精品资料欢迎下载二次函数与四边形一二次函数与四边形的形状例 1.(浙江义乌市 ) 如图，抛物线223yxx与 x 轴交 A、B两点（A点在 B点左侧），直线 l 与抛物线交于 A、C两点，其中 C点的横坐标为 2（1）求 A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P是线段 AC 上的一个动点，过P点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；（3）点 G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由练习 1.(河南省实验区 ) 23 如图，对称轴为直线72x的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点 E（ x， y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF 的面积S与 x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当平行四边形 OEAF 的面积为 24时， 请判断平行四边形 OEAF是否为菱形？是否存在点 E，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由A 72xB(0,4) A(6,0) E F xyO 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页精品资料欢迎下载练习 2. （四川省德阳市）25. 如图， 已知与 x轴交于点(10)A ，和(5 0)B，的抛物线1l的顶点为(3 4)C， 抛物线2l与1l关于 x轴对称， 顶点为C（1）求抛物线2l的函数关系式；（2）已知原点O，定点(0 4)D，2l上的点 P 与1l上的点 P 始终关于x 轴对称，则当点 P 运动到何处时，以点DOPP， ， ，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l上是否存在点 M ，使ABM是以 AB为斜边且一个角为30的直角三角形？若存， 求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由练习 3.（山西卷）如图，已知抛物线1C与坐标轴的交点依次是( 4 0)A，( 2 0)B，(0 8)E，（1）求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C的解析式；（2）设抛物线1C的顶点为 M ，抛物线2C与 x轴分别交于CD，两点 （点 C 在点 D 的左侧）， 顶点为 N ， 四边形 MDNA的面积为 S若点 A，点 D 同时以每秒 1 个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点 N 同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、 向上运动，直到点 A与点 D 重合为止求出四边形MDNA 的面积 S与运动时间 t之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当 t为何值时，四边形 MDNA 的面积 S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时 t的值；若不能，请说明理由二、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）543211 2 3 4 5 5 4 3 2 1 AEBC1O2l1lxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页精品资料欢迎下载1. 【08 湖北十堰】 已知抛物线baxaxy22与x轴的一个交点为 A(-1,0)，与 y 轴的正半轴交于点C直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点 B 的坐标；当点 C 在以 AB 为直径的 P 上时，求抛物线的解析式；坐标平面内是否存在点M ,使得以点 M 和中抛物线上的三点A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在 ,请求出点 M 的坐标；若不存在 ,请说明理由2. 【09 浙江湖州】已知抛物线22yxxa（0a）与y轴相交于点A，顶点为M.直线12yxa分别与x轴，y轴相交于BC，两点，并且与直线AM相交于点N. (1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则MN，；(2)如图，将NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；(3)在抛物线22yxxa（0a）上是否存在一点P，使得以PACN， ， ，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由. 二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形第（ 2）题x y B C O D A M N Nx y B C O A M N 备用图（第 2 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页精品资料欢迎下载确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）1【09 福建莆田】 已知，如图抛物线23(0)yaxaxc a与 y 轴交于 C点，与 x 轴交于 A、B两点，A点在 B点左侧。