学习必备欢迎下载高三数学总复习立体几何复习(1)一、基本知识回顾(1)重要的几何位置关系；平行与垂直。主要包括线线、线面、面面三种情况。证明的基本思路：一般情况下，利用判定定理。而构造满足判定定理的条件时一般采用性质定理，即利用性质定理逆推来寻找满足判定定理的条件(关键图形 )。一般的思路是：线线 线面 面面，即高维的位置关系借助低维的位置关系来证明(判定 )，低维位置关系作为高维位置关系的性质。下面列表说明证明的一般方法。(需要说明的是，表中的性质定理并不是该表格所判定的位置关系的性质定理。如表1 中的性质定理并不仅限于线线平行的性质。) 线线平行的判定：平行公理性质定理线面平行的判定：判定定理性质定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载面面平行的判定；判定定理性质定理线面平行面面平行线线垂直的判定：判定定理性质定理线面垂直的判定：判定定理性质定理面面垂直的判定：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载判定定理总结：从中可以看出，一般情况下，往往借助一些“ 性质定理 ” 来构造满足 “ 判定定理 ”的条件。(2)还会考查到的位置关系：异面直线的判定。判定方法：定义(排除法与反证法)、判定定理。二、基本例题例 1已知：分析：利用线面平行的性质与平行公理。注意严格的公理化体系的推理演绎。说明：过 l 分别作平面lm 同理 ln mn 又精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载又例 2.已知： AB 是异面直线a、b 的公垂线段， P 是 AB 的中点，平面经过点 P 且与AB 垂直，设M 是 a 上任意一点， N 是 b 上任意一点。求证：线段MN 与平面的交点 Q 是线段 MN 的中点。分析：利用线线平行、线面平行的性质。证明：连结BM，设，连结 PR，QR 在平面 ABM 中， ABPR，AB AM AM PR，且 R 为 BM 中点同理可证BN 平面 BMN 且平面BNRQ BMN 中，由 R 为 BM 中点可知Q 为 MN 中点。例 3.已知 PA矩形 ABCD 所在的平面，M、N 分别是 AB 、PC 的中点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载(1)求证： MN 平面 PAD；(2)求证： MN CD 分析：利用性质定理来构造满足判定定理的条件。(1)法一：取 PD 中点 E，连结 NE，AE PCD 中 NE，又 AM， AMNE 四边形 AMNE 为平行四边形，MN AE MN 平面 PAD 法二：连结CM 并延长与DA 延长线交于F，连结 PF M 为 CF 中点， MN PF， MN 平面 PAD 法三：取 CD 中点 G，连结 NG，MG NGPD，MG AD ，平面AD 平面 MNG MN 平面 PAD (2)PA平面 ABCD ， PACD 又 CDAD ， CD平面 PAD 由(1)知 CDAE( 或 PF)， CDMN 或 CD平面 MNG ， CDMN 例 4.已知：正三棱柱ABC-A1B1C1中， M 是 BB1上一点，平面AMC1平面 A1ACC1，N 是 A1C1的中点， P 是 A1A 的中点，求证：平面AMC1平面 B1NP 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载证明：在平面AMC1中作 MD AC1MD 平面 ACC1A1由正三棱柱的性质，B1N平面 ACC1A1MD B1N 又A1AC1中， DN AC1且 AC1MD=D ，DN B1N=N 平面 AMC1B1NP 例 5如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形， PA平面 ABCD 。过 A 且垂直于 PC 的平面分别交PB、PC、PD 于 E、F、 G。求证： AEPB，AGPD 分析：利用线面垂直的性质。证明： PA平面 ABCD ， PABC 由已知 BCAB ， BC平面 PAB， BCAE PC平面 AGFE ， PCAE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载AE平面 PBC AEPB，同理 AGPD 例 6.已知：三棱锥A-BCD ，AO1平面 BCD， O1为垂足，且O1是BCD 的垂心。求证： D 在平面 ABC 上的射影是 ABC 的垂心。分析：利用线面垂直的性质。证明：连结DO1，AO1设 D 在平面 ABC 内的射影为O2，连结 DO2，AO2，AO1平面 BCD ， DO1为 AD 在平面 BCD 内射影同理 AO2为 AD 在平面 ABC 内射影O1为 BCD 的垂心DO1BC BCAD BCAO2同理 AB CO2O2为ABC 的垂心例 7已知：正三棱柱ABC-A1B1C1中， AB1BC1，求证： A1CAB1分析：三垂线定理的逆定理的应用(线面垂直的性质) 证明：取 AB 、A1B1中点 DD1，连结 A1D，CD， C1D1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载由正三棱柱的性质C1D1平面 ABB1A1，CD平面 ABB1A1，A1D、BD1分别为 A1C 与 BC1在平面 ABB1A1内的射影AB1BC1， AB1BD1。在矩形 ABB1A1中 A1DBD1， AB1A1D AB1A1C 例 8如图， PA平面 ABCD ，四边形ABCD 是矩形， PA=AD=a ，M、N 分别是 AB 、PC 的中点。求证：平面MND 平面 PCD。证明：取 PD 中点 E，连结 NE 、AE 由例 3，MN AE， CDMN ，CD平面 PAD PA平面 ABCD PAAD 等腰 Rt PAD 中 AEPD RtPCD 中 NECD， NEPD PD平面 MNEA ， PDMN MN 平面 PCD 平面 MND 平面 PCD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页