第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式【知识梳理】【知识梳理】1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)实数的大小顺序与运算性质的关系实数的大小顺序与运算性质的关系: :abab_;_;a=ba=ba-b=0;a-b=0;aba0a-b0a-b0a-bb:ab_;(_;(双向性双向性) )传递性传递性:ab,bc:ab,bc_;(_;(单向性单向性) )可加性可加性:ab:aba+cb+c;(a+cb+c;(双向性双向性) )ab,cdab,cd_;(_;(单向性单向性) )babcaca+cb+da+cb+d可乘性可乘性:ab,c0:ab,c0acbc;acbc;ab,cb,c0acbc;acb0,cd0ab0,cd0_;(_;(单向性单向性) )乘方法则乘方法则:ab0:ab0a an nbbn n(nN,n1);(nN,n1);(单向性单向性) )开方法则开方法则:ab0:ab0 (nN,n2);( (nN,n2);(单向性单向性) )acbdacbd2.2.必备结论必备结论 教材提炼教材提炼 记一记记一记(1)(1)倒数性质：设倒数性质：设abab0 0，则，则a ab b ( (双向性双向性) )(2)(2)有关分数的性质：有关分数的性质：若若ab0,m0,ab0,m0,则则3.3.必用技法必用技法 核心总结核心总结 看一看看一看(1)(1)常用方法：比较法常用方法：比较法( (作差或作商作差或作商) )(2)(2)数学思想：等价转化思想、放缩思想数学思想：等价转化思想、放缩思想. .(3)(3)记忆口诀：不等式性质的记忆口诀：记忆口诀：不等式性质的记忆口诀： 对称传递性对称传递性 同向可加乘同向可加乘 乘乘方开方乘乘方开方 不忘两端正不忘两端正【小题快练】【小题快练】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考判一判静心思考判一判(1)(1)两个实数两个实数a,ba,b之间之间, ,有且只有有且只有ab,a=b,ab,a=b,ab,a=bab,a=b或或ab.ab.(2)(2)错误错误. .同乘以一个负数或同乘以一个负数或0 0时不等号改变时不等号改变. .(3)(3)错误错误. .如如-22,-22,而而(4)(4)错误错误. .同向不等式具有可加性同向不等式具有可加性, ,但不一定具有可乘性但不一定具有可乘性, ,如如12,-3-2,12,-3-4.-3-4.(5)(5)正确正确. .当这个比值中的分母小于零时当这个比值中的分母小于零时, ,分子小于分母分子小于分母, ,当这个比值中当这个比值中的分母大于零时的分母大于零时, ,分子大于分母分子大于分母. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)2.2.教材改编教材改编 链接教材链接教材 练一练练一练(1)(1)(必修必修5 P74T35 P74T3改编改编) )下列四个结论，正确的是下列四个结论，正确的是( )( )abab，cdcbcbd d；ab0ab0，cd0cdbdacbd；ab0ab0ab0ab0A A B B C C D D【解析】【解析】选选D.D.利用不等式的同向可加性可知利用不等式的同向可加性可知正确；对正确；对根据不等式根据不等式的性质可知的性质可知acacbd,bd,故故不正确不正确; ;因为函数因为函数 是单调递增的是单调递增的, ,所以所以正确；对正确；对由由a ab b0 0可知可知a a2 2b b2 20,0,所以所以 所以所以不正确不正确. .(2)(2)(必修必修5P75B5P75B组组T1T1改编改编) )下列各组代数式的判断正确的是下列各组代数式的判断正确的是. .xx2 2+5x+62x+5x+62x2 2+5x+9;+5x+9;(x-3)(x-3)2 2(x-2)(x-4);1x1时时,x,x3 3xx2 2-x+1;-x+1;xx2 2+y+y2 2+12(x+y-1).+12(x+y-1).【解析】【解析】2x2x2 2+5x+9-x+5x+9-x2 2-5x-6=x-5x-6=x2 2+30;+30;所以所以x x2 2+5x+62x+5x+6(x-2)(x-4),(x-2)(x-4),故故错误错误. .