精 品 数 学 课 件2019 届 北 师 大 版 6.2垂直关系的性质第1课时直线与平面垂直的性质问题引航引航1.1.线面垂直的性面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用定理的内容是什么？有什么作用？2.2.应用用线面垂直性面垂直性质定理定理时应注意什么？注意什么？直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理文字文字语言言如果两条直如果两条直线同垂直于一个平面，那么同垂直于一个平面，那么这两条两条直直线_图形形语言言符号符号语言言 _平行平行abab1.1.判一判判一判( (正确的打正确的打“”，错误的打的打“”) )(1)(1)已知直已知直线a a和直和直线c c，aa，若，若caca，则c.(c.() )(2)(2)在平面在平面和平面和平面中，中，aa，bb，且，且abab，则和和互相平行互相平行.(.() )(3)(3)已知平面已知平面和直和直线a a，b.b.若若aa，bb，则aa，b.(b.() )【解析解析】(1)(1)正确正确. .由由aa，caca，所以，所以c.c.(2)(2)正确正确. .由线面垂直的性质知由线面垂直的性质知. .(3)(3)错误错误.a.a，bb，则，则aa，bb或或a a，b b .答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.2.填一填填一填( (把正确的答案写在横把正确的答案写在横线上上) )(1)ABC(1)ABC所在的平面所在的平面为，直，直线lABAB，lACAC，直，直线mBCmBC，mACmAC，则直直线l，m m的位置关系是的位置关系是_._.(2)(2)平面平面平面平面，=l，n n ，nnl，直，直线mm，则直直线m m与与n n的位置关系是的位置关系是_._.(3)(3)在在圆柱上的一个底面上任取一点柱上的一个底面上任取一点( (该点不在底面点不在底面圆周上周上) )，过该点作另一个底面的垂点作另一个底面的垂线，则这条垂条垂线与与圆柱的母柱的母线所在所在直直线的位置关系是的位置关系是_._.【解析解析】(1)(1)因为因为lABAB，lACAC，ABAB ，ACAC ，且，且ABAC=AABAC=A，所以，所以l，同理可证，同理可证mm，所以，所以lm.m.答案：答案：lmm(2)(2)由题意知由题意知nn，mm所以所以mn.mn.答案：答案：mnmn(3)(3)由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行. .答案：答案：平行平行【要点探究要点探究】知知识点点 线面垂直的性面垂直的性质对线面垂直性面垂直性质的四点的四点说明明(1)(1)应用的用的问题情境：情境：直直线与平面垂直的性与平面垂直的性质定理，考定理，考查的是在直的是在直线与平面垂直的条与平面垂直的条件下，可以得出哪些件下，可以得出哪些结论. .(2)(2)本本质：线面垂直面垂直线线平行平行. .(3)(3)作用：作用：证明线线平行；证明线线平行；找找( (作作) )平行线平行线. .(4)(4)对性质定理的证明对性质定理的证明. .证明：如明：如图所示，假所示，假设a a与与b b不平行，不平行，设b b与与交于点交于点O O，bb是是经过点点O O与与a a平平行的直行的直线，因，因为abab，aa，所以，所以bb，这样，经过同一点同一点O O的两条的两条直直线b b、bb都垂直于平面都垂直于平面，这是不可能的是不可能的. .因此因此ab.ab.【微思考微思考】(1)(1)直直线与平面垂直的性与平面垂直的性质定理有几个条件？定理有几个条件？提示：提示：两个条件，即这两条直线都与平面垂直两个条件，即这两条直线都与平面垂直. .(2)(2)如果三条直如果三条直线都垂直于同一个平面，都垂直于同一个平面，则这三条直三条直线有什么有什么位置关系？位置关系？提示：提示：根据直线与平面垂直的性质定理知，这三条直线平行根据直线与平面垂直的性质定理知，这三条直线平行. .