点 B的坐标为 (1，0),OC=30B (1)求抛物线的解析式； (2)若点 D是线段 AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值： (3)若点 E在 x 轴上，点 P在抛物线上。 是否存在以 A、C、E、P为顶点且以 AC为一边的平行四边形 ?若存在，求点 P的坐标；若不存在，请说明理由2.【09 福建南平】 已知抛物线：xxy22121（1）求抛物线1y的顶点坐标 . （2）将抛物线1y向右平移 2 个单位，再向上平移1 个单位，得到抛物线2y，求抛物线2y的解析式 . （3）如下图，抛物线2y的顶点为 P，x轴上有一动点 M，在1y、2y这两条抛物线上是否存在点N，使 O（原点）、P、M、N 四点构成以 OP 为一边的平行四边形，若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由 .两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形得边或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页精品资料欢迎下载对角线1【07 浙江义乌】如图，抛物线223yxx与 x 轴交 A、B两点（ A点在 B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（1）求 A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过P 点作 y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段 PE长度的最大值；（3）点 G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由2【09辽宁抚顺】已知： 如图所示，关于x的抛物线2(0)yaxxc a与x轴交于点( 2 0)A，、 点( 6 0 )B，与 y 轴交于点 C（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D ，使四边形 ABDC 为等腰梯形，写出点 D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（3）在（2）中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点M ，抛物线上有一动点 P ，x轴上有一动点Q是否存在以AMPQ、 、为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由1 如图，抛物线y12x2 x32与 x 轴相交于A、B 两点，顶点为P（1）求点 A、 B 的坐标；B A O C y x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页精品资料欢迎下载（2）在抛物线是否存在点E，使 ABP 的面积等于ABE 的面积，若存在，求出符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点F 的坐标2如图，抛物线与x轴交于A（1x，0）、B（2x， 0）两点，且12xx，与y轴交于点0, 4C，其中12xx，是方程24120xx的两个根。（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MNBC，交AC于点N，连接CM，当CMN的面积最大时，求点M的坐标；（3）点4,Dk在（ 1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F， 使以ADEF、 、 、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由。3 如图，抛物线23yaxbx与x轴交于AB，两点，与y轴交于 C 点，且经过点(23 )a，对称轴是直线1x，顶点是M（1）求抛物线对应的函数表达式；（ 2）经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点PACN， ， ，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线3yx与 y 轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与BD，重合），经过A BE， ，三点的圆交直线BC于点F，试判断AEF的形状，并说明理由；（4）当E是直线3yx上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）5 已知二次函数2yaxbxc（0a）的图象经过点(10)A ，(2 0)B，(02)C，直线xm（2m）与x轴交于点D（1）求二次函数的解析式；y x O B M N C A 28 题图O B x y A M C 1 3（第 3 题图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页精品资料欢迎下载（2）在直线xm（2m）上有一点E（点E在第四象限），使得EDB、为顶点的三角形与以AOC、 、为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（ 2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由二二次函数与四边形的面积例 1. （资阳市） 25. 