1 x y O P Q1Q2y=f(x) 焦点专题 3 导数与函数综合问题(上) 【基础盘点】1、判断函数单调性四法：“ 和、积函数型 ” 观察法 ：(i)“ 增函数增函数” 为，如1yxx；(ii) “ 正的增函数 正的增函数 ” 为，如(0)xyx ex；“ 复合函数型 ” 箭头分析法 ：在( )f g x中，令( )tg x，有 ( )( )f g xf t，当x，t，( )f t时， ( )f g x为函数，当x，t，( )f t时，( )f g x为函数，当x，t，( )f t时，( )f g x为函数等，如22( )log (1)f xx的递减区间为. “ 抽象函数型 ” 定义法 ： (i)当12xx时，21()()0f xf x，知( )f x为函数，如“ 已知对于任意的实数,x y，满足()( )()fxyf x fy，且当0x时，( )1fx，求证( )f x为增函数 ” ；(ii) 当12xx时，21()()0f xf x，知( )f x为函数，如“ 已知对于任意的正实数,x y，满足()( )( )f xyf xfy，且当1x时，( )0f x，求证( )f x为减函数 ” ；“ 具体函数型” 导数法 ：(i)( )0fx( )fx为函数， (ii)( )0fx( )f x为函数 . 2、导数的几何意义:如图 ,曲线( )yf x在点00(,)P xy处切线的 斜率k;切线方程为. 3、用导数求函数的单调区间:解不等式( )0fx可得函数( )fx的单调递区间 ;解不等式( )0fx可得函数( )f x的单调递区间 . 4、知单调区间求参数的范围:函数( )f x在区间I上为增函数在区间I上恒成立 ; 函数( )f x在区间I上为减函数在区间I上恒成立 (且( )0fx);通过研究恒成立问题求解参数的取值范围. 5、导数与函数单调性的关系:(1)试求函数3yx的单调区间 ,并说明单调区间端点值的取舍原 则 为;(2) 试 举 一 例 子 说 明 “ 函 数( )f x在 区 间I上 为 增 函 数( )0fx在区间I上恒成立 ”,例子. 6、常用求导公式:C,()nx,(sin)x,(cos )x, (ln)x,(log)ax,()xe,()xa. 7、求导运算 :()ku,()uv,()uv,( )uv. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 【例题精选】【例 1】 (1)讨论函数( )()af xxaxR的单调性，并画出其图象. 【题情捉摸】(1)函数( )f x的定义域为，需在此定义域讨论该函数的单调性；(2)( )f x的单调性与a的取值密切相关， 当0a时，可用法得到其单调性，当0a时，也可用法得到其单调性，当0a时，可用法研究其单调性，再根据每种情况下的单调性可画出其图象. (2)已知函数( )af xxx在区间1,2上为增函数 ,求实数a的取值范围 . 【题情捉摸】(1)( )fx在1,2上为增函数恒成立 ; (2)得a在1,2上恒成立 ,于是得a的取值范围 . 【例 2】 (1)函数31( )3f xxx的递增区间为. 【题情捉摸】(1)计算得( )fx;(2)令( )fx0,解得. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 (2)已知函数2( )ln,()2xfxxkxk为常数,试讨论( )f x的单调性 . 【题情捉摸】(1)注意到( )fx的定义域为,算得( )fx; (2)由于0x,故只需抓住,讨论它在(0,)上的正、负即可. 【真题回忆】1、(2008 广东理改 )设kR，函数10( )0xxf xx x,，( )( )F xf xkx，试讨论函数( )F x的单调性 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 【名模精选】2、(2010 惠州二模文 )曲线1xyx在2x处的切线方程为A.40xyB.40xyC. 0xyD. 40xy3、 (2010 广州二模理 )已知函数sinfxxx,假设12,2 2x x且12fxfx, 则以下不等式中正确的选项是A.12xxB.12xxC.120xxD.2212xx4、 (2010 广州一模文 )已知函数32fxxaxbxc在,0上是减函数， 在0,1上是增函数，函数fx在R上有三个零点，且1 是其中一个零点. (1)求b的值；(2)求2f的取值范围；(3)试探究直线1yx与函数yfx的图像交点个数的情况，并说明理由. 5、 (2010 广州二模文 )已知函数32fxxxaxb(a,bR)的一个极值点为1x.方程20axxb的两个实根为, 函数fx在区间,上是单调的 . (1)求a的值 ; (2)求b的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 x y O aa图 ax y O 图 bx y O aa图 c【参考答案】【例 1】 (1)解：可得函数( )fx的定义域为0x，当0a时，2( )10afxx，函数( )fx在(,0),(0,)上为增函数；当0a时，( )10fx，函数( )fx在(,0),(0,)上为增函数；当0a时，2222()()( )1axaxaxafxxxx， 令( )0fx， 得1xa，2xa，当xa或xa时，( )0fx，( )f x单调递增，当0ax或0xa时，( )0fx，( )fx单调递减，这时( )f x在(,),(,)aa上为增函数；在(,0),(0,)aa上为减函数；由上面( )f x的单调性知，当0a时，( )fx的图象如图a，当0a时，( )fx的图象如图b，当0a时，( )fx的图象如图c，(2) (2)解:得2( )1(1,2)afxxx恒成立 ,当( )f x在1,2上为增函数时 , 有210ax,即2ax恒成立 ,2min()1ax.