第一章第一章 机械优化设计的根本问题机械优化设计的根本问题图图1.11.1为为由两根由两根钢钢管管组组成的成的对对称桁架。称桁架。A A处处垂直垂直载载荷荷P=300 000NP=300 000N，2L=152cm2L=152cm，空心，空心钢钢管厚度管厚度T=0.25cmT=0.25cm， 资资料料弹弹性模量性模量E=2.16 X 107N/cm2E=2.16 X 107N/cm2， 屈服极限屈服极限s = 70 300N/cm2s = 70 300N/cm2。 求：在求：在满满足足强强度条件和度条件和稳稳定性条伴下，使体定性条伴下，使体积积最小的最小的圆圆臂直径臂直径d d和桁架高度和桁架高度H H。 1.1 机械机械优化化问题例如例如1.1.1 1.1.1 工程构造工程构造工程构造工程构造优优化化化化设计设计解解: :为为保保证证桁架可靠地任桁架可靠地任务务，就必需求求杆件具有足，就必需求求杆件具有足够够的的抗抗压强压强度和度和稳稳定性。定性。 抗抗压强压强度度: : 杆件截面上杆件截面上产产生的生的压应压应力不超越力不超越资资料的屈服料的屈服极限极限; ;杆内力杆内力杆内力杆内力: : : :杆截面杆截面杆截面杆截面压应压应力：力：力：力：抗抗抗抗压强压强度：度：度：度： s s s s 其中其中其中其中稳定性稳定性: :杆件截面上的压应力不超越压杆稳定的临界应力。杆件截面上的压应力不超越压杆稳定的临界应力。 满满足足足足稳稳定性不定性不定性不定性不发发生屈曲破坏的条件生屈曲破坏的条件生屈曲破坏的条件生屈曲破坏的条件为为：为压为压杆屈曲极限杆屈曲极限杆屈曲极限杆屈曲极限按欧拉公式按欧拉公式按欧拉公式按欧拉公式I为圆管的为圆管的剖面惯性矩剖面惯性矩要求在具有足要求在具有足要求在具有足要求在具有足够够的抗的抗的抗的抗压强压强度和度和度和度和稳稳定性的条件下，求定性的条件下，求定性的条件下，求定性的条件下，求总总体体体体积积最小的杆件尺寸参数最小的杆件尺寸参数最小的杆件尺寸参数最小的杆件尺寸参数H H H H和和和和d d d d，那么表达式如下：那么表达式如下：那么表达式如下：那么表达式如下：构造总体积：构造总体积：要求要求要求要求满满足：足：足：足：抗抗抗抗压强压强度度度度稳稳定性定性定性定性强强度度度度问题的最优解为：最优点：d=4.77cm ; H=51.31cm 最优点的体积为：W=686.73cm3112 机械零件机械零件优化化设计 图1.3所示压力容器，内径Do=0.l2m，内部气体压强P=l2.75X106 N/m2，置螺栓的中心圆直径D=0.2m, 要求选择螺栓的直径d和数量n，使螺栓组的总本钱最低。解:首先螺栓要满足强度要求，所用螺栓数量要思索密封要求，又要兼顾装拆的扳手空间。 螺栓组的总本钱：Cn=C n; 式中，C为螺栓单价; n为螺栓个数。单单价价c c与螺栓与螺栓资资料，直径料，直径d d，长长度度l l及加工情况有关。本及加工情况有关。本组组螺栓取螺栓取3535号号钢钢，长长度度l=50mml=50mm的六角的六角头头半精制螺栓，半精制螺栓，单单价价见见下表下表直径直径dmm)101214161820单价单价c元元0.0520.0910.1420.1740.2280.251由表中数据初步画由表中数据初步画C=f(d)C=f(d)曲曲线线，由以下，由以下图线图线形回形回归归法求得法求得方程：方程：0.050.050.100.100.150.150.200.200.250.250 010102020C C 元元元元 D D mmmm 得：得：所受的限制所受的限制为为(1)(1)(1)(1)螺栓的螺栓的螺栓的螺栓的强强强强度限制度限制度限制度限制单单个螺栓的个螺栓的许许用用载载荷荷为为FF，用回，用回归归分析法得分析法得取平安系数取平安系数那么螺栓那么螺栓强强度条件度条件为为：带带入知入知数据得：数据得：2 