平面几何知识要点（一）【线段、角、直线】1.过两点有且只有一条直线。2.两点之间线段最短。3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。4.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。垂直平分线，简称 “ 中垂线 ” 。定义： 经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。中垂线性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段。垂直平分线定理:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。逆定理 ：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心 ，并且这一点到三个顶点的距离相等。角1.同角或等角的余角相等。2.同角或等角的补角相等。3.对顶角相等。角的平分线性质角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合定理 1： 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理 2： 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。三角形各内角平分线的交点，该点叫内心， 它到三角形三边距离相等。【平行线】平行线性质1：两直线平行，同位角相等。平行线性质2：两直线平行，内错角相等。平行线性质3：两直线平行，同旁内角互补。平行线判定1：同位角相等，两直线平行。平行线判定2：内错角相等，两直线平行。平行线判定3：同旁内角互补，两直线平行。平行线判定4：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。平行公理 ：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 30 页平面几何知识要点（二）【三角形 】面积公式：1 已知三角形底a，高 h，12Sah2 正三角形面积S=234a(a 为边长正三角形) 3已知三角形三边a,b,c ，则()()()Sp papbpc（海伦公式）其中：()2abcp（周长的一半）4已知三角形两边a， b 及这两边夹角C，则1sin2SabC。5设三角形三边分别为a、b、 c，内切圆半径为r，则()2abc rS6设三角形三边分别为a、 b、 c，外接圆半径为R，则4abcSR记住 ：已知正三角形边长为a，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有：33Ra，36ra，2Rr内角和定理：三角形三个内角的和等于180推论 1 ：直角三角形的两个锐角互余推论 2 ：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论 3 ：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角全等三角形性质：如果两三角形全等，那么其对应边，对应角相等。其中对应边除了三角形的边长外，还包括对应高，对应中线，对角平分线。全等三角形判定定理：边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等。（SSS）边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS）角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA）推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。相似三角形性质定理性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比。性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 30 页相似三角形判定定理判定定理1：两角对应相等，两三角形相似（ASA）判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交， 所构成的三角形与原三角形相似。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论 1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。推论 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。定理： 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等。推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。推论 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合。（三线合一）推论 3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论 2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形直角三角形1勾股定理 ：直角三角形两直角边a、b 的平方和、等于斜边c 的平方（222abc）逆命题： 如果三角形的三边长有关系222abc，那么这个三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理可以判断一个三角形为锐角或钝角的一个简单的方法，其中c为最长边: 如果：222abc，则 ABC 是直角三角形；如果222abc，则 ABC 是锐角三角形；如果222abc，则 ABC 是钝角三角形。2直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。逆命题 ：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半，由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 30 页此性质可推出：含30 的直角三角形三边之比为1：3：2。4.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。5.直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和减去斜边的差的一半，即2abcr也等于abrabc6. 射影定理： 如果 ABC 是直角三角形, C=90 ， CD AB ，则2.ACAD AB2.BCDB AB2.CDAD DB22ACADBCDB如果 ABC ， CD AB ，2.CDAD DB，则 : ADC CDB对一般三角形的拓展：如图，如果ADC ACB ，则：2.ACAD AB7如果 ADE= B 或 AED= C，或C+ DEB=180 , 或B+CDE=180 那么有： AD AC=AE AB 8.