如图 10，已知抛物线 P：y=ax2+bx+c(a0) 与 x 轴交于 A、B两点( 点 A在 x 轴的正半轴上 ) ，与 y 轴交于点 C ，矩形 DEFG 的一条边 DE在线段 AB上，顶点 F、G分别在线段 BC 、AC上，抛物线 P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x -3 -2 1 2 y -52-4 -520 (1) 求 A、B、C三点的坐标；(2) 若点 D的坐标为 (m，0) ，矩形 DEFG 的面积为 S，求 S与 m的函数关系，并指出m的取值范围；(3) 当矩形 DEFG 的面积 S取最大值时，连接 DF并延长至点 M ，使 FM=k DF ，若点 M不在抛物线 P上，求 k 的取值范围. 练习 1.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点 H的坐标为（ 8，0），点 N的坐标为（ 6，4）（1）画出直角梯形 OMNH 绕点 O旋转 180的图形 OABC ，并写出顶点 A，B，C的坐标（点 M的对应点为 A， 点 N的对应点为 B， 点 H的对应点为 C ）；（2）求出过 A，B，C三点的抛物线的表达式；（3）截取 CE =OF =AG =m ，且 E，F，G分别在线段 CO ，OA ，AB上，求四边形 BEFG 的面积 S与 m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积 S是否存在最小值 ?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（ 3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由图 10 y x O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页精品资料欢迎下载练习 3.（吉林课改卷）如图，正方形ABCD 的边长为 2cm，在对称中心 O处有一钉子动点 P ，Q同时从点 A出发，点 P 沿 ABC 方向以每秒 2cm的速度运动，到点 C 停止，点Q沿 AD 方向以每秒 1cm的速度运动， 到点 D 停止 P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2cmy（1）当 01x 时，求 y 与 x之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；（3）当12x时，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ的变化范围；（4）当 02x时，请在给出的直角坐标系中画出y 与 x之间的函数图象练习 4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l1：y=x2-4 的图象与 x 轴相交于 A、C两点，B 是抛物线 l1上的动点 (B 不与 A、C 重合)，抛物线 l2与 l1关于 x 轴对称，以 AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为 D. (1) 求 l2的解析式；(2) 求证：点 D 一定在 l2上；(3) ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值. 三二次函数与四边形的动态探究例 1.(荆门市 )28. 如图 1，在平面直角坐标系中， 有一张矩形纸片 OABC，已知 O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点 P 是 OA 边上的动点 (与点 O、A 不重合 )现将 PAB 沿 PB 翻折，得到 PDB；再在 OC 边上选取适当的点 E，将 POE 沿 PE 翻折，得到 PFE，并使直线 PD、PF 重合(1)设 P(x，0)，E(0，y)，求 y 关于 x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图 2，若翻折后点 D 落在 BC 边上，求过点 P、B、E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q， 使PEQ 是以 PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标B C P O D Q A B P C O D Q A y321O12x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页精品资料欢迎下载例 2.（20XX年沈阳市第 26题）、已知抛物线 yax2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，线段OB、OC 的长（OBOC）是方程 x210x160 的两个根，且抛物线的对称轴是直线x2（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接 AC、BC，若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点A、点 B 不重合），过点 E 作 EFAC 交 BC 于点 F，连接 CE，设 AE的长为 m，CEF 的面积为 S，求 S与 m之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；（4）在（ 3）的基础上试说明 S是否存在最大值，若存在，请求出 S的最大值，并求出此时点 E 的坐标，判断此时 BCE 的形状；若不存在，请说明理由例 3.