2 2 2扳手空扳手空扳手空扳手空间间条件条件条件条件为为保保证证装拆装拆时时有足有足够够的扳手空的扳手空间间，螺栓的周向，螺栓的周向间间距要距要大于大于5d5d，那么有条件，那么有条件或或3 3 3 3密封条件密封条件密封条件密封条件为为保保证证容器密封，容器密封，压压力均匀且不漏气，据力均匀且不漏气，据阅历阅历，螺栓，螺栓周向周向间间距要小于距要小于10d10d，那么，那么约约束函数束函数或或该问题属于二维约束问题该问题属于二维约束问题1.1.3连杆机构优化设计连杆机构优化设计 由由由由图图所示六杆机构。它是所示六杆机构。它是所示六杆机构。它是所示六杆机构。它是铰链铰链四杆机构四杆机构四杆机构四杆机构ABCDABCDABCDABCD和和和和带带有有有有滑滑滑滑块块5 5 5 5的的的的摆摆杆杆杆杆6 6 6 6由由由由连连杆杆杆杆BEBEBEBE衔衔接而成的。原接而成的。原接而成的。原接而成的。原动动件件件件ABABABAB逆逆逆逆时针时针转动转动使从使从使从使从动动件件件件6 6 6 6绕绕P P P P点往复点往复点往复点往复摆动摆动。机架。机架。机架。机架ADADADAD程度置放，程度置放，程度置放，程度置放，F F F F点点点点已已已已选选定。定。定。定。要求：要求：要求：要求：当原当原当原当原动动件件件件ABABABAB转转角角角角0000在在在在180300o180300o180300o180300o范范范范围围内，内，内，内，摆摆杆杆杆杆6 6 6 6处处于于于于LMLMLMLM位置不位置不位置不位置不动动，即从即从即从即从动动件件件件摆摆杆杆杆杆产产生生生生间间歇运歇运歇运歇运动动。试设计试设计六杆机构尺寸参数六杆机构尺寸参数六杆机构尺寸参数六杆机构尺寸参数l1l1l1l1、l2l2l2l2、l3l3l3l3、l4l4l4l4、l5l5l5l5及及及及。以点以点A A为为坐坐标标原点建立原点建立xAyxAy直角坐直角坐标标系系期望的期望的LMLM直直线轨线轨迹用点迹用点M MxMxM，yMyM，L L xL xL，yL yL 写出，写出，即即令令那么那么LMLM直直线线方程方程 ax+by+c=0 ax+by+c=0由于四杆机构尺寸的由于四杆机构尺寸的缩缩放不影响放不影响连连杆杆E E点的点的轨轨迹外形，只取迹外形，只取决于机构待求参数：决于机构待求参数：l1l1、l2l2、l3l3、l5l5及及 l4=1l4=1，于是，于是连连杆杆上上EiEi点的坐点的坐标标以以下函数表示：以以下函数表示：为为提高提高设计设计精度，精度，应应使机构欲使机构欲实现实现的的轨轨迹点迹点到到给给定直定直线线MLML的垂直的垂直间间隔隔didi最小，最小， di di为设计为设计偏向，有偏向，有数学公式数学公式为为使机构使机构连连杆点杆点E E所所实现实现的一段的一段轨轨迹以最高的精度接近迹以最高的精度接近期望的期望的线线段段 ，所以要求在曲柄，所以要求在曲柄转转角角 范范围围内，分点数内，分点数i=1-ni=1-n的的n n个点上的偏向平方和到达最小，个点上的偏向平方和到达最小，即即为为保保证连证连杆机构整周杆机构整周转转，传动传动角角满满足足许许用用值值要求等，有要求等，有以下限制条件：以下限制条件：1 1 1 1ABABABAB是曲柄的条件是曲柄的条件是曲柄的条件是曲柄的条件2 2 2 2传动传动角角角角满满足足足足许许用用用用值值条件条件条件条件3 3 3 3其它限制条件其它限制条件其它限制条件其它限制条件按按按按给给定定定定轨轨迹迹迹迹设计设计四杆机构的四杆机构的四杆机构的四杆机构的问题问题可可可可归结为归结为这样这样一个一个一个一个优优化化化化设计设计的的的的问题问题: : : :求一求一求一求一组组机构参数机构参数机构参数机构参数l1l1l1l1、l2l2l2l2、l3l3l3l3、l5l5l5l5， ，在，在，在，在满满足曲柄，足曲柄，足曲柄，足曲柄，传动传动角条件及其它限制条件下，角条件及其它限制条件下，角条件及其它限制条件下，角条件及其它限制条件下，当曲柄当曲柄当曲柄当曲柄转转角在某角在某角在某角在某给给定范定范定范定范围围内，内，内，内，连连杆上杆上杆上杆上E E E E点的点的点的点的轨轨迹偏向平方和迹偏向平方和迹偏向平方和迹偏向平方和到达最小。到达最小。到达最小。到达最小。1.1.4 消费管理优化消费管理优化例例例例题题 某某某某车间车间有四台机器，每台有四台机器，每台有四台机器，每台有四台机器，每台拟拟消消消消费费3 3种种种种类类型零件，每小型零件，每小型零件，每小型零件，每小时时个零件或利个零件或利个零件或利个零件或利润间润间表表表表a a，消，消，消，消费费不同零件的速率不同零件的速率不同零件的速率不同零件的速率见见表表表表b b，本月，本月，本月，本月对对1 1，2 2，3 3种零件的需求量分种零件的需求量分种零件的需求量分种零件的需求量分别为别为700700，500500，400400个；四个；四个；四个；四台机器可提供的任台机器可提供的任台机器可提供的任台机器可提供的任务时间务时间分分分分别为别为9090，7575，9090，80h80h，如何，如何，如何，如何安排消安排消安排消安排消费费可可可可获获利最大？利最大？利最大？利最大？表表表表a a，每小，每小，每小，每小时时消消消消费费零件利零件利零件利零件利润润量量量量表表表表b b，各机器消，各机器消，各机器消，各机器消费费零件速率零件速率零件速率零件速率解：解：为获为获利利润润最大，需合理确定每台机器消最大，需合理确定每台机器消费费某种零件某种零件假假设设干，干，设设xijxij表示第表示第j j台机器消台机器消费费第第i i中零件的件数。中零件的件数。一个月内一个月内获总获总利利润润：且要且要满满足以下足以下约约束条件：束条件：1 1数量需求限制数量需求限制数量需求限制数量需求限制2 2工工工工时时需求限制需求限制需求限制需求限制3 3非非非非负负条件条件条件条件1.2 优化设计的数学模型优化设计的数学模型机械机械优优化化设计设计是欲是欲对对某机械某机械设计设计工程工程获获得一个最得一个最优优方案。所方案。所谓谓一个一个设计设计方案普通是用一方案普通是用一组组参数来表示。参数来表示。设计设计参数在参数在优优化化设计设计中分成两种中分成两种类类型：型：设计设计常量和常量和设计变设计变量。量。设计设计常量：可以根据常量：可以根据设计设计的的详细详细悄况或成熟的悄况或成熟的阅历阅历预预先先给给定定 。对设计结对设计结果影响不大的参数也常作果影响不大的参数也常作为设计为设计常量常量处处置置: : 1.2.1 设计变量设计变量数学模型包括三个部分：一是需求解得一数学模型包括三个部分：一是需求解得一数学模型包括三个部分：一是需求解得一数学模型包括三个部分：一是需求解得一组组参数，参数，参数，参数，这组这组参数在参数在参数在参数在设计设计中中中中作作作作为变为变量来量来量来量来处处置，称置，称置，称置，称为设计变为设计变量；二是有一个明确的追求目的，量；二是有一个明确的追求目的，量；二是有一个明确的追求目的，量；二是有一个明确的追求目的，这这个个个个目的以目的以目的以目的以设计变设计变量的函数来表达，称量的函数来表达，称量的函数来表达，称量的函数来表达，称为为目的函数；三是有假目的函数；三是有假目的函数；三是有假目的函数；三是有假设设干必需的限干必需的限干必需的限干必需的限制条件，制条件，制条件，制条件，设计变设计变量的取量的取量的取量的取值值必需必需必需必需满满足足足足这这些限制条件，称些限制条件，称些限制条件，称些限制条件，称为设计约为设计约束束束束设计变量：在设计过程中需优选的参数，把它作为优化设计中的设计变量。