第九节 正弦定理、余弦定理的应用1.1.三角形中常用的面积公式三角形中常用的面积公式(1)S= ah(h(1)S= ah(h表示边表示边a a上的高上的高).).(2)(2)(3)S= r(a+b+c)(r(3)S= r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径为三角形的内切圆半径).).2.2.实际问题中的有关概念实际问题中的有关概念(1)(1)仰角和俯角仰角和俯角: :在视线和水平线所成的角中，视线在水平线在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_的角叫仰角，的角叫仰角，在水平线在水平线_的角叫俯角的角叫俯角( (如图如图).).上方上方下方下方(2)(2)方位角方位角: :从正北方向顺时针转到目标方向线的从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如水平角，如B B点的方位角为点的方位角为(如图如图).).(3)(3)方向角方向角: :相对于某一正方向的水平角相对于某一正方向的水平角( (如图如图)(i)(i)北偏东北偏东即由指北方向顺时针旋转即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；到达目标方向；(ii)(ii)北偏西北偏西即由指北方向逆时针旋转即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；到达目标方向；(iii)(iii)南偏西等其他方向角类似南偏西等其他方向角类似. .(4)(4)坡角与坡比：坡角与坡比：()()坡角坡角: :坡面与水平面所成的二面角的度坡面与水平面所成的二面角的度数数( (如图如图，角，角为坡角为坡角) )；()()坡比坡比: :坡面的铅直高度与水平长度之比坡面的铅直高度与水平长度之比( (如图如图，i i为坡度为坡度).).(5)(5)视角：视角：观测点与观测目标两端点的连线所成的角叫做视角观测点与观测目标两端点的连线所成的角叫做视角( (如图如图).).判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打“”或或“”“”).).(1)(1)面积公式中面积公式中 其实质就是其实质就是面积公式面积公式 (h (h为相应边上的高为相应边上的高) )的变形的变形.( ).( )(2)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 ( ) ( )(3)(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系点之间的位置关系.( ).( )(4)(4)方位角大小的范围是方位角大小的范围是0,2)0,2)，方向角大小的范围一般是，方向角大小的范围一般是 ( ) ( )【解析】【解析】(1)(1)正确正确. .如如 即为边即为边a a上上的高的高. .(2)(2)错误错误. .俯角是视线与水平线所构成的角俯角是视线与水平线所构成的角. .(3)(3)正确正确. .方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置关系的关系的. .(4)(4)正确正确. .方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为角，故大小的范围为0,2)0,2)，而方向角大小的范围由定义可，而方向角大小的范围由定义可知为知为答案：答案：(1) (2)(1) (2) (3) (4) (3) (4)1.1.在在ABCABC中中, AB=1,AC=2, AB=1,AC=2,则三角形面积则三角形面积SABC=_.SABC=_.【解析】由已知得【解析】由已知得 AB=c=1,AC=b=2, AB=c=1,AC=b=2,答案：答案：2.2.在在ABCABC中中, , 则则cos Acos A等于等于_._.【解析】由已知得【解析】由已知得 得，得，即即 故故答案：答案：3.3.如下图，已知两座灯塔如下图，已知两座灯塔A A和和B B与海洋观与海洋观察站察站C C的距离相等，灯塔的距离相等，灯塔A A在观察站在观察站C C的北的北偏东偏东4040，灯塔，灯塔B B在观察站在观察站C C的南偏东的南偏东6060，则灯塔则灯塔A A在灯塔在灯塔B B的方向为的方向为_._.【解析】由已知【解析】由已知ACBACB180180404060608080，又又ACACBCBC，AAABCABC5050，606050501010. .灯塔灯塔A A位于灯塔位于灯塔B B的北偏西的北偏西1010. .答案：北偏西答案：北偏西10104.4.已知已知A A，B B两地的距离为两地的距离为10 km,B10 km,B，C C两地的距离为两地的距离为20 km,20 km,现测得现测得ABC=120ABC=120，则，则A A，C C两地的距离为两地的距离为_km. _km. 