【即时练即时练】已知三条直已知三条直线a a，b b，c c和平面和平面，下列命，下列命题中正确的是中正确的是( () )A.aA.a，bb，则ababB.acB.ac，bcbc，则ababC.aC.a ，bb，则ababD.aD.a，bb，则abab【解析解析】选选D.AD.A中中a a与与b b的关系为相交、平行或异面，的关系为相交、平行或异面，B B中中a a与与b b可可能平行也可能异面，能平行也可能异面，C C中中a a与与b b可能平行也可能异面可能平行也可能异面. .【题型示范型示范】类型一型一 线面垂直的性面垂直的性质定理的定理的应用用【典例典例1 1】(1)(1)已知已知PAPA垂直于垂直于ABCDABCD所在平面，若所在平面，若PCBDPCBD，则ABCDABCD一定一定是是_._.(2)(2)如如图，已知，已知ABAB平面平面ACDACD，DEDE平面平面ACDACD，ACDACD为等等边三角形，三角形，AD=DE=2ABAD=DE=2AB，F F为CDCD的的中点中点. .求求证：平面：平面BCEBCE平面平面CDE.CDE.【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中由中由PAPA垂直于垂直于 ABCDABCD所在平面可以得到哪所在平面可以得到哪些垂直关系？些垂直关系？PCBDPCBD的作用是什么？的作用是什么？2.2.题题(2)(2)中，中，ABAB平面平面ACDACD，DEDE平面平面ACDACD，可以得到哪些关系，可以得到哪些关系？怎样说明平面？怎样说明平面BCEBCE平面平面CDECDE？【探究提示探究提示】1.1.由由PAPA垂直于垂直于ABCDABCD所在平面可得所在平面可得PAPA垂直于垂直于BDBD，PAACPAAC，PAABPAAB，PAADPAAD，PABCPABC，PACD.PACD.由由PCBDPCBD，结合，结合PABDPABD可以得到可以得到BDBD平面平面PAC.PAC.2.2.由线面垂直的性质定理可得，由线面垂直的性质定理可得，ABDEABDE，在平面，在平面BCEBCE中，找一中，找一条直线垂直于平面条直线垂直于平面CDECDE即可即可. .【自主解答自主解答】(1)(1)因为因为PAPA垂直于垂直于ABCDABCD所在平面，所在平面，BDBDABCDABCD所所在平面，在平面，所以所以PABDPABD，又因为，又因为PCBDPCBD，PAPC=P.PAPC=P.所以所以BDBD平面平面PACPAC，所以，所以BDACBDAC，所以所以ABCDABCD一定是菱形一定是菱形. .答案：答案：菱形菱形(2)(2)取取CECE的中点的中点G G，连接，连接FGFG，BGBG，AF.AF.因为因为F F为为CDCD的中点，所以的中点，所以GFDEGFDE，且且GF= DE.GF= DE.因为因为ABAB平面平面ACDACD，DEDE平面平面ACDACD，所以所以ABDE.ABDE.则则GFAB.GFAB.又因为又因为AB= DEAB= DE，所以，所以GF=AB.GF=AB.则四边形则四边形GFABGFAB为平行四边形为平行四边形. .所以所以AFBG.AFBG.因为因为ACDACD为等边三角形，为等边三角形，F F为为CDCD的中点，的中点，所以所以AFCD.AFCD.因为因为DEDE平面平面ACDACD，AFAF 平面平面ACDACD，所以，所以DEAF.DEAF.又因为又因为CDDE=DCDDE=D，CDCD 平面平面CDECDE，DEDE 平面平面CDECDE，所以所以AFAF平面平面CDE.CDE.因为因为BGAFBGAF，所以，所以BGBG平面平面CDE.CDE.因为因为BGBG 平面平面BCEBCE，所以平面，所以平面BCEBCE平面平面CDE.CDE.【延伸探究延伸探究】题(2)(2)中，若中，若G G为CECE的中点，的中点，AD=DE=2AB=2AD=DE=2AB=2，其他，其他条件不条件不变，试求四求四边形形ABGFABGF的面的面积. .【解题指南解题指南】先判断四边形先判断四边形ABGFABGF的形状，然后求面积的形状，然后求面积. .