(湖南省郴州 ) 27如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，将矩形 ABCD 沿对角线 A 平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G 始终在同一条直线上），当点 E 与 C 重时停止移动平移中EF 与 BC 交于点 N，GH 与 BC 的延长线交于点 M，EH 与DC 交于点 P，FG 与 DC 的延长线交于点Q设 S 表示矩形 PCMH 的面积， S 表示矩形 NFQC 的面积（1） S与 S 相等吗？请说明理由（2）设 AEx，写出 S和 x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时 S有最大值，最大值是多少？（3）如图 11，连结 BE，当 AE 为何值时，ABE是等腰三角形练习 1.（07年河池市） 如图 12， 四边形 OABC 为直角梯形， A（4，0），B（3，4），C（0，4） 点M从 O出发以每秒 2 个单位长度的速度向A运动；点 N 从B同时出发，以每秒1 个单位长度的速度向 C 运动其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动 过点 N 作 NP 垂直x轴于点P， 连结 AC 交 NP 于 Q，图 2 OCABxyDPEF图 1 FEPDyxBACOxNMQPHGFEDCBA图 11 QPNMHGFEDCBA图 10 图 12 yxPQBCNMOA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页精品资料欢迎下载连结 MQ（1）点（填 M 或 N）能到达终点；（2）求 AQM 的面积 S与运动时间 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围，当 t 为何值时， S的值最大；（3）是否存在点 M，使得 AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由练习 2.(江西省 ) 25实验与探究（1）在图 1，2，3 中，给出平行四边形ABCD的顶点 ABD， ，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C的坐标，它们分别是(5 2)，；（2）在图 4 中，给出平行四边形ABCD 的顶点 ABD， ，的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（ C点坐标用含abcdef， ， ， ， ，的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图 1，2，3，4 的观察和顶点 C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A abB cdC mnD ef，（如图 4）时，则四个顶点的横坐标acme， ，之间的等量关系为；纵坐标bdnf， ， ，之间的等量关系为（不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)yxcxc和三个点15192222GccScc，(20)Hc，（其中0c）问当c为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以 GSHP， ，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标yC()A(4 0)D，(12)B ，Ox图 1 yC()A(0)D e ，()B cd，Ox图 2 yC()A ab，()D eb，()B cd，Ox图 3 yC()A ab，()D ef，()Bc d，Ox图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页精品资料欢迎下载72xB(0,4) A(6,0) E F xyO 答案：一二次函数与四边形的形状例 1.解：（ 1）令 y=0，解得11x或23xA（-1，0）B（3，0）；将 C 点的横坐标 x=2 代入223yxx得 y=-3，C（2，-3）直线 AC 的函数解析式是 y=-x-1 （2）设 P 点的横坐标为 x（-1x2）则 P、E 的坐标分别为： P （x，-x-1），E（2( ,23)x xxP点在 E 点的上方，PE=22(1)(23)2xxxxx当12x时，PE的最大值 =94（3）存在 4 个这样的点 F，分别是1234(1,0),( 3,0),(47 0),(47,0)FFFF，练习 1.