1 / 14 高等数学基础形考作业1：第 1 章函数第 2 章 极限与连续（一）单项选择题下列各函数对中，（C）中的两个函数相等 A. 2)()(xxf，xxg)( B. 2)(xxf，xxg)( C. 3ln)(xxf，xxgln3)( D. 1)(xxf，11)(2xxxg设函数)(xf的定义域为),(，则函数)()(xfxf的图形关于（ C）对称 A. 坐标原点 B. x轴C. y 轴 D. xy下列函数中为奇函数是（B） A. )1ln(2xy B. xxycos C. 2xxaay D. )1ln(xy下列函数中为基本初等函数是（C） A. 1xy B. xy C. 2xy D. 0,10,1xxy下列极限存计算不正确的是（D） A. 12lim22xxx B. 0)1ln(lim0xx C. 0sinlimxxx D. 01sinlimxxx当0x时，变量（ C）是无穷小量 A. xxsin B. x1 C. xx1sin D. 2)ln(x若函数)(xf在点0x满足（ A），则)(xf在点0x连续。 A. )()(lim00xfxfxx B. )(xf在点0x的某个邻域内有定义 C. )()(lim00xfxfxx D. )(lim)(lim00xfxfxxxx（二）填空题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页2 / 14 函数)1ln(39)(2xxxxf的定义域是, 3已知函数xxxf2) 1(，则)(xfx2-xxxx)211(lim21e若函数0,0,)1()(1xkxxxxfx，在0x处连续，则ke 函数0,sin0,1xxxxy的间断点是0x若Axfxx)(lim0，则当0xx时，Axf)(称为时的无穷小量0xx。（三）计算题设函数0,0,e)(xxxxfx求：)1(,)0(,)2(fff解：22f，00f，11fee求函数21lgxyx的定义域解：21lgxyx有意义，要求2100xxx解得1020xxx或则定义域为1|02x xx或在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数解：D A R O h E B C 设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形，设高为h，即 OE=h，下底 CD2R 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页3 / 14 直角三角形AOE 中，利用勾股定理得2222AEOAOERh则上底2222AERh故2222222hSRRhh RRh求xxx2sin3sinlim0解：000sin3sin33sin3333limlimlimsin2sin2sin22222xxxxxxxxxxxxxxx133122求)1sin(1lim21xxx解：21111(1)(1)111limlimlim2sin(1)sin(1)sin(1)11xxxxxxxxxxx求xxx3tanlim0解：000tan3sin31sin311limlimlim3133cos33cos31xxxxxxxxxxx求xxxsin11lim20解：22222200011( 11)( 11)limlimlimsin( 11)sin( 11)sinxxxxxxxxxxxx020lim0sin1 11( 11)xxxxx求xxxx)31(lim解：1143331111(1)(1)1lim()lim()limlim33311(1)(1) 3xxxxxxxxxxxexxxexexxx求4586lim224xxxxx解：2244442682422limlimlim54411413xxxxxxxxxxxxx设函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页4 / 14 1,111,1,)2()(2xxxxxxxf讨论)(xf的连续性。解：分别对分段点1,1xx处讨论连续性（1）1111limlim1limlim11 10xxxxfxxfxx所以11limlimxxfxfx，即fx在1x处不连续（2）221111limlim2121limlim111xxxxfxxfxxf所以11limlim1xxfxfxf即fx在1x处连续由（ 1）（ 2）得fx在除点1x外均连续高等数学基础作业2 答案：第 3 章导数与微分（一）单项选择题设0)0(f且极限xxfx)(lim0存在，则xxfx)(lim0（C） A. )0(f B. )0(f C. )(xf D. 0cvx 设)(xf在0x可导，则hxfhxfh2)()2(lim000（D） A. )(20xf B. )(0xf C. )(20xf D. )(0xf设xxfe)(，则xfxfx)1 ()1(lim0（A） A. e B. e2C. e21 D. e41设)99()2)(1()(xxxxxf，则)0(f（D）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页5 / 14 A. 99B. 99C. !99 D. !99下列结论中正确的是（C） A. 若)(xf在点0x有极限，则在点0x可导 B. 若)(xf在点0x连续，则在点0x可导 C. 若)(xf在点0x可导，则在点0x有极限 D. 若)(xf在点0x有极限，则在点0x连续（二）填空题设函数0,00,1sin)(2xxxxxf，则)0(f0设xxxfe5e)e(2，则xxfd)(lndxxx5ln2。曲线1)(xxf在)2,1(处的切线斜率是21k。曲线xxfsin)(在) 1,2(处的切线方程是1y。