【解析】如下图，【解析】如下图，由余弦定理可得：由余弦定理可得：AC2=100+400-2AC2=100+400-210102020cos 120cos 120=700=700，AC= (km).AC= (km).答案：答案：5.5.海上有海上有A A，B B，C C三个小岛，测得三个小岛，测得A A，B B两岛的距离为两岛的距离为1010海里，海里，BAC=60BAC=60,ABC=75,ABC=75，则，则B,CB,C间的距离为间的距离为_海里海里. .【解析】连结【解析】连结A A，B B，C C岛，得岛，得ABCABC，则，则C=180C=180-BAC-BAC-ABC=45ABC=45，则由正弦定理得：，则由正弦定理得：所以所以 ( (海里海里).).答案：答案：考向考向 1 1 与三角形面积有关的问题与三角形面积有关的问题 【典例【典例1 1】(1)(2019(1)(2019南京模拟南京模拟) )已知已知O O为为ABCABC内一点，满足内一点，满足 且且 则则SOBC=_.SOBC=_.(2)(2019(2)(2019扬州模拟扬州模拟) )在在ABCABC中，若中，若A=30A=30，b=2b=2，且，且 则则SABC=_.SABC=_.(3)(2019(3)(2019镇江模拟镇江模拟)ABC)ABC中，角中，角A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a a，b b，c c，且，且2b2bcos A=ccos A=ccos A+acos A+acos C,cos C,求求A A的值的值; ;假设假设 求求ABCABC的面积的面积. .【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)先确定先确定O O点的位置，可知点的位置，可知O O为为ABCABC的重心，再利的重心，再利用向量关系求得用向量关系求得ABCABC面积即可求得面积即可求得SOBC.SOBC.(2)(2)利用已知条件求边利用已知条件求边a,b,a,b,角角C C即可求得面积即可求得面积. .(3)(3)利用正弦定理得角利用正弦定理得角A A，再利用余弦定理得，再利用余弦定理得bcbc，从而可求面积，从而可求面积. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)由由 可知可知O O为为ABCABC的重心，的重心，故故由由 得得c cbcosBAC=2,bcosBAC=2,又又故故bc=4,bc=4,故故答案：答案：(2)(2)由由 得得2cacos B=c22cacos B=c2，即，即2acos B=c,2acos B=c,方法一方法一: :故故2sin Acos B=sin C=sin(A+B),2sin Acos B=sin C=sin(A+B),得得2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B，故故sin Acos B-cos Asin B=0,sin Acos B-cos Asin B=0,即即sin(A-B)=0,sin(A-B)=0,又又A,BA,B是是ABCABC的内角的内角, ,故故A-B=0,A-B=0,A=B,a=b=2.A=B,a=b=2.A=30,A=30,B=30,C=120.B=30,C=120.由由 得得方法二：由方法二：由2acos B=c2acos B=c得，得， 即即a2+c2-b2=c2,a2+c2-b2=c2,a2=b2,a2=b2,即即a=b=2,A=B.a=b=2,A=B.又又A=30A=30,B=30,B=30,C=120,C=120. .答案：答案：(3)(3)从已知条件得从已知条件得2cos Asin B=sin Acos C+cos Asin C2cos Asin B=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sin B.=sin(A+C)=sin B.sin B0,sin B0, 又又0 0A A180180,A=60,A=60. .由余弦定理得，由余弦定理得，7=a2=b2+c2-2bc7=a2=b2+c2-2bccos 60cos 60=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc，代入代入b+c=4b+c=4，得，得bc=3.bc=3.故故ABCABC的面积为的面积为【互动探究】若将本例【互动探究】若将本例(1)(1)中中“ ”修改为修改为“O O为为ABCABC中线中线ADAD的中点的中点”. .其他条件不变，那么其他条件不变，那么OBCOBC的面积又该如的面积又该如何求解何求解? ?