【解析解析】由由(2)(2)知知ABGFABGF为平行四边形，又为平行四边形，又ABAB平面平面ACDACD，AFAF平面平面ACDACD，所以，所以ABAFABAF，即平行四边形，即平行四边形ABGFABGF为矩形，由题意知为矩形，由题意知AB=1AB=1，AF= AF= ，所以四边形，所以四边形ABGFABGF的面积为的面积为1 1 = . = .【方法技巧方法技巧】1.1.线面垂直的性质定理和判定定理的应用线面垂直的性质定理和判定定理的应用线面垂直的性质定理结合其判定定理，其核心思想是转化思想，线面垂直的性质定理结合其判定定理，其核心思想是转化思想，即实现了线面垂直、线线垂直的相互转化，而且沟通了平行和即实现了线面垂直、线线垂直的相互转化，而且沟通了平行和垂直的内在联系，实现了平行和垂直的相互转化垂直的内在联系，实现了平行和垂直的相互转化. .2.2.证明线线平行的方法证明线线平行的方法(1)(1)在平面内证明线线平行的方法在平面内证明线线平行的方法三角形、梯形中位线的性质三角形、梯形中位线的性质. .平行四边形对边平行的性质平行四边形对边平行的性质. .平行线分线段成比例的性质平行线分线段成比例的性质. .两直线平行的判定两直线平行的判定( (如两直线被第三条直线所截，若同位角如两直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行相等，则两直线平行).).(2)(2)空间中两直线平行的判定空间中两直线平行的判定线线平行的定义：证共面且无公共点线线平行的定义：证共面且无公共点. .平行公理平行公理. .线面平行的性质定理线面平行的性质定理. .面面平行的性质定理面面平行的性质定理. .线面垂直的性质定理线面垂直的性质定理. .【变式式训练】(2014(2014江江苏高考高考) )如如图，在三棱在三棱锥P P- -ABCABC中，中，D D，E E，F F分分别为棱棱PCPC，ACAC，ABAB的中点的中点. .已知已知PAACPAAC，PA=6PA=6，BC=8BC=8，DF=5.DF=5.求求证：(1)(1)直直线PAPA平面平面DEF.DEF.(2)(2)平面平面BDEBDE平面平面ABC.ABC.【证明证明】(1)(1)因为因为D D，E E分别为棱分别为棱PCPC，ACAC的中点，的中点，所以所以PADEPADE，又又PAPA 平面平面DEFDEF，DEDE 平面平面DEFDEF，所以所以PAPA平面平面DEF.DEF.(2)(2)由由(1)PADE(1)PADE，又，又PAACPAAC，所以所以DEACDEAC，又又F F是是ABAB的中点，的中点，所以所以DE= PA=3DE= PA=3，EF= BC=4EF= BC=4，又又DF=5DF=5，所以，所以DEDE2 2+EF+EF2 2=DF=DF2 2，所以所以DEEFDEEF，EFEF，ACAC是平面是平面ABCABC内两条相交直线，内两条相交直线，所以所以DEDE平面平面ABCABC，又又DEDE 平面平面BDEBDE，故平面，故平面BDEBDE平面平面ABC.ABC.【补偿训练】(2013(2013西安高一西安高一检测) )如如图所示，在正方体所示，在正方体ABCD ABCD -A-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，M M是是ABAB上一点，上一点，N N是是A A1 1C C的中点，的中点，ADAD1 1与与A A1 1D D相交于相交于O O点，点，MNMN平面平面A A1 1DC.DC.求求证：MNADMNAD1 1. .【证明证明】因为因为ADDADD1 1A A1 1为正方形，所以为正方形，所以ADAD1 1AA1 1D.D.又因为又因为CDCD平面平面ADDADD1 1A A1 1，所以，所以CDADCDAD1 1. .因为因为A A1 1DCD=DDCD=D，所以，所以ADAD1 1平面平面A A1 1DC.DC.又因为又因为MNMN平面平面A A1 1DCDC，所以，所以MNADMNAD1 1. .类型二型二 线面垂直的性面垂直的性质的的综合合应用用【典例典例2 2】(1)(1)如如图，边长为a a的正的正ABCABC的中的中线AFAF与中位与中位线DEDE相交于相交于G G，已，已知知AEDAED是是AEDAED绕DEDE旋旋转过程中的一个程中的一个图形，形，现给出下列出下列说法，其中正确的有法，其中正确的有_(_(填上所有正确填上所有正确说法的序号法的序号).).