填(,1【例 2】 (1)解:由2( )101fxxx或1x.故填(, 1,1,). (2)解:(1)函数的定义域为(0,),211( )xkxfxxkxx, 0x, 令2( )1g xxkx,其对称轴为2kx. (i)当02k,即0k时,(0)1g,( )(0)10g xg在(0,)上恒成立 , 即有( )0fx,( )f x在(0,)上为增函数 ; (ii) 当02k,且240k,即02k时,( )0g x,有( )0fx恒成立 , ( )f x在(0,)上为增函数 ; (iii) 当2k,2( )(1)g xx,那么(0,1)(1,)x时,( )0g x,( )0fx, 所以( )f x是增函数 ; (iv) 当2k时,240k,方程210xkx有两不等实根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 221244,22kkkkxx,且均为正数 , 当2402kkx或242kkx时,( )0g x,( )0fx,( )f x是增函数 , 当224422kkkkx时,( )0g x,( )0fx,( )f x是减函数 ; 综上 :当2k时,( )f x在(0,)是增函数 ;当2k时,( )f x在24(0,)2kk, 24(,)2kk是增函数 ,在2244(,)22kkkk是减函数 . 1、解：1,0( )( ),0kxxxF xf xkxxkx x，21,0( )1,02kxxFxk xx(1)当0k时，假设0x，21( )0Fxkx，( )F x在(,0)上为增函数，假设0x，1( )2Fxkx，令( )0Fx，得102kx，解得214xk，令( )0Fx，得214xk，令( )0Fx，得2104xk，这时( )F x在21(0,)4k上为减函数，在21(,)4k上为增函数；(2)当0k时，假设0x，21( )0Fxx，( )F x在(,0)上为增函数，假设0x，1( )02Fxx，( )F x在(0,)上为减函数，(3)当0k时，假设0x，21( )Fxkx，令( )0Fx，解得1kxk，2kxk(舍去 )，令( )0Fx，得210kx，解得kkxkk，令( )0Fx，得kxk或kxk，又0x，知函数( )F x在(,0)kk上是增函数，在(,)kk上是减函数；假设0x，1( )02Fxkx，( )F x在(0,)上是减函数；综上所述，当0k时，( )F x在(,0)，21(,)4k上为增函数，在21(0,)4k上为减函数；当0k时，( )F x在(,0)上为增函数， 在(0,)上为减函数； 当0k时，( )F x在(,0)kk上是增函数，在(,)kk，(0,)上是减函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 23BD 4.(1) 解：32fxxaxbxc，232fxxaxb. fx在,0上是减函数，在0,1上是增函数，当0x时，fx取到极小值，即00f. 0b. (2)解：由 (1)知，32fxxaxc，1 是函数fx的一个零点，即10f，1ca. 2320fxxax的两个根分别为10x，223ax. fx在0,1上是增函数，且函数fx在R上有三个零点，2213ax，即32a.于是52841372faaa. 故2f的取值范围为5,2. (3)解：由 (2)知321fxxaxa，且32a. 要讨论直线1yx与函数yfx图像的交点个数情况，即求方程组321,1yxyxaxa解的个数情况 . 由3211xaxax，得321110xa xx. 即2111110xxxa xxx. 即21120xxa xa.1x或2120xa xa. 由方程2120xa xa，(*)得2214 227aaaa. 32a，假设0，即2270aa，解得32 212a.此时方程 (*)无实数解 . 假设0，即2270aa，解得2 21a.此时方程 (*)有一个实数解21x. 假设0，即2270aa，解得2 21a.此时方程 (*)有两个实数解，分别为211272aaax，221272aaax. 且当2a时，10x，21x. 综上所述，当32 212a时，直线1yx与函数yfx的图像有一个交点. 当2 21a或2a时，直线1yx与函数yfx的图像有二个交点. 当2 21a且2a时，直线1yx与函数yfx的图像有三个交点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 5.解:(1)32fxxxaxb,232fxxxa. 32fxxxaxb的一个极值点为1x,213 12 10fa.得1a. (2)由(1)得2321311fxxxxx, 当13x时, 0fx;当113x时, 0fx;当1x时, 0fx; 函数fx在1,3上单调递增 , 在1,13上单调递减 ,在1,上单调递增 . 方程20axxb的两个实根为, 即20xxb的两根为, 114114,22bb.得1,b,14b. 函数fx在区间,上是单调的 , 区间,只能是区间1,3,1,13,1,之一的子区间 . 由于1,故1,13.假设0,则1,与1矛盾 . ,0,1.知方程20xxb的两根,都在区间0,1上. 令2g xxxb, g x的对称轴为10,12x, 则00,10,140.gbgbb解得104b.实数b的取值范围为1,04. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页