如果 DEBC , 那么有：:ADACAEABDEBC9在 ABC 中， AD 是 A 的平分线，那么：ABBDACDCA B C D a b c h a b c o r ABCDA B C D ABCDEABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 30 页10内、外角角平分线：DO 平分 AOB ，EO 平分 COB ，可以推出：DOE=90 ,AOD+ COE=90平面几何知识要点（三）【四边形及多边形】面积公式：平行四边形面积=底高矩形面积 =长宽菱形面积 =对角线乘积的一半或 菱形面积 =底高梯形面积 =()2上底下底高=中位线高对角线相互垂直四边形面积=对角线乘积的一半。平行四边形：性质定理 1：平行四边形两组对边分别平行性质定理 2：平行四边形两组对角分别相等。性质定理 3：平行四边形两组对边分别相等。推论： 夹在两条平行线间的平行线段相等；平行线间的距离处处相等。性质定理 4：平行四边形的对角线互相平分。是中心对称图形判定定理 1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定定理 2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。判定定理 3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。判定定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。判定定理 5：对角线互相平分的四边形是平行四边形。矩形性质定理 1：矩形对边分别平行且相等；性质定理 2：矩形的四个角都是直角。性质定理 3：矩形对角线互相平分且相等性质定理 4：矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形判定定理 2：有一个直角的平行四边形；判定定理 3：对角线相等的平行四边形是矩形菱形性质定理 1：菱形对边平行，四条边都相等。性质定理 2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。性质定理 3：菱形既是中心对称图形也是轴对称图形。判定定理 1：四边都相等的四边形是菱形。判定定理 2：一组邻边相等的平行四边形是菱形；判定定理 3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形性质定理 1：正方形对边平行，四边相等；性质定理 2：正方形的四个角都是直角；OBDEAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 30 页性质定理 3：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。性质定理 3：正方形既是中心对称图形也是轴对称图形。判定定理 1：有一个直角一组邻边相等的平行四边形是正方形；判定定理 2：一组邻边相等的矩形是正方形；判定定理 3：一个角为直角的菱形是正方形。等腰梯形性质定理 1：等腰梯形两底互相平行，两腰相等；性质定理 2：等腰梯形在同一底上的两个底角相等。性质定理 3：等腰梯形的两条对角线相等。性质定理 4：等腰梯形是轴对称图形。判定定理 1：腰相等的梯形是等腰梯形；判定定理 2：在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。判定定理 3：对角线相等的梯形是等腰梯形。如果等腰梯形对角线相互垂直，则高与中位线相等。四边形四边中点连成的四边形图形：1 如果原四边形对角线相等且垂直，那么四边形中点连成的新四边形为正方形；2 如果原四边形对角线只相等不垂直，那么四边形中点连成的新四边形为菱形；3 如果原四边形对角线垂直但不相等，那么四边形中点连成的新四边形为矩形；4 如果原四边形对角线既不相等又非垂直，那么四边形中点连成的新四边形为平行四边形。5 四边形中点连接的图形的面积是原四边形面积的一半.其它定理和公式1定理： 四边形的内角和等于360，四边形的外角和等于360。2多边形内角和定理: n 边形的内角的和等于（n-2） 180推论：任意多边的外角和等于3603n 边形从一个顶点出发的对角线，共有(n3)条，将 n 边形分成了 (n2)个三角形；n 边形一共有n2(n3)条对角线。4正 n 边形的每个内角都等于：(2)180nn常用辅助线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 30 页平面几何知识要点（四）【圆、弧、弦 】圆及圆的相关量的定义圆的定义 ：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。弧、弦的定义： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做 直径 。圆、弧的表示方法: 圆-弧- 弦心距定义：圆心到弦的距离叫做弦心距。弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。圆心角定义：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆周角定义：顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。圆心距定义：两圆圆心之间的距离叫做圆心距。连心线定义：过平面内不重合的两个圆的圆心的直线叫做这两个圆的连心线。扇形定义 : 在圆上，由2 条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。三角形的外接圆：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的 外心 。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3 个顶点距离相等。三角形的内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心 。内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3 边距离相等。圆的内接正n 边形、圆的外切正n 边形定义： 把圆分成n(n 3)等分：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形。经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。圆内接四边形面积：()()()()Sp papbpcpd其中：1()2pabcd圆的外切四边形的两组对边的和相等：AB CDAD BC a b c d ABDC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 30 页公切线定义: 和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。