动点点AA在平面在平面ABCABC上的射影在上的射影在线段段AFAF上上. .恒有平面恒有平面AGFAGF平面平面BCED.BCED.异面直异面直线AEAE与与BDBD不可能互相垂直不可能互相垂直. .(2)(2014(2)(2014南昌高一南昌高一检测) )如如图，四棱，四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面是正方的底面是正方形，形，PAPA底面底面ABCDABCD，PA=ABPA=AB，点，点M M在棱在棱PDPD上，且上，且PBPB平面平面AMC.AMC.试确定点确定点M M的位置的位置. .若点若点N N是是PBPB的中点，的中点，求求证：MNMN平面平面PAC.PAC.【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中中DEDE与平面与平面AGFAGF有怎样的关系有怎样的关系. .2.2.题题(2)(2)中，连接中，连接BDBD交交ACAC于于O O，则平面，则平面PBDPBD与平面与平面MACMAC的交线是什的交线是什么？么？PBPB与交线的关系是什么？与交线的关系是什么？中中BDBD与平面与平面PACPAC的关系是什么的关系是什么？MNMN与与BDBD的关系是什么？的关系是什么？【探究提示探究提示】1.DE1.DE平面平面AGF.AGF.2.2.平面平面PBDPBD与平面与平面MACMAC的交线是的交线是MOMO，PBOMPBOM，中中BDBD平面平面PACPAC，MNBD.MNBD.【自主解答自主解答】(1)(1)因为因为DEAGDEAG，DEGFDEGF，AGGF=GAGGF=G，所以所以DEDE平面平面AGF.AGF.又又DEDE 平面平面BCEDBCED，所以平面所以平面AGFAGF平面平面BCEDBCED，故，故正确正确. .过过AA作作AHAFAHAF，垂足为，垂足为H H，则，则AHAH 平面平面AGFAGF，所以所以AHDEAHDE，又，又DEAF=GDEAF=G，所以所以AHAH平面平面ABCABC，故，故正确正确. .易知易知BDEFBDEF，所以所以AEFAEF是异面直线是异面直线AEAE与与BDBD所成的角或补角所成的角或补角. .设正设正ABCABC的边长为的边长为2a2a，AE=aAE=a，EF=aEF=a，而而AFAF的长度的取值范围是的长度的取值范围是(0(0， a)a)，当当AF= aAF= a时，时，AEAE2 2+EF+EF2 2=AF=AF2 2，AEF=90AEF=90，此时直线此时直线AEAE与与BDBD互相垂直互相垂直. .故故错误错误. .答案：答案：(2)(2)如图，连接如图，连接BDBD交交ACAC于点于点O O，连接，连接OMOM，由，由PBPB平面平面AMCAMC，PBPB 平面平面PBDPBD，平面平面PBDPBD平面平面AMC=MOAMC=MO，所以所以PBOM.PBOM.又因为又因为O O是是BDBD的中点，的中点，所以所以M M是是PDPD的中点的中点. .由由N N是是PBPB的中点，得的中点，得MNBDMNBD，又因为四边形，又因为四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，所以所以BDAC.BDAC.因为因为PAPA平面平面ABCDABCD，所以，所以BDPABDPA，又又PAAC=APAAC=A，所以，所以BDBD平面平面PACPAC，所以所以MNMN平面平面PAC.PAC.【方法技巧方法技巧】1.1.直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质(1)(1)证明线线平行：若证明线线平行：若l，mm，则，则lm.m.(2)(2)证明线线垂直：若证明线线垂直：若l，m m ，则，则lm.m.(3)(3)证明面面平行：若证明面面平行：若l，l，则，则.(4)(4)证明线面垂直：证明线面垂直：若若lmm，l，则，则m.m.若若l，则，则l.2.2.