解：（ 1）由抛物线的对称轴是72x，可设解析式为27()2ya xk把 A、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0)4.2akak解之，得225,.36ak故抛物线解析式为22725()326yx，顶点为725(,).26（2）点( ,)E x y在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326yx，y0, y 表示点 E到 OA的距离 OA 是OEAF 的对角线，2172264()2522OAESSOAyy因为抛物线与x轴的两个交点是（ 1，0）的（ 6，0），所以，自变量x的取值范围是 1x6根据题意，当 S = 24 时，即274()25242x化简，得271().24x解之，得123,4.xx故所求的点 E 有两个，分别为 E1（3，4），E2（4，4）点 E1（3，4）满足 OE = AE，所以OEAF 是菱形；点 E2（4，4）不满足 OE = AE，所以OEAF 不是菱形当 OAEF，且 OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点 E 的坐标只能是（ 3，3）而坐标为（ 3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使OEAF 为正方形练习 2.解：（1）由题意知点C的坐标为(34)，设2l的函数关系式543211 2 3 4 5 5 4 3 2 1 AEBC1O2l1lxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页精品资料欢迎下载为2(3)4ya x又点(1 0)A ，在抛物线2(3)4ya x上，2(13)40a，解得1a抛物线2l的函数关系式为2(3)4yx（或265yxx）（2）P与 P 始终关于 x轴对称，PP 与 y 轴平行设点 P 的横坐标为 m， 则其纵坐标为265mm，4OD，22654mm， 即2652mm 当265 2mm时，解得36m当2652mm时，解得32m当点 P 运动到 (36 2)，或 (36 2)， 或(322)，或(322)，时，P POD，以点 DOPP， ， ，为顶点的四边形是平行四边形（3）满足条件的点 M 不存在理由如下：若存在满足条件的点M 在2l上，则90AMB，30BAM（或30ABM），114222BMAB过点 M 作 MEAB于点 E，可得30BMEBAM112122EBBM，3EM，4OE点 M 的坐标为 (43)，但是，当4x时，246451624533y不存在这样的点 M 构成满足条件的直角三角形练习 3. 解 （1）点( 4 0)A，点( 20)B，点(08)E，关于原点的对称点分别为(4 0)D，(2 0)C，(08)F， 设抛物线2C的解析式是2(0)yaxbxc a，则16404208abcabcc，解得168abc，所以所求抛物线的解析式是268yxx（2）由（ 1）可计算得点( 31)(31)MN，过点 N 作 NHAD ， 垂足为 H 当运动到时刻 t时，282ADODt ，12NHt 根据中心对称的性质OAODOMON，所以四边形MDNA 是平行四边形所以2ADNSS所以，四边形 MDNA 的面积2(82 )(12 )4148Stttt 因为运动至点 A与点 D 重合为止，据题意可知 04t所以，所求关系式是24148Stt， t的取值范围是 04t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页精品资料欢迎下载（3）781444St，（ 04t）所以74t时， S有最大值814提示：也可用顶点坐标公式来求（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形由（2）知四边形 MDNA 是平行四边形， 对角线是 ADMN，所以当 ADMN 时四边形 MDNA 是矩形所以 ODON 所以2222ODONOHNH 所以22420tt解之得126262tt，（舍）所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时62t二二次函数与四边形的面积例 1. 解： （1）解法一：设)0(2acbxaxy，任取 x,y 的三组值代入， 求出解析式2142yxx=+-，令 y=0，求出124,2xx= -=；令 x=0，得 y=-4， A、B、C三点的坐标分别是 A(2，0)，B(-4 ，0) ，C(0，-4) . (3) SDEFG=12m-6m2 (0 m 2)，m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是 6 . 当矩形面积最大时， 其顶点为 D(1，0) ，G(1，-2) ，F(-2 ，-2) ，E(-2 ，0)，设直线 DF的解析式为 y=kx+b， 易知， k=23， b=-23， 2233yx=-，又可求得抛物线 P的解析式为：2142yxx=+-，令2233x-=2142xx+-， 可求出3611x. 设射线 DF与抛物线 P相交于点 N，则 N的横坐标为1613-，过 N作 x 轴的垂线交 x 轴于 H ，有FNHEDFDE=161233-=5619-+，点 M不在抛物线 P上，即点 M不与 N重合时，此时 k 的取值范围是 k5619-+且 k0. 说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分. 若选择另一问题： (2) ADDGAOOC=，而 AD=1 ，AO=2 ，OC=4 ，则 DG=2 ，又FGCPABOC=， 而 AB=6 ，CP=2 ，OC=4 ，则 FG=3 ，DEFGs=DG FG=6.练习 1. 