名师总结优秀知识点二项式定理一、二项式定理：nnnkknknnnnnnbCbaCbaCaCba110（Nn）等号右边的多项式叫做nba的二项展开式，其中各项的系数knC)3, 2, 1 ,0(nk叫做二项式系数。对二项式定理的理解：（1）二项展开式有1n项（2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1 到 0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0 逐项加 1 到n（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数ba,，等式都成立，通过对ba,取不同的 特 殊 值 ， 可 为 某 些 问 题 的 解 决 带 来 方 便 。 在 定 理 中 假 设xba，1， 则nnnknknnnnnxCxCxCxCx101（Nn）（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式nba展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式nba二、二项展开式的通项：kknknkbaCT1二项展开式的通项kknknkbaCT1)3 ,2, 1 ,0(nk是二项展开式的第1k项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项kknknkbaCT1)3,2, 1 ,0(nk的理解：（1）字母b的次数和组合数的上标相同（2）a与b的次数之和为n（3）在通项公式中共含有1,kTknba这 5 个元素，知道4 个元素便可求第5 个元素精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页名师总结优秀知识点例 1nnnnnnCCCC1321393等于（）An4B。n43C。134nD.314n例 2 （1）求7(12 )x的展开式的第四项的系数；（2）求91()xx的展开式中3x的系数及二项式系数三、二项展开式系数的性质：对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即,22110knnknnnnnnnnnnCCCCCCCC增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：2maxnnknCC；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即2121maxnnnnknCCC二项展开式的各系数的和等于n2，令1a，1b即nnnnnnCCC2)11 (10； 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 和 与 偶 数 项 的 二 项 式 系 数 和 相 等 ， 令1a，1b即131202nnnnnCCCC例题： 写出11)(yx的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）项的系数绝对值最大的项；（3）项的系数最大的项和系数最小的项；（4）二项式系数的和；（5）各项系数的和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页名师总结优秀知识点四、多项式的展开式及展开式中的特定项（1）求多项式nnaaa)(21的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。例题： 求多项式322)21(xx的展开式（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。例题： 求52)1()1(xx的展开式中3x的系数例题：（1）如果在nxx421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页名师总结优秀知识点（2）求321xx的展开式的常数项。【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定k五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定例题： 已知7270127(12 )xaa xa xa x，求：（1）127aaa；（2）1357aaaa；（3）017|aaa. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页名师总结优秀知识点六、二项式定理的应用：1、二项式定理还应用与以下几方面：（1）进行近似计算（2）证明某些整除性问题或求余数（3）证明有关的等式和不等式。如证明：Nnnnn, 322取nn112的展开式中的四项即可。2、各种问题的常用处理方法（1）近似计算的处理方法当 n 不是很大， |x| 比较小时可以用展开式的前几项求nx)1 (的近似值。例题：6)05.1(的计算结果精确到0.01 的近似值是（）A1.23 B1.24 C1.33 D 1.34 （2）整除性问题或求余数的处理方法解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的k通常为1，若k为其他数，则需对幂的底数k再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了要注意余数的范围， 对给定的整数)0(,bba， 有确定的一对整数q和r， 满足rbqa，其中b为除数，r为余数，br,0，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数例题： 求632013除以 7 所得的余数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页名师总结优秀知识点例题：若n为奇数，则777712211nnnnnnnCCC被 9 除得的余数是（）A0 B。2 C。7 D.8 例题： 当Nn且n1，求证3)11(2nn【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定综 合 测 试精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页名师总结优秀知识点一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1在103x的展开式中，6x的系数为（）A610C27B410C27C610C9D410C92 已知a4b,0ba，nba的展开式按a 的降幂排列， 其中第 n 项与第 n+1 项相等，那么正整数n 等于（）A4 B9 C10 D 11 3已知（naa)132的展开式的第三项与第二项的系数的比为112，则 n 是（）A10 B11 C12 D 1345310被 8 除的余数是（）A1 B2 C3 D 7 5 (1.05)6的计算结果精确到0.01 的近似值是（）A1.23 B1.24 C1.33 D 1.34 6二项式n4x1x2(nN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（）A1 B2 C3 D4 7设 (3x31+x21)n展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若 t+h=2 72，则展开式的 x2项的系数是（）A21B1 C2 D 38在62)1(xx的展开式中5x的系数为（）A4 B5 C6 D 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页名师总结优秀知识点9nxx)(5131展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是（）A330 B462 C680 D 790 1054)1()1(xx的展开式中，4x的系数为（）A 40 B10 C40 D 45 11二项式 (1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则 x 在0，2内的值为（）A6或3B6或65C3或32 D3或6512在 (1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中 ,含 x4项的系数是等差数列an=3n 5 的（）A第 2 项B第 11 项C第 20 项D第 24 项二、填空题：本大题满分16 分，每小题4 分，各题只要求直接写出结果. 1392)21(xx展开式中9x的系数是. 14若44104xaxaa3x2，则2312420aaaaa的值为 _. 15若32()nxx的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是. 16对于二项式 (1-x)1999，有下列四个命题：展开式中T1000= C19991000x999；展开式中非常数项的系数和是1；展开式中系数最大的项是第1000 项和第 1001 项；当 x=2000 时， (1-x)1999除以 2000 的余数是1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页名师总结优秀知识点其中正确命题的序号是_ （把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分74 分. 17 （12 分）若nxx)1(66展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列（）求 n 的值；（）此展开式中是否有常数项，为什么？18 （12 分）已知 (124x)n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页名师总结优秀知识点19 （12 分）是否存在等差数列na，使nnn1n2n31n20n12nCaCaCaCa对任意*Nn都成立？若存在，求出数列na的通项公式；若不存在，请说明理由20 （12 分）某地现有耕地100000 亩，规划 10 年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增加率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少亩（精确到1 亩）？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页名师总结优秀知识点21. （12 分）设 f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、nN)，若其展开式中，关于x 的一次项系数为11，试问： m、n 取何值时， f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值. 22 （14 分）规定!)1()1(mmxxxCmx，其中 xR，m 是正整数，且10xC，这是组合数mnC（n、m 是正整数，且mn）的一种推广(1) 求315C的值；(2) 设 x，当 x 为何值时，213)(xxCC取得最小值？(3) 组合数的两个性质；mnnmnCC.mnmnmnCCC11. 是否都能推广到mxC（xR，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页