线面垂直与平行的相互转化线面垂直与平行的相互转化(1)(1)空间中直线与直线垂直，直线与平面垂直，直线与平面平空间中直线与直线垂直，直线与平面垂直，直线与平面平行，直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判行，直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的终达到目的. .(2)(2)转化关系转化关系线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直 线线平行线线平行【变式式训练】(2012(2012北京高考北京高考) )如如图(1)(1)，在，在RtABCRtABC中，中，C=90C=90，D D，E E分分别为ACAC，ABAB的中点，点的中点，点F F为线段段CDCD上的一点，上的一点，将将ADEADE沿沿DEDE折起到折起到A A1 1DEDE的位置，使的位置，使A A1 1FCDFCD，如，如图(2).(2).(1)(1)求求证：DEDE平面平面A A1 1CB.CB.(2)(2)求求证：A A1 1FBE.FBE.(3)(3)线段段A A1 1B B上是否存在点上是否存在点Q Q，使使A A1 1CC平面平面DEQDEQ？说明理由明理由. .【解析解析】(1)(1)因为因为D D，E E分别为分别为ACAC，ABAB的中点，的中点，所以所以DEBC.DEBC.又因为又因为DEDE 平面平面A A1 1CBCB，BCBC 平面平面A A1 1CBCB，所以所以DEDE平面平面A A1 1CB.CB.(2)(2)由已知得由已知得ACBCACBC且且DEBCDEBC，所以所以DEAC.DEAC.所以所以DEADEA1 1D D，DECD.DECD.因为因为A A1 1DCD=DDCD=D，所以所以DEDE平面平面A A1 1DC.DC.而而A A1 1F F 平面平面A A1 1DCDC，所以所以DEADEA1 1F.F.又因为又因为A A1 1FCDFCD，DECD=DDECD=D，所以所以A A1 1FF平面平面BCDEBCDE，所以，所以A A1 1FBE.FBE.(3)(3)线段线段A A1 1B B上存在点上存在点Q Q，使使A A1 1CC平面平面DEQ.DEQ.理由如下：理由如下：如图，分别取如图，分别取A A1 1C C，A A1 1B B的中点的中点P P，Q Q，则则PQBC.PQBC.又因为又因为DEBCDEBC，所以，所以DEPQ.DEPQ.所以平面所以平面DEQDEQ即为平面即为平面DEQP.DEQP.由由(2)(2)知，知，DEDE平面平面A A1 1DCDC，所以所以DEADEA1 1C.C.又因为又因为P P是等腰三角形是等腰三角形DADA1 1C C底边底边A A1 1C C的中点，所以的中点，所以A A1 1CDP.CDP.又因为又因为DEDP=DDEDP=D，所以所以A A1 1CC平面平面DEQP.DEQP.从而从而A A1 1CC平面平面DEQ.DEQ.故线段故线段A A1 1B B上存在点上存在点Q Q，使得，使得A A1 1CC平面平面DEQ.DEQ.【补偿训练】如如图所示，所示，P P是四是四边形形ABCDABCD所在平面外的一点，四所在平面外的一点，四边形形ABCDABCD是是DAB=DAB=6060，且，且边长为a a的菱形的菱形. .侧面面PADPAD为正三角正三角形，其所在平面垂直于底面形，其所在平面垂直于底面ABCD.ABCD.(1)(1)若若G G为ADAD边的中点，求的中点，求证：BGBG平面平面PAD.PAD.(2)(2)求求证：ADPB.ADPB.【证明证明】(1)(1)连接连接PGPG，BDBD，由题知，由题知PADPAD为正三角形，为正三角形，G G是是ADAD的中点，的中点，则则PGAD.PGAD.又因为平面又因为平面PADPAD平面平面ABCDABCD，PGPG 平面平面PADPAD，所以所以PGPG平面平面ABCD.ABCD.因为因为BGBG 平面平面ABCDABCD，所以所以PGBG.PGBG.