当当x1x1时时,x,x3 3-(x-(x2 2-x+1)=(x-1)(x-x+1)=(x-1)(x2 2+1)0,+1)0,所以当所以当x1x1时时,x,x3 3xx2 2-x+1;-x+1;故故正确正确. .xx2 2+y+y2 2+1-2(x+y-1)=(x-1)+1-2(x+y-1)=(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2+10,+10,所以所以x x2 2+y+y2 2+12(x+y-1),+12(x+y-1),故故正确正确. .答案答案: :3.3.真题小试真题小试 感悟考题感悟考题 试一试试一试(1)(2014(1)(2014四川高考四川高考) )若若ab0ab0，cd0cd0，则一定有，则一定有( )( )【解析】【解析】选选D.D.因为因为cd0cd-d0-c-d0，即得即得 又又ab0ab0，得，得从而有从而有(2)(2013(2)(2013北京高考北京高考) )设设a,b,cR,a,b,cR,且且ab,ab,则则( )( )A.acbc B.A.acbc B.C.aC.a2 2bb2 2 D.a D.a3 3bb3 3【解析】【解析】选选D.y=xD.y=x3 3在在( (,+),+)上为增函数，所以上为增函数，所以a a3 3bb3 3. .(3)(2015(3)(2015东莞模拟东莞模拟) )设设a,bR,a,bR,若若a+|b|0,a+|b|0 B.aA.a-b0 B.a3 3+b+b3 300C.aC.a2 2-b-b2 20 D.a+b00 D.a+b0【解析】【解析】选选D.D.因为因为a+|b|0,a+|b|0,所以所以|b|-a,|b|-a,所以所以b-a,b-a,所以所以a+b0.a+ba B.acbA.cba B.acbC.cba D.acbC.cba D.acb(2)(2)已知已知a,ba,b是实数是实数, ,且且eab,eaaa，所以所以b b1 1a a2 2a.a.所以所以cba.cba.(2)(2)令令 则则f(x)=f(x)=当当xexe时，时，f(x)0,f(x)0,所以所以f(x)f(x)在在(e,+)(e,+)上单调递减上单调递减, ,因为因为eab,eaf(b),f(a)f(b),即即 bln aaln bbln aaln b a ab bbba a. .答案：答案：a ab bbba a【互动探究】【互动探究】本例本例(2)(2)若条件变为若条件变为a0,b0,a0,b0,且且ab,ab,试比较试比较a aa ab bb b与与a ab bb ba a的大小的大小. .【解析】【解析】当当ab0ab0时，时， a ab0b0，则则 所以所以a aa ab bb baab bb ba a；当当ba0ba0时，时，则则 所以所以a aa ab bb baab bb ba a；综上知综上知a aa ab bb ba ab bb ba a. .【规律方法】【规律方法】比较大小常用的方法比较大小常用的方法(1)(1)作差法作差法, ,其步骤其步骤: :作差作差变形变形判断差与判断差与0 0的大小的大小得出结论得出结论. .注意注意: :含根号的式子作差时一般先乘方再作差含根号的式子作差时一般先乘方再作差. .(2)(2)作商法作商法, ,其步骤其步骤: :作商作商变形变形判断商与判断商与1 1的大小的大小得出结论得出结论. .(3)(3)构造函数法构造函数法: :构造函数构造函数, ,利用函数单调性比较大小利用函数单调性比较大小. .【变式训练】【变式训练】(2014(2014肇庆模拟肇庆模拟) )实数实数a,b,ca,b,c满足下列三个条件满足下列三个条件:dc;a+b=c+d;a+dc;a+b=c+d;a+db+c,则将则将a,b,c,da,b,c,d按从小到大的顺序排列起按从小到大的顺序排列起来是来是. .【解析】【解析】由由a-d=c-b,a+db+c,a-d=c-b,a+db+c,相加得相加得ac,a0,b-d=c-a0,得得bd,bd,又又dc,dc,故故acdb.acdb.答案答案: :acdbacdb【加固训练】【加固训练】若实数若实数a1a1，比较，比较a a2 2与与 的大小的大小. .