解：利用中心对称性质，画出梯形OABC A，B，C三点与 M ，N ，H分别关于点 O中心对称， A（0，4），B（6，4），C （8，0）（写错一个点的坐标扣1 分）（2）设过 A，B，C三点的抛物线关系式为，抛物线过点A（0，4），则抛物线关系式为 将 B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得AB，垂足为 G，则 sinFEGsinCAB解得所求抛物线关系式为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页精品资料欢迎下载（3） OA =4， OC =8， AF =4m ， OE =8m OA （AB +OC ）AFAGOE OFCE OA（ 0 4） 当时，S的取最小值又 0m 4，不存在 m值，使 S的取得最小值（4）当时，GB =GF ，当时，BE =BG 14 分练习 3.解 （1）当 01x 时，2APx，AQx，212yAQ APx，即2yx（2） 当12AB CDABPQSS正方形四边形时， 橡皮筋刚好触及钉子，22BPx，AQx，211222222xx，43x （3）当413x时，2AB，22PBx，AQx，2223222AQBPxxyABx，即32yx作 OEAB， E为垂足当423x时，22BPx，AQx，1OE，BEOPOEAQySS梯形梯形12211122xx32x，即32yx90180POQ或180270POQ（4）如图所示：练习 4.解 (1) 设 l2的解析式为 y=ax2+bx+c(a0)，l1与 x 轴的交点为 A(- 2，0)，C(2，0)，顶点坐标是 (0，- 4)，l2与 l1关于 x 轴对称，l2过 A(- 2,0),C(2,0)，顶点坐标是 (0，4)， 420,420,4.abcabcc a=- 1,b=0,c=4，即 l2的解析式为 y= -x2+4 . (还可利用顶点式、对称性关系等方法解答) (2) 设点 B(m，n)为 l1：y=x2- 4 上任意一点，则 n= m2- 4 (*). 四边形 ABCD 是平行四边形，点A、C 关于原点 O 对称， B、D 关于原点 O 对称， 点 D 的坐标为 D(- m,- n) . 由(*)式可知，- n=-( m2-4)= -(-m)2+4，即点 D 的坐标满足 y= - x2+4， 点 D 在 l2上. (3) ABCD 能为矩形 . 过点 B 作 BHx 轴于 H，由点 B 在 l1：y=x2- 4 上，可设点 B 的坐标为 (x0，x02-4)，则 OH=| x0|，BH=| x02- 4| .易知，当且仅当 BO= AO=2 时，ABCD 为矩形 . 在 RtOBH 中，由勾股定理得， | x0|2+| x02- 4|2=22，(x02- 4)( x02- 3)=0，x0= 2(舍去)、x0= 3 . 所以，当点 B 坐标为 B( 3 ，-1)或B(-3 ， -1)时，ABCD 为矩形，此时，点 D 的坐标分别是 D(-3 ，1)、D( 3 ，321O12xy43精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页精品资料欢迎下载1). 因此，符合条件的矩形有且只有2 个，即矩形 ABCD 和矩形 AB CD . 设直线 AB 与 y 轴交于 E ，显然， AOEAHB，EOAO= BHAH，1223EO. EO=4- 23. 由该图形的对称性知矩形ABCD 与矩形 ABCD重合部分是菱形，其面积为S=2S ACE=212AC EO =2 12 4 (4- 2 3 )=16 - 8 3 . 三二次函数与四边形的动态探究例 1.解：(1)由已知 PB 平分 APD，PE 平分 OPF，且 PD、PF 重合，则 BPE=90 OPEAPB=90 又 APBABP=90 ， OPE=PBARtPOERtBPAPOBAOEAP即34xyxy=2114(4)333xxxx(0x4)且当 x=2 时，y 有最大值13(2)由已知， PAB、POE 均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)设过此三点的抛物线为y=ax2bxc，则1,0,1643.cabcabc1,23,21.abcy=213122xx(3)由(2)知EPB=90 ，即点 Q 与点 B 重合时满足条件直线PB 为 y=x1，与 y 轴交于点 (0，1)将 PB 向上平移 2 个单位则过点 E(0，1)，该直线为 y=x1由21,131,22yxyxx得5,6.xyQ(5，6)故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件例 2.解：（ 1）解方程 x210x160 得 x12，x28点 B 在 x 轴的正半轴上，点C 在 y 轴的正半轴上，且OBOC点 B 的坐标为（ 2，0），点 C 的坐标为（ 0，8）又抛物线 yax2bxc 的对称轴是直线 x2 由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（ 6，0）（2）点 C（0，8）在抛物线 yax2bxc 的图象上c8，将 A（6，0）、B（2，0）代入表达式，得解得所求抛物线的表达式为 yx2 x8（3）依题意， AEm，则 BE8m，OA6，OC8，AC10 EFACBEFBAC 即EF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页精品资料欢迎下载FG8mSSBCESBFE（8m） 8（8m）（8m）（8m）（88m）（8m）mm24m自变量 m 的取值范围是 0m8（4）存在理由： Sm24m（m4）28且0，当 m4 