名师精编优秀教案. 开发区七年级数学集体备课教案课题9.6 乘法公式再认识因式分解（二）课 型新授课时1 整合时间2012-2-7 主备人刘爱芳授课人授课时间教 学目 标1、使学生进一步理解因式分解的意义。2、使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征。3、会运用平方差公式分解因式。4、通过对比整式乘法和分解因式的关系，进一步发展学生的逆向思维能力。5、感受整式乘法和分解因式矛盾的对立统一观点。6、培养学生积极主动参与探索的意识以及观察能力。7、感悟换元的思想方法。重 点1、理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征。2. 会运用平方差公式对某些多项式进行分解因式难 点1、理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征。2. 会运用平方差公式对某些多项式进行分解因式突 破策 略课 前准 备教 学 设 计 详 案二次备课（一）设置情景：情景 1：小组讨论： 9921 是 100的整数倍吗？你是怎样想的？1. 判断某个数是否是另一个数的整数倍可以怎么判断？如：12 是 3 的整数倍吗？ （学生知道就是把12 分解因数。 ） 2. 类似地要判断 9921 是 100 的整数倍呢？也可以想到尝试分解。3.a21 可以写成（ a+1）(a1) 吗？情景 2：计算图中的阴影部分面积（用a、b 的代数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页名师精编优秀教案式表示）问题一：整体计算可以怎样表示？问题二：分割成如图两部分可以怎样计算？问题三：比较两种计算的结果你有什么发现？说明：学生可能先分割再整体得出： (a+b)(a b)=a2b2 (1)也有的是先整体再分割得出 a2b2=(a+b)(ab) (2)两种形式加以比较进一步明确整式乘法和因式分解的关系。思考：1. 对于（ 1）式从左边到右边的变形叫什么？2. 对于（ 2）式从左边到右边的变形叫什么？3. 我们已经学习提公因式法分解因式。在（2）式的左边有公因式吗？但它写成右边的形式是分解因式吗？可见，没有公因式的某些多项式也可以用别的方法分解。（二）平方差公式的特征辨析：把乘法公式(a+b)(a b)=a2 b2反过来得：a2b2=(a+b)(a b) 议一议 ：下列多项式可以用平方差公式分解吗？（1）x2y2（2）x2+y2（3）x2y2（4）x2+y2（5）64a2（6）4x29y2 1. 左边特征是：二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反。2. 右边特征是：两个二项式的积，一个是左边两项的底数之和，另一个是这两个底数之差。3. 在乘法公式中，平方差是指计算的结果，在分解因式时，平方差是指要分解的多项式。（三）例题教学例 1 把下列多项式分解因式：(1) 3625x2 (2) 16a29b2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页名师精编优秀教案解： 36 25x2=62(5x)2 =(6+5x)(6 5x) 16a29b2=(4a)2(3b)2 =(4a+3b)(4a 3b) 例 2 如图，求圆环形绿化区的面积。解： 352152=(352152) =(35+15)(35 15)=5020=1000(m2) 这个绿化区的面积是1000m2例 3 把下列多项式分解因式：1. (x+p)2(x+q)2 2. 9(a+b)24(ab)2（四）练习1. 下列分解因式是否正确：（1）x2y2=(x+y)(x y) （2）925a2=(3+25a)(3+25b) （3）4a2+9b2=(2a+3b)( 2a3b) 2. 把下列各式分解因式：（1） 36 x2 （2） a291b2（3） x216y2（4） x2y2z2（5） (x+2)29 （6）(x+a)2(y+b)2（7） 25(a+b)24(ab)2 （8） 0.25(x+y)20.81(x y)23. 在边长为16.4cm 的正方形纸片的四角各剪去一边长为1.8cm 的正方形，求余下的纸片的面积。4. 