又因为四边形又因为四边形ABCDABCD是菱形，且是菱形，且DAB=60DAB=60，所以所以ABDABD是正三角形是正三角形. .则则BGAD.BGAD.又因为又因为ADPG=GADPG=G，且，且ADAD 平面平面PADPAD，PGPG 平面平面PAD.PAD.所以所以BGBG平面平面PAD.PAD.(2)(2)由由(1)(1)可知可知BGADBGAD，PGAD.PGAD.又因为又因为BGBG，PGPG为平面为平面PBGPBG内两条相交直线，内两条相交直线，所以所以ADAD平面平面PBG.PBG.因为因为PBPB 平面平面PBGPBG，所以，所以ADPB.ADPB.【规范解答规范解答】垂直关系的垂直关系的综合合应用用【典例典例】(12(12分分)(2014)(2014西安高二西安高二检测) )如如图，在三棱，在三棱锥P-ABCP-ABC中，中，PAPA底面底面ABCABC，ACB=90ACB=90，AEPBAEPB于于E E，AFPCAFPC于于F F，若，若PA=AB=2PA=AB=2，BPC=BPC=，则当当AEFAEF的面的面积为 时，求，求tantan的的值. .【审题审题】抓信息，找思路抓信息，找思路【解题解题】明步骤，得高分明步骤，得高分【点题点题】警误区，促提升警误区，促提升失分点失分点1 1：解题时若忽视：解题时若忽视处处AEAE的长度求解，则无法求出的长度求解，则无法求出AEAE，则会导致无法继续求解而最多得则会导致无法继续求解而最多得4 4分分. .失分点失分点2 2：解题时若忽视：解题时若忽视处处AEFAEF的面积的表达式不能探求的面积的表达式不能探求出出EFEF与与 的关系而造成失分，考试时最多得的关系而造成失分，考试时最多得8 8分分. .失分点失分点3 3：不能正确求出：不能正确求出AFAF的值，从而造成无法求解的值，从而造成无法求解PCPC，最后，最后在在PBCPBC中无法求出中无法求出tantan的值，考试中最多得的值，考试中最多得1010分分. .【悟题悟题】提措施，导方向提措施，导方向1.1.关注解题时的前提条件关注解题时的前提条件在解题时，容易忽视解题的前提条件，而不能正确地求出相关在解题时，容易忽视解题的前提条件，而不能正确地求出相关量，导致求不出或求错最终的结果量，导致求不出或求错最终的结果. .如本例中在利用垂直关系如本例中在利用垂直关系时，若忽略时，若忽略ACB=90ACB=90则不能得出则不能得出BCBC平面平面PACPAC，从而不能正，从而不能正确得到确得到AFAF与与EFEF的关系，不能表达出的关系，不能表达出S SAEFAEF. .2.2.注重运算能力的培养注重运算能力的培养在解题时，要熟练掌握相关的运算能力，如勾股定理、等积法在解题时，要熟练掌握相关的运算能力，如勾股定理、等积法的应用的应用. .在直角三角形中应用三角函数求角、求边等在直角三角形中应用三角函数求角、求边等. .如本例中如本例中的正切值等于对边与邻边的比值的正切值等于对边与邻边的比值. .【类题试解解】(2014(2014南昌高一南昌高一检测) )在正四面体在正四面体ABCDABCD中，中，AOAO平面平面BCDBCD，垂足，垂足为O O，设M M是是线段段AOAO上一点，且上一点，且满足足BMC=90.BMC=90.求求AMMO.AMMO.【解析解析】延长延长BOBO，交，交CDCD于点于点N N，可得，可得BNCDBNCD，且，且N N为为CDCD的中点的中点. .设正四面体设正四面体ABCDABCD的棱长为的棱长为1 1，得等边，得等边DBCDBC中，中，BN= BC= .BN= BC= .因为因为AOAO平面平面BCDBCD，所，所以以O O为等边三角形为等边三角形BCDBCD的中心，得的中心，得BO= BN= .BO= BN= .在在RtABORtABO中，中，AO= .AO= .设设MO=xMO=x，则，则RtBOMRtBOM中，中，BM=BM= . .因为因为BMC=90BMC=90，得，得BMCBMC是等腰直角是等腰直角三角形，所以三角形，所以BM=CM= BCBM=CM= BC，即，即 ，解得，解得x=x=由此可得由此可得AM=AO-MO= AM=AO-MO= ，所以，所以MO=AM= MO=AM= ，得，得AMMO=1.AMMO=1.