【解析】【解析】因为因为所以所以(a(a2 2a a1)01)0a0，即，即a1a1时，时，则有则有当当1 1a0,a1a1时，时， 则有则有综上知，当综上知，当a1a1a1时，时，考点考点: :利用不等式利用不等式( (组组) )表示不等关系表示不等关系【典例】【典例】某厂拟生产甲、乙两种适销产品某厂拟生产甲、乙两种适销产品, ,甲、乙产品都需要在甲、乙产品都需要在A,BA,B两两台设备上加工台设备上加工, ,在在A,BA,B设备上加工一件甲产品所需工时分别为设备上加工一件甲产品所需工时分别为1 1小时、小时、2 2小时小时, ,加工一件乙产品所需工时分别为加工一件乙产品所需工时分别为2 2小时、小时、1 1小时小时,A,B,A,B两台设备每两台设备每月有效使用时数分别为月有效使用时数分别为400400和和500.500.写出满足上述所有不等关系的不等写出满足上述所有不等关系的不等式组式组. .【解题提示】【解题提示】设出甲、乙两种产品的产量设出甲、乙两种产品的产量, ,再根据设备再根据设备A,BA,B的有效使用的有效使用时数时数, ,与甲、乙两种产品使用设备与甲、乙两种产品使用设备A,BA,B的工时数的关系列不等式组的工时数的关系列不等式组. .【规范解答】【规范解答】设甲、乙两种产品的产量分别为设甲、乙两种产品的产量分别为x x件，件，y y件，件，由题意可知，由题意可知，【规律方法】【规律方法】利用不等式利用不等式( (组组) )表示不等关系的关键和注意点表示不等关系的关键和注意点(1)(1)关键关键: :准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言准确将题目中的文字语言转化为数学符号语言( (如不等式如不等式).).(2)(2)注意点注意点: :注意注意“不超过不超过”“”“至少至少”“”“低于低于”表示的不等关系表示的不等关系, ,同时同时还应考虑变量的实际意义还应考虑变量的实际意义. .【变式训练】【变式训练】已知甲、乙、丙三种食物中维生素已知甲、乙、丙三种食物中维生素A,BA,B含量及成本如表含量及成本如表: :设用甲、乙、丙三种食物各设用甲、乙、丙三种食物各xkg,ykg,zkgxkg,ykg,zkg配成配成100kg100kg的混合食物的混合食物, ,并使并使混合物内至少含有混合物内至少含有5600056000单位维生素单位维生素A A和和6300063000单位维生素单位维生素B.B.试用试用x,yx,y表示混合食物成本表示混合食物成本C C元元, ,并写出并写出x,yx,y所满足的不等关系所满足的不等关系. .甲甲乙乙丙丙维生素维生素A/(A/(单位单位/kg)/kg)600600700700400400维生素维生素B/(B/(单位单位/kg)/kg)800800400400500500成本成本/(/(元元/kg)/kg)11119 94 4【解析】【解析】依题意依题意, ,得得C=11x +9y+4z,C=11x +9y+4z,又又x+y+z=100,x+y+z=100,所以所以C=400+7x+5yC=400+7x+5y由由及及z=100-x-y,z=100-x-y,得得所以所以x,yx,y所满足的不等关系为所满足的不等关系为【加固训练】【加固训练】将一个三边长度分别为将一个三边长度分别为5,12,135,12,13的三角形的各边都缩短的三角形的各边都缩短x,x,构成一个钝角三角形构成一个钝角三角形, ,试用不等式试用不等式( (组组) )表示表示x x应满足的不等关系应满足的不等关系. .【解析】【解析】由题意知由题意知考点考点2 2 不等式性质及其应用不等式性质及其应用知知考情考情利用不等式性质进行命题的判断是经常考查的考向利用不等式性质进行命题的判断是经常考查的考向, ,另外另外, ,不等式不等式性质与充要条件相结合判断条件是一个重要的考向性质与充要条件相结合判断条件是一个重要的考向, ,主要以选择题和主要以选择题和填空题为主填空题为主. . 明明角度角度命题角度命题角度1 1：不等式是否成立的判断不等式是否成立的判断【典例【典例2 2】(2015(2015银川模拟银川模拟) )设设a ab b1 1，c c0 0，给出下列三个结论，给出下列三个结论: : a ac cb bc c;log;logb b(a-c)(a-c)logloga a(b-c).(b-c).其中所有的正确结论的序号是其中所有的正确结论的序号是( )( )A. B. C. D.A. B. C. D.【解题提示】【解题提示】由不等式的性质可得由不等式的性质可得正确，由幂函数的单调性可得正确，由幂函数的单调性可得正确，引入中间变量正确，引入中间变量logloga a(a-c)(a-c)可得可得正确正确. .【规范解答】【规范解答】选选D.D.