【解析】由【解析】由 得得cbcosBAC=2,cbcosBAC=2,又又又又OO为为ABCABC中线中线ADAD的中点的中点, ,故故【拓展提升】三角形的面积公式【拓展提升】三角形的面积公式(1)(1)已知一边和这边上的高已知一边和这边上的高: :(2)(2)已知两边及其夹角：已知两边及其夹角：(3)(3)已知三边：已知三边： 其中其中 (4)(4)已知两角及两角的共同边：已知两角及两角的共同边：(5)(5)已知三边和外接圆半径已知三边和外接圆半径R R，那么，那么【变式备选】在【变式备选】在ABCABC中，内角中，内角A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a a，b b，c.c.知知 (1)(1)求求 的值的值. .(2)(2)假设假设 求求ABCABC的面积的面积S.S.【解析】【解析】(1)(1)方法一方法一: :在在ABCABC中，由中，由及正弦定理可得及正弦定理可得即即cos Asin B-2cos Csin B=2sin Ccos B-sin Acos Bcos Asin B-2cos Csin B=2sin Ccos B-sin Acos B，则则cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos Csin Bcos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos Csin B，sin(A+B)=2sin(C+B)sin(A+B)=2sin(C+B)，而，而A+B+C=A+B+C=，则，则sin C=2sin Asin C=2sin A，即即方法二：在方法二：在ABCABC中，由中，由 可得，可得，bcos A-2bcos C=2ccos B-acos Bbcos A-2bcos C=2ccos B-acos B，由余弦定理可得由余弦定理可得整理可得整理可得c=2a.c=2a.由正弦定理可得由正弦定理可得(2)(2)由由c=2ac=2a及及 可得可得则则a=1a=1，c=2c=2，即即考向考向 2 2 测量距离问题测量距离问题 【典例【典例2 2】(1)(1)如图如图, ,设设A A，B B两点在河的两岸，一测量者在两点在河的两岸，一测量者在A A的同的同侧，在所在的河岸边选定一点侧，在所在的河岸边选定一点C C，测出，测出ACAC的距离是的距离是50 m50 m，ACB=45ACB=45，CAB=105CAB=105后，就可以计算出后，就可以计算出A A，B B两点的距离两点的距离为为_._.(2)(2)在相距在相距2 2千米的千米的A A，B B两点处测量目标点两点处测量目标点C C，假设，假设CAB=75CAB=75，CBA=60CBA=60, ,则则A A，C C两点之间的距离为两点之间的距离为_千米千米. .(3)(3)某人在某人在M M汽车站的北偏西汽车站的北偏西2020的方向上的的方向上的A A处，观察到点处，观察到点C C处处有一辆汽车沿公路向有一辆汽车沿公路向M M站行驶站行驶. .公路的走向是公路的走向是M M站的北偏东站的北偏东4040. .开始时，汽车到开始时，汽车到A A的距离为的距离为3131千米，汽车前进千米，汽车前进2020千米后，到千米后，到A A的的距离缩短了距离缩短了1010千米千米. .此时汽车离汽车站的距离是此时汽车离汽车站的距离是_._.【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)利用三角形的内角和定理得利用三角形的内角和定理得ABCABC，再利用正，再利用正弦定理可解弦定理可解. .(2)(2)利用已知角求得利用已知角求得ACBACB，再利用正弦定理求解，再利用正弦定理求解. .(3)(3)先画出图形，利用已知条件及余弦定理求角先画出图形，利用已知条件及余弦定理求角C C的余弦值，再的余弦值，再利用正弦定理求解即可利用正弦定理求解即可. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)由由ACB=45ACB=45，CAB=105CAB=105, ,得得ABC=30ABC=30, ,由正弦定理得由正弦定理得答案：答案： m m(2)(2)由由CAB=75CAB=75,CBA=60,CBA=60, ,得得ACB=180ACB=180-75-75-60-60=45=45. .由正弦定理得由正弦定理得即即 ( (千米千米).).答案：答案：(3)(3)由题设，画出示意图，设汽车前进由题设，画出示意图，设汽车前进2020千米后到达千米后到达B B处处. .在在ABCABC中，中，AC=31AC=31，BC=20BC=20，AB=21AB=21，由余弦定理得，由余弦定理得那么那么所以所以sinMAC = sin(120sinMAC = sin(120-C)=sin 120-C)=sin 120cos C-cos C-cos 120cos 120sin C =sin C =在在MACMAC中，由正弦定理得中，由正弦定理得从而有从而有MB=MC-BC=15(MB=MC-BC=15(千米千米),),所以汽车还需要行驶所以汽车还需要行驶1515千米才能到达千米才能到达M M汽车站汽车站. .