设xxy2，则y)ln1 (22xxx设xxyln，则xy1。（三）计算题求下列函数的导数y：xxxye)3(解:xxexxexxy33xxexex212323)3(xxxylncot2解：xxxxxylnlncot22xxxxln2csc2xxyln2解：xxxxxy222lnlnlnxxxx2lnln2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页6 / 14 32cosxxyx解：23332cos2cosxxxxxyxx4)2(cos3)2ln2sin(xxxxxxxxxysinln2解：xxxxxxxy222sinsinlnsinlnxxxxxxx22sincos)(ln)21(sinxxxylnsin4解：xxxxxylnsinlnsin4xxxxxlncossin43xxxy3sin2解：22233sin3sinxxxxxxxyxxxxxxx2233ln3)(sin)2(cos3xxyxlntane解：xxexeyxxlntantanxxexexx1costan2求下列函数的导数y：xye解：xxxexxeey212121xycosln解：xxxxytancossinsincos1xxxy解：87xy8187x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页7 / 14 xy2sin解：xxxxxy2sin2cossin2sinsin22sin xy解：xxxxycos22cos22ecosxy解：2222sin2sinxxxxexeeeynxxyncossin解：nxxnxxynncossincossin)sin(sincoscossin1nxxnnxxxnnnxysin5解：xxxxysinsin5cos5lncos5ln5xycose解：xxxexeycoscossinsin在下列方程中，yy x( )是由方程确定的函数，求y：yxy2ecos解：yexyxyy22sincosyexxyy22cossinxyylncos解：xyxyyy1.cosln.sin)lnsin1(cosxyxyyyxyx2sin2解：222sin2.cos2yyxyxyyyxyyyxyxyxysin22)cos2(22222cos2sin22xyxyyyxyyyxyln精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页8 / 14 解：1yyy1yyy2elnyxy解：yyyexy21)2(1yeyxyyyxsine12解：xxeyyyeyy.sin.cos2yeyyeyxxcos2sin3eeyxy解：yyeyexy2323yeeyyxyxy25解：2ln25ln5yxyy2ln215ln5yxy求下列函数的微分yd：（注：dxydy）xxycsccot解：xxxycotcsccsc2dxxxxdy)sincoscos1(22xxysinln解：yxxxxx2sincoslnsin1dxxxxxxdy2sincoslnsin1xy2sin解：xxycossin2xdxxdycossin2xyetan解：xxeey2secdxeedxeedyxxxx22secsec33求下列函数的二阶导数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页9 / 14 xy解：2121xy2323412121xxyxy3解：3ln3xyxxy33ln3ln33ln2xyln解：xy121xyxxysin解：xxxycossinxxxxxxxysincos2sincoscos（四）证明题设)(xf是可导的奇函数，试证)(xf是偶函数证：因为 f(x) 是奇函数 所以)()(xfxf两边导数得：)()()()1)(xfxfxfxf所以)(xf是偶函数。高等数学基础形考作业3 答案：第 4 章导数的应用（一）单项选择题若函数)(xf满足条件（ D），则存在),(ba，使得abafbff)()()( A. 在),(ba内连续 B. 在),(ba内可导 C. 在),(ba内连续且可导 D. 在,ba内连续，在),(ba内可导函数14)(2xxxf的单调增加区间是（D） A. )2,( B. ) 1,1( C. ),2( D. ),2(函数542xxy在区间)6,6(内满足（ A） A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升函数)(xf满足0)(xf的点，一定是)(xf的（ C）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页10 / 14 A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点设)(xf在),(ba内有连续的二阶导数，),(0bax，若)(xf满足（ C ），则)(xf在0x取到极小值 A. 0)(,0)(00xfxf B. 0)(,0)(00xfxf C. 0)(,0)(00xfxf D. 0)(,0)(00xfxf设)(xf在),(ba内有连续的二阶导数，且0)(,0)(xfxf，则)(xf在此区间内是（ A ） A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的（二）填空题设)(xf在),(ba内可导，),(0bax，且当0xx时0)(xf，当0xx时0)(xf，则0x是)(xf的极小值点若函数)(xf在点0x可导，且0x是)(xf的极值点，则)(0xf0函数)1ln(2xy的单调减少区间是)0,(函数2e)(xxf的单调增加区间是),0(若函数)(xf在,ba内恒有0)(xf，则)(xf在,ba上的最大值是)(af函数3352)(xxxf的拐点是2,0（三）计算题求函数2(1) (5)yxx的单调区间和极值解：令) 