内公切线定义：两个不相交的圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。外公切线定义：两个不相交的圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线。右图中：直线AB 、CD就是两圆的公切线，其中AB为外公切线，CD 为内公切线。公切线长计算公式：设 1o半径为 R，2o半径为 r，Rr，两圆的圆心距为d外公切线长=22()dRr内公切线长=22()dRr当两圆相切时，无内公切线长。直线与圆有三种位置关系：1.无公共点为相离；2有 2 个公共点为相交；3圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线 ，这个唯一的公共点叫做切点 。两圆之间有5 种位置关系：1.无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，2在之内叫内含；3有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，4在之内叫内切；5有 2 个公共点的叫相交。圆的基本性质: 1点 P 与圆 O 的位置关系（设P 是一点，则PO 是点到圆心的距离）：当 P 在 O 外， PO r；当 P 在 O 上， POr；当 P 在 O 内， PO r。2直线 AB 与圆 O 的位置关系（设OP AB 于 P，则 PO 是直线 AB 到圆心的距离）：当 AB 与 O 相离， PO r；当 AB 与 O 相切， PO r；当 AB 与 O 相交， PO r。3圆与圆的位置关系（设两圆的半径分别为R 和 r，且 Rr ，圆心距为P）：外离 PR+r ；外切 P=R+r ；相交 R-r PR+r ；内切 P=R-r ；内含 0P R-r。4同圆或等圆的半径相等。5圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。6. 不在同一直线上的3 个点确定一个圆。7. 一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。8圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。圆的定理：A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 30 页垂径定理 ：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论 1： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。2PTPAPB推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。PAPBPCPD（此推论也叫割线定理 ）相交弦定理 ：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。注： 切割线定理与割线定理，相交弦定理统称为圆幂定理。弦切角定理 ：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等定理 1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。定理 2：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。定理 3：两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦。定理4 两圆相切时，连心线通过切点。定理 5：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。定理 6：圆的外切四边形的两组对边的和相等。定理 7：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。P T A C B D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 30 页圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式圆周长圆的面积弧长扇形面积公式2Crd2Sr180n rl213602nSrlr注：半径 r 直径 d 扇形弧长 l周长 C 面积 S n-扇形的 圆心角扇形与弓形的联系与区别图示面积=SSS弓形扇形1=S2S圆弓形=S+SS弓形扇形注: （ 1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。（ 2）弓形的周长弦长弧长圆锥与圆柱的比较名称圆锥圆柱图形注：圆锥的母线长为l，底面圆的半径为 r 圆柱的底面半径为r，高为 h 图 形 的 形 成 过程由一个直角三角形旋转得到的，如RtSOA 绕直线 SO 旋转一周。由 一 个 矩 形 旋 转 得 到 的 ， 如 矩 形ABCD 绕直线 AB 旋转一周。图形的组成一个底面和一个侧面两个底面和一个侧面侧 面 展 开 图 的特征扇形矩形面积计算方法Srl侧2Srh侧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 30 页2S +S =Srlr侧全底2S +2S =22Srhr侧全底【三角形五心 】 ：内心、外心、重心、垂心、旁心三角形内心 ：三角形三个内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心，其半径r 是交点到一边的距离。性质：到三边距离相等。三角形外心 ：三角形三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心，其半径R 是交点到顶点的距离。性质：外心到三顶点的距离相等若 O 是 ABC 的外心，则BOC=2 A （ A 为锐角或直角） 或 BOC=360 -2A（ A 为钝角）。当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。三角形重心 ：三角形三条中线的交点。性质： 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21。重心和三角形3 个顶点组成的3 个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。重心到三角形3 个顶点距离的平方和最小。在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为123123(,)33xxxyyy三角形垂心 ：三角形三条高所在直线的交点。性质： 垂心分每条高线的两部分乘积相等。垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2 倍。rOROOOO内心外心重心垂心旁心精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 30 页三角形旁心 ：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点性质：旁心到三边的距离相等性质 5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。