答案：答案：1515千米千米【互动探究】若将本例【互动探究】若将本例(1)(1)中中A A，B B两点放到河岸的同侧，但不两点放到河岸的同侧，但不能到达，在对岸的岸边选取相距能到达，在对岸的岸边选取相距 km km的的C C，D D两点，同时，测两点，同时，测得得ACBACB7575，BCDBCD4545，ADCADC3030，ADBADB4545(A(A，B B，C C，D D在同一平面内在同一平面内) )，则两点，则两点A A，B B之间的距离又如何求之间的距离又如何求解解? ?【解析】如下图，【解析】如下图，在在ACDACD中，中，ADCADC3030，ACDACD120120，CADCAD3030，ACACCDCD . .在在BDCBDC中，中，CBDCBD180180454575756060. .由正弦定理可得由正弦定理可得在在ABCABC中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得AB2AB2AC2AC2BC2BC22AC2ACBCBCcos BCAcos BCA， (km). (km).即两点即两点A A，B B之间的距离为之间的距离为 km. km.【拓展提升】解三角形应用题的一般步骤【拓展提升】解三角形应用题的一般步骤(1)(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系量与量之间的关系. .(2)(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型. .(3)(3)选择正弦定理、余弦定理或其他相关知识求解选择正弦定理、余弦定理或其他相关知识求解. .(4)(4)将三角形的解还原为实际问题的解将三角形的解还原为实际问题的解. .【变式备选】如图，【变式备选】如图，A A，B B是海面上位于东西是海面上位于东西方向相距方向相距 海里的两个观测点，现位于海里的两个观测点，现位于A A点北偏东点北偏东4545，B B点北偏西点北偏西6060的的D D点有一点有一艘轮船发出求救信号，位于艘轮船发出求救信号，位于B B点南偏西点南偏西6060且与且与B B点相距点相距 海里的海里的C C点的救援船立即前往营救，其航行点的救援船立即前往营救，其航行速度为速度为3030海里海里/ /小时，该救援船到达小时，该救援船到达D D点需要多长时间？点需要多长时间？【解析】由题意知【解析】由题意知AB=5(3+ )AB=5(3+ )海里，海里，DBA=90DBA=90-60-60=30=30, ,DAB=90DAB=90-45-45=45=45. .ADB=180ADB=180-(45-(45+30+30)=105)=105. .在在ABDABD中，由正弦定理得中，由正弦定理得又又DBC=DBA+ABC=30DBC=DBA+ABC=30+(90+(90-60-60)=60)=60， 海里，在海里，在DBCDBC中，由余弦定理得中，由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BDCD2=BD2+BC2-2BDBCBCcosDBCcosDBCCD=30(CD=30(海里海里).).故所需时间故所需时间 ( (小时小时).).故救援船到达故救援船到达D D点需要点需要1 1小时小时. .考向考向 3 3 测量高度问题测量高度问题 【典例【典例3 3】(1)(1)如图，测量河对岸的旗杆高如图，测量河对岸的旗杆高ABAB时，选与旗杆底时，选与旗杆底B B在同一水平面内的两个测在同一水平面内的两个测量点量点C C与与D.D.测得测得BCD=75BCD=75，BDC=60BDC=60，CD=aCD=a，并在点，并在点C C测得旗杆顶测得旗杆顶A A的仰角为的仰角为6060，则旗杆高则旗杆高ABAB为为_._.(2)(2)某气象仪器研究所按以下方案测试一种某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型气象观测仪器的垂直弹射高度：弹射型气象观测仪器的垂直弹射高度：A A，B B，C C三地位于同一水平面上，在三地位于同一水平面上，在C C处进处进行该仪器的垂直弹射，观测点行该仪器的垂直弹射，观测点A A，B B两地相两地相距距100100米，米，BAC=60BAC=60，在，在A A地听到弹射声音的时间比地听到弹射声音的时间比B B地晚地晚 秒秒. .在在A A地测得该仪器至最高点地测得该仪器至最高点H H时的仰角为时的仰角为3030，求该仪器，求该仪器的垂直弹射高度的垂直弹射高度CH.(CH.(声音在空气中的传播速度为声音在空气中的传播速度为340340米米/ /秒秒) )【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)由正弦定理求出由正弦定理求出BCBC，再利用正切求，再利用正切求ABAB即可即可. .(2)(2)利用已知条件先求利用已知条件先求ACAC，再利用正切求，再利用正切求CHCH即可即可. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)在三角形在三角形BCDBCD中，由正弦定理得：中，由正弦定理得：在直角三角形在直角三角形ABCABC中，中，答案：答案：(2)(2)由题意，设由题意，设AC=x,AC=x,那么那么在在ABCABC中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：BC2=BA2+CA2-2BABC2=BA2+CA2-2BACACAcos BAC,cos BAC,即即(x-40)2=10 000+x2-100x,(x-40)2=10 000+x2-100x,解得解得x=420.x=420.在在ACHACH中，中，AC=420,CAH=30AC=420,CAH=30,ACH=90,ACH=90, ,所以所以故该仪器的垂直弹射高度故该仪器的垂直弹射高度CHCH为为 米米. .【拓展提升】处理高度问题的注意事项【拓展提升】处理高度问题的注意事项(1)(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角( (视线在水平线视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角上方、下方的角分别称为仰角、俯角) )是一个关键是一个关键. .(2)(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面在实际问题中，可能会遇到空间与平面( (地面地面) )同时研究的同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错这样处理起来既清楚又不容易搞错. .【提示】高度问题一般是把它转化成直角三角形的问题，要注【提示】高度问题一般是把它转化成直角三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合形和平面图形的结合. .【变式训练】要测量底部不能到达的电视塔【变式训练】要测量底部不能到达的电视塔ABAB的高度，在的高度，在C C点测得塔顶点测得塔顶A A的仰角是的仰角是4545，在，在D D点测得塔顶点测得塔顶A A的仰角是的仰角是3030，并测得水平面上的，并测得水平面上的BCDBCD120120，CDCD40 m40 m，求电，求电视塔的高度视塔的高度. .【解析】如图，设电视塔【解析】如图，设电视塔ABAB的高为的高为x mx m，则在，则在RtABCRtABC中，中，由由ACBACB4545得得BCBCx.x.在在RtABDRtABD中，中，ADBADB3030，在在BDCBDC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得BD2BD2BC2BC2CD2CD22BC2BCCDCDcos 120cos 120，即即解得解得x x4040，电视塔高为电视塔高为4040米米. .【满分指导】三角形中面积公式的应用【满分指导】三角形中面积公式的应用 【典例】【典例】(14(14分分)(2019)(2019江西高考江西高考) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C的对的对边分别为边分别为a,b,ca,b,c，知，知(1)(1)求证：求证：(2)(2)假设假设 求求ABCABC的面积的面积. .【思路点拨】【思路点拨】 【规范解答】【规范解答】(1)(1)由由应用正弦定理，得应用正弦定理，得 3 3分分整理得整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,sin Bcos C-cos Bsin C=1,即即sin(B-C)=1,sin(B-C)=1,5 5分分 7 7分分(2) (2) 由由(1)(1)知知因此因此 9 9分分1212分分所以所以ABCABC的面积的面积 1414分分【失分警示】【失分警示】( (下文下文见规范解答过程见规范解答过程) )1.(20191.(2019淮安模拟淮安模拟) )在在ABCABC中，中，A=60A=60,AB+AC=10,AB+AC=10,面积面积 则则BC=_.BC=_.【解析】设【解析】设AB=c,BC=a,AC=b,AB=c,BC=a,AC=b,A=60A=60, ,面积面积bc=16.bc=16.又又AB+AC=10,AB+AC=10,即即c+b=10.c+b=10.答案：答案：2.(20192.(2019徐州模拟徐州模拟) )如图，如图，D D，C C，B B三点三点在地面同一直线上，在地面同一直线上，DC=aDC=a，从，从C C，D D两点两点测得测得A A点的仰角分别是点的仰角分别是,(,()，则则A A点离地面的高度点离地面的高度ABAB等于等于_._.【解析】由已知得【解析】由已知得DAC=-,DAC=-,由正弦定理得，由正弦定理得，得得而而答案：答案：3.(20193.