已知 x2y2=1 ， x+y=21，求 xy 的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页名师精编优秀教案（六）作业利用因式分解计算：（1）22200120031001（2）(1 221)(1 231)(1 241) (1 291)(1 2101) （3）已知： 4m+n=90 ，2m 3n=10，求(m+2n)2(3mn)2的值。课内练习随堂 123（课堂作业）课后练习补充习题教学反思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页名师精编优秀教案开发区七年级数学集体备课教案课题9.6 乘法公式的再认识因式分解 (二) 课 型新授课时1 整合时间2012-2-7 主备人刘爱芳授课人授课时间教 学目 标1、了解完全平方公式的特征，会用完全平方公式进行因式分解。2、通过整式乘法逆向得出因式分解方法的过程，发展学生逆向思维能力和推理能力。3、通过猜想、观察、讨论、归纳等活动，培养学生观察能力，实践能力和创新能力。4、通过运用所学知识解决简单有趣的实际问题，激发了学生对数学学习的兴趣。重 点完全平方公式分解因式难 点掌握完全平方公式的特点突 破策 略课 前准 备教 学 设 计 详 案二次备课(一)创置情境情境 1 前面我们学习了因式分解的意义， 并且学会了一些因式分解的方法，运用学过的方法你能将a22a1分解因式吗？情境 2 在括号内填上适当的式子，使等式成立：(1)(a b)2( ) (2)(ab)2( ) (3)a2( )1(a1)2(4)a2( )1(a1)2情境 3 观察一列整数： 1，4，9，16，25，有什么特点？数式是相通的，在整式中也有这样的情况，你能看出下列式子的特点吗？(1)a22a1 (2)a24a4 (3)a26a9 (4)a22abb2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页名师精编优秀教案 (5)a22abb2情境 4 上节课我们学习了用平方差公式分解因式，而在整式乘法时我们还学习了什么公式？大家猜想一下本节课我们将学习什么内容？ ( 二)认识完全平方公式把乘法公式 (ab)2a22abb2 (a b)2a22abb2反过来，就得到 a22abb2(ab)2 a22abb2(a b)2提出问题自主探索：问题 1 两公式左边是几项式？三项式， 再考虑一下平方差公式。左边是几项式与之比较。问题 2 这三项式有什么特点？问题 3 若用代表 a，代表 b，两式是什么形式？222( )2，222()2问题 4 将 a24a4 符合吗？为什么？问题5 a26a9 符合吗？相当于a，相当于 b。 ( 三)知识运用例 1 把下列各式分解因式(1)x210x25 (2)4a236ab81b2解：(1)x210x25 (2) 4a236ab81b2x22x552 (2a)222a9b(9b)2 (x 5)2 (2a9b)2 1、下列能直接用完全平方公式分解的是( ) Ax2 2xyy2 B x22xyy2 Cx2xy y2 D41x2xyy2 2、分解因式： a22abb2分解因式： a22abb2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页名师精编优秀教案3、分解因式 ( 板演) (1)a2 4a 4 (2)a2 12ab 36b2(3)25x210xyy2探索活动二：公式中的a、b 可表示什么？学生讨论易知a、b 可以为任意的数、字母或多项式。如：a24a4 把 a 换成(mn) (mn)24(mn)4 怎么分解呢？请看例2 例 2 把下列各式分解因式(1)16a48a21 (2)(mn)24(mn) 4 解：(1)16a48a21 (2) (mn)24(mn)4 (4a2)224a21 (mn)222(mn)22(4a21)2 (mn)22(mn2)216a48a21 (4a2)224a21 (4a21)2 ( 这里 4a21 可继续分解 ) (2a 1)(2a 1)2(2a1)2(2a1)2 例 3 (1)简便计算 20042-40082005+20052(2) 已知 a2-2a+b2+4b+5=0 ，求(a+b)2005的值。练一练：1、把下列各式分解因式(1)16a424a2b29b4 (2)(xy)210(x y) 25 2、创新： a26a9 误写为 a26a91 即 a26a8如何分解？