圆的基本概念l1O2OA B C E F G H I J m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 30 页如上图：直线l为连心线 ; 线段 AB 称为 弦; 1O圆心1O到线段 AB 的距离1O C称为 弦心距；12OO之间距离称为 圆心距； 直线 EF 外公切线； 直线 BG 内公切线； E,F,I 称为 切点；AmB称为 劣弧 ; AEB称为 优弧 ; 2GO J称为 圆心角 ；GIJ 称为 圆周角；GIH 称为 弦切角 ; 三角形的外接圆三角形的内切圆两圆外切两圆内切两圆相交内含相离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 30 页经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CDAB ，EFAB ，EGCO求证： CD GF （初二）2、已知：如图，P是正方形ABCD 内点， PAD PDA 150求证： PBC 是正三角形 （初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A1B1C1D1都是正方形， A2、B2、C2、D2分别是 AA1、BB1、CC1、DD1的中点求证：四边形A2B2C2D2是正方形（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中， AD BC，M、N 分别是 AB 、CD 的中点， AD 、BC 的延长线交MN 于 E、F求证： DEN FA P C D B A F G C E B O D D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 A N F E C D M B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 30 页P C G F B Q A D E 经典难题（二）1、已知： ABC 中， H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM BC 于 M（1）求证： AH 2OM ；（2）若 BAC 600，求证： AH AO （初二）2、设 MN 是圆 O 外一直线，过O 作 OAMN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于B、C 及D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q求证： APAQ （初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O 的弦，过MN 的中点 A 任作两弦BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN 于P、Q求证： APAQ （初二）4、 如图，分别以 ABC 的 AC 和 BC 为一边，在 ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG，点 P 是 EF 的中点求证：点P 到边 AB 的距离等于AB 的一半（初二）A D H E M C B O G A O D B E C Q P N M O Q P B D E C N M A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 30 页经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形， DEAC ，AEAC， AE 与 CD 相交于 F求证： CECF （初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形， DEAC ，且 CECA ，直线 EC 交 DA 延长线于F求证： AEAF （初二）3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点， PFAP，CF 平分 DCE求证： PAPF （初二）4、如图， PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径， PEF 为圆的割线， AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证： AB DC，BCAD （初三）D A F D E C B E D A C B F F E P C B A O D B F A E C P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 30 页经典难题（四）1、已知： ABC 是正三角形， P 是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求： APB 的度数（初二）2、设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且PBA PDA 求证： PAB PCB （初二）3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB CD AD BCAC BD （初三）4、平行四边形ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且AECF求证： DPA DPC （初二）A P C B P A D C B C B D A F P D E C B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 30 页经典难题（五）1、设 P 是边长为1的正 ABC 内任一点， LPAPBPC，求证：L22、已知： P 是边长为1 的正方形ABCD 内的一点，求PA PBPC 的最小值3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长4、如图， ABC 中， ABC ACB 800，D、E 分别是 AB、AC 上的点， DCA 300，EBA 200，求 BED 的度数APCBACBPDEDAACBPD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 30 页经典难题（一）1.如下图做GHAB, 连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFH OEG, 即 GHF OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又 CO=EO ，所以 CD=GF 得证。2. 如下图做 DGC 使与 ADP 全等，可得 PDG 为等边，从而可得 DGC APD CGP,得出 PC=AD=DC, 和 DCG= PCG150 所以 DCP=300 ，从而得出PBC 是正三角形3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E. 