2.3.12.3.1平面向量的基本定理平面向量的基本定理 设设 、 是同一平面内的两个不共是同一平面内的两个不共线的向量，线的向量，a 是这一平面内的任一向量，是这一平面内的任一向量，我们研究我们研究 a 与与 、 之间的关系。之间的关系。a研究研究OC = OM + ON =OC = OM + ON =OA + OBOA + OB即即 a = + .= + .aA AO OaC CB BN NM M M MN N平面向量基本定理 一向量 a 有且只有一对实数 、 使共线向量，那么对于这一平面内的任 如果 、 是同一平面内的两个不a = + 示这一平面内所有向量的一组基底。我们把不共线的向量 、 叫做表（1）一组平面向量的基底有多少对？（有无数对）思考E EF F F FA AN NB BaM MO OC CN NM MM MO OC CN NaE E思考 (2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数 、 是否相同？ （可以不同，也可以相同）O OC CF FM MN NaE E E EA AB BN NOC = 2OB + ON OC = 2OB + ON OC = 2OA + OEOC = 2OA + OEOC = OF + OE OC = OF + OE 特别的，若特别的，若 a = 0 ，则有且只有则有且只有 ： 可使可使 0 =+.= 0？若若 与与 中只中只有一个为零，情有一个为零，情况会是怎样？况会是怎样？特别的，若特别的，若a与与 （ ）共线，则有）共线，则有 =0（ =0），使得），使得: a = + .已知向量 求做向量-2.5 +3 例3： 、 OABCOABC例4D DC CB BA AM M 例 ABCD中，E、F分别是DC和AB的中点，试判断AE,CF是否平行？FBADCE 例5、 如图，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点. 请大家动手,在图中确定一组基底，将其他向量用这组基底表示出来。ANMCDB解析：BC = BD + DC = MN = DN-DM =(AN-AD)- DC(ADAB)+DCANMCDBDC = AB =设AB = ,AD = ,则有：= - .= - + = = - - - -+ 设 a、b是两个不共线的向量，已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b,CD = 2a b,若A、B、D三点共线，求k的值。 A、B、D三点共线解：AB与BD共线，则存在实数使得AB = BD.使得AB = BD.思考思考k = 8 .= a 4b由于BD = CD CB =(2a b) (a +3b)则需 2a + kb = (a 4b ) 由向量相等的条件得2 =k = 4则需 2a + kb = (a 4b ) 2 - = 0k 4 = 0此处可另解：k = 8 .即（2 - ）a +(k - 4 )b = 02.3.2 平面向量的坐标表示与运算平面向量的坐标表示与运算2.3.2 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示1在平面内有点在平面内有点A和点和点B，向量怎样向量怎样 表示？表示？2平面向量基本定理的内容？什么叫基底？平面向量基本定理的内容？什么叫基底？a =xi + yj有且只有一对实有且只有一对实数数x、y，使得使得3分别与分别与x 轴轴、y 轴方向相同的两单位向量轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作能否作为基底？为基底？Oxyij任一向量任一向量a ，用这组基底可表示为用这组基底可表示为a（x，y）叫做向量叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作a=xi + yj那么那么i =（ ， ） j =( ， )0 =（ ， ） 1 00 10 02.3.2 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示OxyijaA(x, y)a1以原点以原点O为起点作为起点作 ，点，点A的位置由谁确定的位置由谁确定?由由a 唯一确定唯一确定2点点A的坐标与向量的坐标与向量a 的坐标的关系？的坐标的关系？两者相同两者相同向量向量a坐标（坐标（x ，y）一一 一一 对对 应应概念理解概念理解3两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？2.3.2 平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示解：由图可知解：由图可知同理，同理，例例1如图，用基底如图，用基底i ，j 分别表示向量分别表示向量a、b 、c 、d ，并并求它们的坐标求它们的坐标AA2A12.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算1.已知已知a ， b ，求，求a+b，a-b解：解：a+b=( i + j ) + ( i + j )=（ + )i+（ + )j即即a + b同理可得同理可得a - b两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差2.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算2已知已知 求求xyO解：解： 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标标减去始点的坐标 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标应坐标2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 例例2已知已知a=（2，1），），b=（-3，4），求），求a+b，a-b，3a+4b的坐标的坐标解：解： a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）2.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 例例3 已知已知 ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐标分别为的坐标分别为（2，1）、（）、（ 1，3）、（）、（3，4），求顶点），求顶点D的坐标的坐标解：设顶点解：设顶点D的坐标为（的坐标为（x，y）2.3.4平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示1.如何用坐标表示向量平行如何用坐标表示向量平行(共线共线)的充要条件的充要条件? 会得到什么样的重要结论会得到什么样的重要结论?1.向量向量 与非零向量与非零向量 平行平行(共线共线)的充要条件是有且的充要条件是有且2. 只有一个实数只有一个实数 , 使得使得设设即即 中中,至少有一个不为至少有一个不为0 ,则由则由 得得这就是说这就是说: 的充要条件是的充要条件是 3. 向量平行向量平行(共线共线)充要条件的两种形式充要条件的两种形式:2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示例例 题题1.已知已知2.已知已知3. 求证求证: A、B、C 三点共线。三点共线。3.若向量若向量 与与 共线且共线且4. 方向相同方向相同, 求求 x.2.3.4 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示