学生讨论方法一：a26a8a26a811 a26a91(a 3)21 (a31)(a 31)(a4)(a 2) 法二：就是我们下节课要补充的新的解法 ( 四)小结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页名师精编优秀教案1、学生自己总结本节课的收获，体会。2、将乘法公式反过来就得到多项式因式分解的公式，运用这些公式把一个多项式分解因式的方法叫运用公式法。3、如何选用平方差公式，或完全平方公式。4、拓展：由于a22abb2可写成 (ab)2的形式，把类似 a22abb2 的式子叫完全平方式。说明：教师提供空间和机会让学生自己发言，即复习了本节内容，又促使学生重视知识结构，抓住了问题特征。( 五) 作业布置课内练习随堂 123（课堂作业）课后练习补充习题教学反思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页名师精编优秀教案课题9.6乘法公式的再认识因式分解 ( 二 )课 型新授课时1 整合时间2012-2-7 主备人刘爱芳授课人授课时间教 学目 标1、进一步熟悉提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式。2、学生能根据不同题目的特点选择较合理的分解因式的方法。3、知道因式分解的方法步骤：有公因式先提公因式，以及因式分解最终结果的要求：必须分解到多项式的每个因式不能再分解为止。4、通过综合运用提公因式法、运用公式法分解因式，使学生具有基本的因式分解能力。5、综合运用所学的因式分解的知识和技能，感悟整体代换等数学思想。6、进一步体会整式乘法和因式分解的对立统一的关系，体会“两分法”看问题的世界观。重 点知道因式分解的步骤和因式分解的结果的要求，能综合运用提公因式法，运用公式法分解因式。难 点知道因式分解的步骤和因式分解的结果的要求，能综合运用提公因式法，运用公式法分解因式。突 破策 略课 前准 备教 学 设 计 详 案二次备课(一)设置情境情境 1 比一比，看谁算得快 ( 投影) (1)65.5234.52 (2)1012210111 (3)4824824122 (4)55525452 思考 (1)在计算过程中，你用到了哪些因式分解的方法？(2) 能用平方差公式、 完全平方公式分解因式的多项式有什么特征？(3) 计算中 (3) 和(4) 能直接用公式吗？ (3) 需变形为48224812122，(4) 需先提公因式， 再用平方差公式 ) 情境 2 分解因式 4a4100(两名学生板演，也可以投影部分学生的答案 ) a42a2b2b4说明由于已学过平方差公式和完全平方公式的分解因式，学生不难想到用公式法分解因式，但很可有会出现分解不完全的情况。如： 4a4100=(2a2100)(2a2100) ，a42a2b2b4=(a2b2)2，教师正好借此引入本节课课题。思考 (1)在解答这两题的过程中， 你用到了哪些公式？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页名师精编优秀教案(2) 你认为 (2a210)(2a210)和(a2b2)2这两个结果是因式分解的最终结果吗？如果不是，你认为还可以怎样分解？(3) 怎样避免出现上述分解不完全的情况呢？情境 3 把下列各式分解因式 ( 练习) (1)ab22a2bab (2)a21 (3)a2b24ab4 (4)a3a 思考 (1)你是怎样确定一个多项式的公因式的？具体方法由学生简述，教师补充说明。(2) 请写出平方差公式和完全平方公式。(3) 对于(4)a3a 提公因式 a 后，你认为 a(a21)分解完全了吗？情境 4 (1)师生共同回顾前面所学过的因式分解的方法。提取公因式法、运用公式法，并说明公因式的确定方法及公式的特征。(2) 整理知识结构图提公因式法：关键是确定公因式因式分解运用公式法平方差公式： a2b2=(ab)(a b) 完全平方公式：a22abb2=(ab)2结论多项式的因式分解，要根据多项式的特点，选择使用恰当的方法去分解，对于有些多项式，有时需同时用到几种不同的方法，才有分解完全。( 二) 探索综合使用提公因式法、运用公式法分解因式的方法步骤：1、先提取公因式后利用公式例 1 把下列各式分解因式(1)18a2 50 (2)2x2y 8xy 8y (3)a2(x y) b2(x y) 分析先观察 18a250，发现含有公因式 2，因此可以先提公因式，再继续观察另一个因式9a225，能否再继续分解。