时，S有最大值， S最大值 8m4，点 E 的坐标为（ 2，0）BCE 为等腰三角形例 3 解: （1）相等理由是：因为四边形ABCD、EFGH 是矩形，所以,EGHEGFECNECPCGQCGMSSSSSS所以,EGHECPCGMEGFECNCGQSSSSSS即： SS （2）AB3，BC4，AC5，设 AEx，则 EC5x，34(5),55PCxMCx所以12(5)25SPC MCxx，即21212(05)255Sxxx配方得：2125()3252Sx，所以当52x时，S有最大值 3 （3） 当 AEAB3 或 AEBE52或 AE3.6时，ABE是等腰三角形练习 1 解：（ 1）点 M1 分（2）经过 t 秒时， NBt ，2OMt则3CNt ，42AMt BCA=MAQ=453QNCNt1PQt11(42 )(1)22AMQSAM PQtt22tt2219224Sttt 02t 当12t时，S的值最大（3）存在设经过 t 秒时， NB=t，OM=2t 则3CNt ，42AMt BCA=MAQ=45若90AQM，则PQ是等腰 RtMQA底边MA上的高PQ是底边MA的中线12PQAPMA11(42 )2tt12t点M的坐标为（ 1，0）若90QMA，此时QM与QP重合QMQPMA142tt1t点M的坐标为（2，0）练习 2.解：（ 1）()ecd，()cead，（2）分别过点 ABCD， ， ，作 x轴的垂线，垂足分别为1111ABCD，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页精品资料欢迎下载分别过 AD，作1AEBB于 E ，1DFCC于点 F 在平行四边形 ABCD 中， CDBA，又11BBCC，180EBAABCBCFABCBCFFCDEBAFCD 又90BEACFD，BEACFDAFDFac， BECFdb设()C xy，由exac，得 xeca由yfdb，得yfdb()C ecafdb，（3） mcea ，ndfb或 mace，nbdf（4）若 GS为平行四边形的对角线，由（3）可得1( 2 7 )Pcc，要使1P在抛物线上，则有274(53)( 2 )ccccc，即20cc10c（舍去），21c此时1( 2 7)P，若 SH 为平行四边形的对角线，由（3）可得2(32 )Pc c，同理可得1c，此时2(3 2)P，若 GH 为平行四边形的对角线，由（3）可得(2 )cc，同理可得1c，此时3(12)P，综上所述，当1c时，抛物线上存在点P，使得以 GSHP， ，为顶点的四边形是平行四边形符合条件的点有1( 2 7)P，2(3 2)P，3(12)P，练习 3.解：由 RtAOBRtCDA 得OD=2+1=3,CD=1C 点坐标为 (3,1),抛物线经过点 C,1= (3)2 a(3)2，21a。抛物线的解析式为221212xxy.在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形 ABPQ 是正方形。以 AB 边在 AB 右侧作正方形 ABPQ。过 P作 PEOB 于 E，QGx 轴于 G，可证 PBEAQGBAO，PEAGBO2，BEQGAO1，P点坐标为（ 2,1），Q 点坐标为（ 1,1）。由（ 1）抛物线221212xxy。当 x2 时，y1，当 x,1 时， y1。P、Q 在抛物线上。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、Q（1,1），使四边形 ABPQ 是正方形。另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形 ABPQ 是正方形。延长 CA 交抛物线于 Q， 过 B 作 BPCA 交抛物线于 P， 连 PQ， 设直线 CA、 BP的解析式分别为 y=k1x+b1, y=k2x+b2,A（1,0），C（3,1），CA 的解析式2121xy，同理 BP 的解析式为2121xy，解方程组2212121212xxyxy得 Q 点坐标为（ 1,1），同理得 P点坐标为（ 2,1）。yC()A ab，()D ef，()B cd，EF1B1A1C1DOx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页精品资料欢迎下载由勾股定理得 AQBPAB5，而BAQ90，四边形 ABPQ 是正方形。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、Q（1,1），使四边形 ABPQ 是正方形。另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形 ABPQ 是正方形。如图，将线段 CA 沿 CA 方向平移至 AQ，C（3,1）的对应点是 A（1,0），A（1,0）的对应点是 Q（1,1），再将线段 AQ 沿 AB 方向平移至 BP，同理可得 P（2,1）BAC90，ABAC 四边形 ABPQ 是正方形。经验证 P（2,1）、Q（1,1）两点均在抛物线221212xxy上。结论AGBGAFBF成立，证明如下：连EF ，过 F 作 FM BG交 AB的延长线于 M ，则 AMF ABG ，AGBGAFMF。由知 ABC是等腰直角三角形，1245。 AFAE ， AEF 145。 EAF 90，EF是O 的直径。EBF 90。 FM BG ， MFB EBF 90， M 245，BFMF ，AGBGAFBF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页