对对,ab1,ab1,所以所以 又因为又因为c0,c0,所以所以正确正确. .幂函数幂函数y=xy=xc c,c0,cb1,ab1,所以所以a ac cbb1,cb1,c0,-c0,所以所以a-cb-c1,a-cb-c1,所以所以loglogb b(a-c)log(a-c)loga a(a-c)log(a-c)loga a(b-c)(b-c)正确正确, ,故选故选D.D.命题角度命题角度2:2:充要条件的判断充要条件的判断【典例【典例3 3】设设xR,xR,则则“x x2 2-3x0-3x0”是是“x4x4”的的( () )A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件 B.B.必要而不充分条件必要而不充分条件C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解题提示】【解题提示】求出不等式求出不等式x x2 2-3x0-3x0的解集的解集, ,根据根据“小范围小范围” “大范围大范围”可判断可判断. .【规范解答】【规范解答】选选B.B.由由x x2 2-3x0-3x0得得x3x3或或x0,x0-3x0是是x4x4的必要而的必要而不充分条件不充分条件, ,故选故选B.B.悟悟技法技法1.1.判断不等式命题真假的方法判断不等式命题真假的方法(1)(1)判断不等式是否成立判断不等式是否成立, ,需要逐一给出推理判断或反例说明需要逐一给出推理判断或反例说明. .常用的常用的推理判断需要利用不等式性质推理判断需要利用不等式性质. .(2)(2)在判断一个关于不等式的命题真假时在判断一个关于不等式的命题真假时, ,先把判断的命题和不等式性先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑质联系起来考虑, ,找到与命题相近的性质找到与命题相近的性质, ,并应用性质判断命题真假并应用性质判断命题真假. .2.2.充要条件的判断方法充要条件的判断方法利用两命题间的关系利用两命题间的关系, ,看看p p能否推出能否推出q,q,再看再看q q能否推出能否推出p,p,充分利用不等充分利用不等式性质或特值求解式性质或特值求解. .通通一类一类1.(20151.(2015合肥模拟合肥模拟) )已知已知a a，b b，c c满足满足c cb ba a且且acac0 0，则下列选项，则下列选项中不一定成立的是中不一定成立的是( )( )【解析】【解析】选选C.C.因为因为c cb ba a且且acac0 0，所以，所以c c0 0，a a0 0，所以所以但但b b2 2与与a a2 2的关系不确定，故的关系不确定，故 不一定成立不一定成立 2.(20142.(2014山东高考山东高考) )已知实数已知实数x,yx,y满足满足a ax xaay y(0a1)(0aln(y+1)ln(y2 2+1)+1)C.sin xsin y D.xC.sin xsin y D.x3 3yy3 3【解题提示】【解题提示】本题考查了指数函数的性质，不等式的性质，先利用指本题考查了指数函数的性质，不等式的性质，先利用指数函数的性质判断数函数的性质判断x,yx,y的大小，然后判断每个选项的大小，然后判断每个选项. .【解析】【解析】选选D.D.由由a ax xaay y(0a1)(0ay,xy,所以所以选项选项具体分析具体分析结论结论A Ay= y= 在在(-,0)(-,0)上递增上递增, ,在在(0,+)(0,+)上递减上递减无法判断无法判断B By=ln(xy=ln(x2 2+1)+1)在在(-,0)(-,0)上递减上递减, ,在在(0,+)(0,+)上递增上递增无法判断无法判断C Cy=sinxy=sinx为周期函数为周期函数无法判断无法判断D Dy=xy=x3 3在在R R上为增函数上为增函数x x3 3yy3 33.(20153.(2015杭州模拟杭州模拟) )已知已知aR,aR,则则“a2a2”是是“a a2 22a2a”的的( () )A.A.充分不必要条件充分不必要条件B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析】【解析】选选A.A.