(2019南通模拟南通模拟) )某观测站某观测站C C在城在城A A的南偏西的南偏西2525的方向上，的方向上，由由A A城出发有一条公路，走向是南偏东城出发有一条公路，走向是南偏东5050，在，在C C处测得距处测得距C C为为 km km的公路上的公路上B B处，有一人正沿公路向处，有一人正沿公路向A A城走去，走了城走去，走了12 km12 km后，到达后，到达D D处，此时处，此时C C，D D间距离为间距离为12 km12 km，则这人到达，则这人到达A A城还需城还需走的距离为走的距离为_._.【解析】根据题意得【解析】根据题意得,BC= km,BC= km，BD=12 kmBD=12 km，CD=12 kmCD=12 km，CAB=75CAB=75. .设设ACD=ACD=，CDB=CDB=，在在CDBCDB中，由余弦定理得中，由余弦定理得所以所以=120=120，于是于是=45=45. .在在ACDACD中，由正弦定理得中，由正弦定理得答案：答案：4.(20194.(2019宿迁模拟宿迁模拟) )如图，一艘船上午如图，一艘船上午9 9：3030在在A A处测得灯塔处测得灯塔S S在它的北偏东在它的北偏东3030方向上，之后方向上，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午它继续沿正北方向匀速航行，上午10:0010:00到达到达B B处，且与灯塔处，且与灯塔S S相距相距 n mile. n mile.此船的航速是此船的航速是32 n mile/h32 n mile/h，则灯塔，则灯塔S S对于点对于点B B的方向角是的方向角是_._.【解析】由已知可得【解析】由已知可得, ,AB=32 n mile/hAB=32 n mile/h h=16 n mile h=16 n mile，BS= n mile,BAS=30BS= n mile,BAS=30, ,由正弦定理得由正弦定理得又又0 0ASBASB180180，得，得ASB=45ASB=45或或135135, ,假设假设ASB=45ASB=45，那么，那么ABS=105ABS=105，此时，此时，S S在点在点B B的北偏东的北偏东7575方向上；方向上；假设假设ASB=ASB=，那么，那么ABS=15ABS=15, ,此时，此时，S S在点在点B B的南偏东的南偏东1515方向上方向上. .答案：北偏东答案：北偏东7575或南偏东或南偏东15155.(20195.(2019新课标全国卷新课标全国卷) )已知已知a a，b b，c c分别为分别为ABCABC三个内角三个内角A A，B B，C C的对边，的对边， (1)(1)求求A.A.(2)(2)若若a=2a=2，ABCABC的面积为的面积为 ，求，求b,c.b,c.【解析】【解析】(1)(1)由由 及正弦定理得及正弦定理得由于由于sin C0sin C0，所以，所以又又0A0A，故，故(2)ABC(2)ABC的面积的面积 故故bc=4.bc=4.而而a2=b2+c2-2bccos A,a2=b2+c2-2bccos A,故故b2+c2=8.b2+c2=8.解得解得b=c=2.b=c=2.1.1.在在ABCABC中，中， 点点D D是是BCBC的中点，且的中点，且AD=1AD=1，BAD=30BAD=30，那么，那么ABCABC的面积为的面积为_._.【解析】方法一：由于【解析】方法一：由于D D是是BCBC的中点，故的中点，故SABC=2SBADSABC=2SBAD方法二：如下图，方法二：如下图，在在ABDABD中，中，BD2=AB2+AD2-2ABBD2=AB2+AD2-2ABADcos 30ADcos 30= =故故BD=1.BD=1.所以所以BC=2.BC=2.由由得得答案：答案：2.2.攀岩运动是一项刺激而危险的运动攀岩运动是一项刺激而危险的运动, ,在某次在某次攀岩运动中，为确保运动员的安全攀岩运动中，为确保运动员的安全, ,地面救援地面救援者应时刻注意运动员离地面的距离者应时刻注意运动员离地面的距离, ,以备发生以备发生危险时进行及时救援危险时进行及时救援. .为了方便测量和计算为了方便测量和计算, ,如图，如图，A,CA,C分别为两名攀岩者所在位置分别为两名攀岩者所在位置,B,B为山为山的拐角处的拐角处, ,且斜坡且斜坡ABAB的坡角为的坡角为,D,D为山脚为山脚, ,某人在某人在E E处测得处测得A,B,CA,B,C的仰角分别为的仰角分别为,ED=a.,ED=a.(1)(1)求求C C，D D间的距离及间的距离及B B，D D间的距离间的距离. .(2)(2)求证求证: :在在A A处，攀岩者距地面的距离处，攀岩者距地面的距离【解析】【解析】(1)(1)根据题意得根据题意得CED=,BED=,AED=,CED=,BED=,AED=,在直角三角形在直角三角形CEDCED中中, ,在直角三角形在直角三角形BEDBED中中, ,(2)(2)易得易得在在ABEABE中中,AEB=-,ABE=+,AEB=-,ABE=+,EAB=-(+),EAB=-(+),由正弦定理得由正弦定理得代入整理得代入整理得: :