.北偏东30C.南偏西60 D.南偏西30 D你能用类似的方法画图表示下列各方向吗？你能用类似的方法画图表示下列各方向吗？表示表示（1），（2）方向的两条方向的两条射线所成的角是多少度？射线所成的角是多少度？表示表示（2），（3）方向的两条方向的两条射线所成的角是多少度？射线所成的角是多少度？（1）北偏东北偏东40；（2）南偏西南偏西50（一般不说成（一般不说成“西偏南西偏南40”）；）；（3）西南方向（南偏西西南方向（南偏西45）.西南北东504540（3）（2）（1）互为余角互为余角:如果如果 和是一个和是一个 ，那么这两个角，那么这两个角叫做叫做 余角，其中一个角是余角，其中一个角是 的余角。的余角。互为补角互为补角:如果如果 的和是一个的和是一个 ，那么这两个角，那么这两个角叫做叫做 补角，其中一个角是补角，其中一个角是 的补角。的补角。互余的性质互余的性质:互补的性质互补的性质: 两个锐角两个锐角直角直角互为互为另一个角另一个角两个角两个角 互为互为另一个角另一个角平角平角同角或等角的余角相等。同角或等角的余角相等。同角或等角的补角相等。同角或等角的补角相等。 概念和性质概念和性质互为余角互为余角互为补角互为补角对应图形对应图形数量关系数量关系性性 质质1+ 2 = 90 1+ 2 = 180 同角或等角的同角或等角的余角相等。余角相等。同角或等角的同角或等角的补角相等。补角相等。1212回味 无穷