连接 C2F与 A2E并延长相交于 Q点，连接 EB2并延长交 C2Q于 H点，连接 FB2并延长交 A2Q于 G点，由 A2E=12A1B1=12B1C1= FB2 ，EB2=12AB=12BC=FC1 ，又GFQ+Q=900和GEB2+Q=900,所以 GEB2=GFQ 又 B2FC2=A2EB2，可得 B2FC2 A2EB2，所以 A2B2=B2C2，又 GFQ+HB2F=900和 GFQ= EB2A2 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 30 页从而可得 A2B2 C2=900 ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。4.如下图连接 AC并取其中点 Q ， 连接 QN和 QM ， 所以可得QMF= F，QNM= DEN和 QMN= QNM ，从而得出DEN F。经典难题（二）1.(1) 延长 AD到 F连 BF ，做 OGAF, 又 F=ACB= BHD ，可得 BH=BF, 从而可得 HD=DF ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 30 页又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2) 连接 OB ，OC,既得BOC=1200，从而可得 BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO, 得证。3. 作 OFCD ，OGBE，连接 OP，OA，OF，AF，OG，AG， OQ。由于22ADACCDFDFDABAEBEBGBG=，由此可得 ADF ABG ，从而可得 AFC= AGE 。又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得AFC= AOP 和 AGE= AOQ，AOP=AOQ，从而可得AP=AQ 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 30 页4. 过 E,C,F 点分别作 AB所在直线的高 EG ，CI，FH 。可得 PQ=2EGFH+。由 EGA AIC ，可得 EG=AI ，由 BFH CBI，可得 FH=BI 。从而可得PQ=2AIBI+= 2AB，从而得证。经典难题（三）1. 顺时针旋转 ADE ，到 ABG ，连接 CG. 由于ABG= ADE=900+450=1350精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 30 页从而可得B，G， D 在一条直线上，可得AGB CGB。推出 AE=AG=AC=GC ，可得 AGC 为等边三角形。AGB=300，既得 EAC=300，从而可得 A EC=750。又 EFC=DFA=450+300=750. 可证： CE=CF 。2. 连接 BD作 CH DE，可得四边形CGDH 是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH ，可得 CEH=300，所以 CAE= CEA= AED=150，又 FAE=900+450+150=1500，从而可知道F=150，从而得出AE=AF 。3. 作 FGCD ，FEBE，可以得出GFEC 为正方形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 30 页令 AB=Y ，BP=X ,CE=Z , 可得 PC=Y-X 。tanBAP=tan EPF=XY=ZYXZ-+，可得 YZ=XY-X2+XZ ，即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出 ABP PEF ，得到 PAPF ，得证。经典难题（四）1. 顺时针旋转ABP 600，连接 PQ ，则 PBQ 是正三角形。可得PQC 是直角三角形。所以 APB=1500。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 30 页2. 作过 P点平行于 AD的直线，并选一点E，使 AE DC ，BE PC. 可以得出ABP= ADP= AEP，可得：AEBP 共圆（一边所对两角相等）。可得 BAP= BEP=BCP，得证。3. 在 BD取一点 E，使BCE=ACD ，既得 BEC ADC ，可得：BEBC=ADAC，即 AD ? BC=BE ? AC ，又 ACB= DCE，可得 ABC DEC，既得ABAC=DEDC，即 AB ? CD=DE ? AC，由 +可得 : AB? CD+AD ? BC=AC(BE+DE)= ACBD ，得证。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 30 页4. 过 D作 AQAE ，AG CF ，由ADES=2ABCDS=DFCS，可得：2A E P Q=2AE PQ，由 AE=FC 。可得 DQ=DG ，可得 DPA DPC（角平分线逆定理） 。经典难题（五）1. （1）顺时针旋转BPC 600，可得 PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP，PE， EF 在一条直线上，即如下图：可得最小L=；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 30 页（2）过 P点作 BC的平行线交 AB,AC与点 D ，F。由于 APD ATP= ADP ，推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FC PC 又 DF=AF 由可得：最大L 2 ；由（ 1）和（ 2）既得：L2 。2. 顺时针旋转 BPC 600，可得 PBE 为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 30 页既得 AF=213(1)42+= 23+= 42 32+= 2( 31)2+= 2( 31)2+= 622+。3. 顺时针旋转 ABP 900，可得如下图：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 30 页既得正方形边长L = 2222(2)()22a+= 52 2 a+。4. 在 AB上找一点 F，使BCF=600，连接 EF，DG，既得 BGC 为等边三角形，可得 DCF=100 , FCE=200 ,推出 ABE ACF ，得到 BE=CF ， FG=GE 。推出： FGE 为等边三角形，可得 AFE=800，既得： DFG=400又 BD=BC=BG ，既得 BGD=800，既得 DGF=400推得： DF=DG ,得到： DFE DGE ，从而推得：FED= BED=300。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 30 页