1)(5(3)5(2)1(52xxxxxy5, 1 xx驻点列表：极大值：32)1(f极小值：0)5(f求函数223yxx在区间3,0内的极值点，并求最大值和最小值解：令：）xxy驻点( 1022，列表：x（0,1）1 （1,3）y+ 0 X )1 ,(1 (1,5) 5 ), 5(y+ 0 0 + y 上升极大值32 下降极小值 0 上升精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页11 / 14 y上升极大值 2 下降213222xxxy21f极值点：6) 3(f最大值2)1 (f最小值3. 求曲线xy22上的点，使其到点)0,2(A的距离最短解：上的点是设xyyxp2),(2，d 为 p 到 A 点的距离，则：xxyxd2)2()2(222102)2(12)2(22)2(222xxxxxxxd令2y。Axy的距离最短到点，或上点)0, 2(2-1)2, 1(22。4. 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：设园柱体半径为R，高为 h，则体积hhLhRV)(222LhhLhLhLhhV：33303)2(2222令。LRhLR时其体积最大当32,33325.一体积为 V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？解：设园柱体半径为R，高为 h，则体积hRV2222222RRVRRhS表面积33222042VRRVRVRS：令34Vh答：当32VR34Vh时表面积最大。6. 欲做一个底为正方形，容积为62.5 立方 M 的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底长为x，高为 h。则：225.625.62xhhx2) 1(6)3(3)0(fff精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页12 / 14 侧面积为：xxxhxS250422令51250250232xxxxS答：当底连长为5M，高为 2.5M 时用料最省。（四）证明题当0x时，证明不等式)1ln(xx证：在区间应用拉格朗日定理，有上对函数xxfxln1 , 1xx11ln1ln其中11,11故x，于是由上式可得)1ln(xx当0x时，证明不等式1exx证：)1()(xexfx设0)0()(,00(01)(fxfx）xexfx单调上升且时当时当) 1(,0)(xexfx即高等数学基础形考作业4 答案：第 5 章不定积分第 6 章定积分及其应用（一）单项选择题若)(xf的一个原函数是x1，则)(xf（D） A. xlnB. 21xC. x1D. 32x下列等式成立的是（D） A)(d)(xfxxfB. )()(dxfxfC. )(d)(dxfxxfD. )(d)(ddxfxxfx若xxfcos)(，则xxfd)(（B） A. cxsinB. cxcosC. cxsinD. cxcos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页13 / 14 xxfxxd)(dd32（B） A. )(3xfB. )(32xfx C. )(31xfD. )(313xf若cxFxxf)(d)(，则xxfxd)(1（B）A. cxF)( B. cxF)(2C. cxF)2(D. cxFx)(1下列无穷限积分收敛的是（D）A. dxx11B.dxex0C.dxx11D. dxx121（二）填空题函数)(xf的不定积分是dxxf)(。若函数)(xF与)(xG是同一函数的原函数，则)(xF与)(xG之间有关系式）cxGxF常数()()(。xxded22xe。xx d)(tancxtan。若cxxxf3cosd)(，则)(xf)3cos(9x。335d)21(sinxx3 若无穷积分1d1xxp收敛，则0p。（三）计算题cxxdxxxx1sin)1(1cosd1cos2cexdexxxxx22decxxdxxxx)ln(ln)(lnln1dln1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页14 / 14 cxxxxdxxxxxdxxx2sin412cos212cos212cos212cos21d2sine11e127)ln3(21)ln3d()ln3(dln3exxxxxx414341212121de21022102102102eeedxexexxxxxx41412121221ln2ln21dln212211212e1eeexdxxxxdxxxxeeeeeeeexedxxxxxxx1121e1212111ln1dln（四）证明题证明：若)(xf在,aa上可积并为奇函数，则0d)(aaxxf证:aaaaaaaadttfdttfdttfdxxftx)()()()(令0)()()(aaaaaadxxfdxxfdxxf证毕证明：若)(xf在,aa上可积并为偶函数，则aaaxxfxxf0d)(2d)(证：aaaaxxfxxfxxf00d)(d)(d)(aaaxftftfxxftx000)(dt)(dt)(d)(,是偶函数则令证毕aaaaaaaxxfxxfxxfxxfxxfxxf00000d)(2d)(d)(d)(d)(d)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页