因为当因为当“a2a2”成立时成立时,a,a2 2-2a=a(a-2)0,-2a=a(a-2)0,所以所以“a a2 22a2a”成立成立, ,即即“a2a2 a a2 22a2a”为真命题为真命题; ;而当而当“a a2 22a2a”成立时成立时,a,a2 2-2a=a(a-2)0,-2a=a(a-2)0,即即a2a2或或a0.a2a2不一定成立不一定成立, ,即即“a a2 22a2a a2a2”为假命题为假命题; ;故故“a2a2”是是“a a2 22a2a”的充分不必要条件的充分不必要条件, ,故选故选A.A.4.(20154.(2015济南模拟济南模拟) )若若a0b-a,cd0b-a,cdbc; a-cb-d;a(d-c)b(d-c)adbc; a-cb-d;a(d-c)b(d-c)中正确的是中正确的是. .【解析】【解析】因为因为a0b,cd0b,cd0,所以所以ad0,ad0,所以所以adbc,ad0b-a,a0b-a,所以所以a-b0,a-b0,因为因为cd0,cd-d0,cd0,-c-d0,cd0,所所以以a(-c)(-b)(-d),a(-c)(-b)(-d),所以所以ac+bd0,ac+bd0,所以所以 所以所以正确正确. .因为因为cd,c-d,-c-d,因为因为ab,ab,所以所以a-cb-da-cb-d，所以，所以正确正确.因为因为a0b,d-c0,a0b,d-c0,所以所以a(d-c)b(d-c),a(d-c)b(d-c),所以所以正确正确. .答案：答案：自我纠错自我纠错1313 不等式性质的应用不等式性质的应用【典例】【典例】设设f(x)=axf(x)=ax2 2+bx,+bx,若若1f(-1)2,2f(1)4,1f(-1)2,2f(1)4,则则f(-2)f(-2)的取值范围是的取值范围是_._.【解题过程】【解题过程】【错解分析】【错解分析】分析上面解题过程分析上面解题过程, ,你知道错在哪里吗你知道错在哪里吗? ?提示提示: :错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了f(-2)f(-2)的范围扩大的范围扩大. .【规避策略】【规避策略】用不等式性质求代数式取值范围的途径用不等式性质求代数式取值范围的途径利用不等式性质求某些代数式的取值范围时利用不等式性质求某些代数式的取值范围时, ,多次运用不等式的多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围性质时有可能扩大变量的取值范围. .解决此类问题一般是利用整体思解决此类问题一般是利用整体思想想, ,通过通过“一次性一次性”不等关系的运算求得整体的范围不等关系的运算求得整体的范围, ,是避免错误的有是避免错误的有效途径效途径. .【自我矫正】【自我矫正】方法一方法一: :设设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,nf(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数为待定系数),),则则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.于是得于是得 解得解得所以所以f(-2)=3f(-1)+f(1).f(-2)=3f(-1)+f(1).又因为又因为1f(-1)2,2f(1)4,1f(-1)2,2f(1)4,所以所以53f(-1)+f(1)10,53f(-1)+f(1)10,故故5f(-2)10.5f(-2)10.方法二方法二: :由由f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+bx得得f(-1)=a-b,f(-1)=a-b,f(1)=a+b,f(1)=a+b,由由+得得2a=f(1)+f(-1),2a=f(1)+f(-1),由由-得得2b=f(1)-f(-1),2b=f(1)-f(-1),从而从而f(-2)=4a-2b=2f(1)+f(-1)-f(1)-f(-1)=3f(-1)+f(1).f(-2)=4a-2b=2f(1)+f(-1)-f(1)-f(-1)=3f(-1)+f(1).因为因为1f(-1)2,2f(1)4,1f(-1)2,2f(1)4,所以所以3 31+23f(-1)+f(1)31+23f(-1)+f(1)32+4,2+4,所以所以53f(-1)+f(1)10.53f(-1)+f(1)10.所以所以f(-2)f(-2)的取值范围是的取值范围是5f(-2)10,5f(-2)10,即即f(-2)f(-2)的取值范围是的取值范围是5,10.5,10.答案答案: :5,105,10