注意 (3) 的公因式是 (x y) 解：(1)18a250=2(9a225) (2) 2x2y8xy8y =2(3a5)(3a 5 =2y(x24x4) =2y(x2)2 (3) a2(x y) b2(x y) =(xy)(a2b2) =(xy)(a b)(a b) 归纳：将一个多项式分解因式时，首先要观察被分解的多项式是否有公因式，若有，就要先提公因式，再观察精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页名师精编优秀教案另一个因式特点，进而发现其能否用公式法继续分解。2、两个公式先后套用例 2 把下列各式分解因式(1)a416 (2)81x472x2y216y4解：(1)a416=(a24)(a24)=(a24)(a 2)(a 2) (2)81x472x2y216y4=(9x2)229x24y2(4y2)2先化成完全平方的形式，认准谁是公式的 a，谁是 b =(9x24y2)2=(3x 2y)2(3x 2y)2注意这不是结果=(3x2y)2(3x 2y)2 例 3 ( 供选择 ) 分解因式(1)(a2b2) 4a2b2(2)(x22x)22(x22x) 1 说明 (1)本题(1) 中把 a2b2，2ab 看作一个整体，先用平方差，再用完全平方公式。(2) 把 x22x 看作一个整体， 先用完全平方公式， 再用完全平方公式， 从本题的解题过程， 让学生体会数学中 “换元”的思想。(3) 本例还可以适当增加： (x26)(x22)4 这种先变形后用公式的题型，体会数学中的化归思想。( 三) 因式分解的应用例 4 阅读下列材料，然后回答文后问题已知 2xy=b， x3y=1 求 14y(x 3y)24(3y x)3的值。(2) 已知 ab=5，ab=3，求代数式 a3b2a2b2ab3的值。例 5 已知，如图， 4 个圆的半径都为a，用代数式表示其中阴影部分的面积， 并求当 a=10，取 3.14 时，阴影部分的面积。解： 用代数式表示阴影部分的面积为：(2a)2a2 即 4a2a2当 a=10, 取 3.14 时，4a2a2=a2(4)=102(4 3.14)=100 0.86=86 ( 四) 练习1、辨析分解因式 a48a216 a48a216=(a24)2=(a2)2(a2)2=(a22a4)(a22a4) 这种解法对吗？如果不对，指出错误原因。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页名师精编优秀教案2、选择题：多项式 16x5x (x 1)24(x 1) 4 (x 1)44x(x 1)24x2 4x214x 分解因式后，结果含有相同因式的是( ) A、 B、 C、 D、3、把下列各式分解因式(1)3ax2 3ay4(2) 2xy x2 y2(3)3ax26axy3ay2(4)x481 (5)(x22y)2(12y)2(6)x42x21 (7)x48x2y216y4分两组板演： (1)(3) 一组， (4)(7) 为另一组，也可以投影部分学生的解答过程进行点评。五、小结学生通过例题的学习及练习自己总结在综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时要注意的问题和解题步骤，可由 1 个或几个学生回答，互相补充，教师归纳( 投影) (1) 如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解。(2) 分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止。(3) 因式分解的结果必须是几个整式的积的形式。即：“一提”、“二套”、“三查”特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确。六、作业：必做：课本 P95习题 9.6 5 、6 选做：1、分解因式(1)80a2(a b) 45b2(a b) (2)(x22xy) 2y2(x22xy) y4(3)(x y)24(x2y2) 4(x y)22、已知 xy=4 xy=2 求 2x3y4x2y22xy3的值3、利用图形面积因式分解a23ab2b2 课内练习随堂 123（课堂作业）课后练习补充习题教学反思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页名师精编优秀教案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页