即在设计过程中作为变量处置以供选择、并最终必需确定的各项独立参数 ；设计变量按取值能否延续分为延续变量和离散变量； 设计变量的数目称为优化问题的维数；一个设计方案也常称为设计矢量，矢量端点称设计点；设计点的集合称为设计空间。以n个独立变量为坐标轴组成的n维向量空间是一个n维实空间，用Rn表示。工程设计中的设计变量均为实数，且恣意两矢量有某种计算，那么这样的空间又称为n维实欧氏空间。 n n设计变设计变量的表示方式量的表示方式量的表示方式量的表示方式 1.2.2 目的函数目的函数目的函数的表达式：目的函数的表达式： F(x)=F(x1,x2,xn) F(x)=F(x1,x2,xn) 优化化设计的的过程是使目的函数最小，写成程是使目的函数最小，写成 min F(x) min F(x)分分单目的函数和多目的函数目的函数和多目的函数多目的函数多目的函数 如如图1.71.7所示，所示，设计一个剪切一个剪切钢板的板的飞剪机构。剪机构。该机构有机构有3 3个个设计准那么准那么1 1 1 1按重叠度准那么：按重叠度准那么：按重叠度准那么：按重叠度准那么：2 2 2 2按位置按位置按位置按位置误误差准那么：差准那么：差准那么：差准那么：3 3 3 3按程度分速度准那么：按程度分速度准那么：按程度分速度准那么：按程度分速度准那么：1.2.3 约束条件约束条件 设计点的集台构成设计空间，n维设计问题属于n维欧氏空间，如对设计点的取值不加以限制，那么设计空间是无限的，凡属这类的优化设计问题称为无约束优化问题。但在实践问题中设计变量的取值范围是有限制的或必需满足一定条件，在优化设计中。这种对设计变量取值的限制条件，称为 约束条件或设计约束。 它也用数学式来表达：不等式约束 gu(x)0，u=1,2,p 等式约束 hv(x)= 0, v=1,2,q例如：要求一对齿轮具有等弯曲强度，可写成： F1 F2=0 或 h(x)=F1 F2=0 约束条件按约束的性质分约束条件按约束的性质分, , 有边境约束与性能有边境约束与性能约束两类。约束两类。 边境约束是对某些设计变量的取值范围加以限制，边境约束是对某些设计变量的取值范围加以限制，即某变量的上、下界。即某变量的上、下界。性能约束或称性态约束是指在优化设计中按某种性能约束或称性态约束是指在优化设计中按某种性能要求而构成对设计变量的约束，在机械优性能要求而构成对设计变量的约束，在机械优化设计中，经常要求构造中各尺寸参数的关系、化设计中，经常要求构造中各尺寸参数的关系、运动学、动力学以及强度等多方面限制而构成运动学、动力学以及强度等多方面限制而构成性能约束，这些约束普通以约束方程来表达。性能约束，这些约束普通以约束方程来表达。 关于可行域与非可行域问题。对于约束优化问题，设计点x在n维实欧氏空间Rn内的集合被分成两部分：一部分是满足一切设计约束条件的设计点集合，这个区域称为可行设计区域，简称可行域，记作D ；设计点只能在可行域内选取，可行域内的设计点称为可行设计点。而其他部分那么为非可行域，设计变最在非可行域内取值对设计是无意义的，即为非可行设计点。当设计点处于某一不等式约束边境上时，称边境设计点，它是一个为该项约束所允许的设计方案。二维设计问题的可行域可在x1ox2平面直角坐标系表示,见图1.8；三维的可行域可在空间直角坐标系中表示。 1.2.4 数学模型表示式数学模型表示式无无无无约约束束束束优优化化化化问题问题数学模型的普通表达式数学模型的普通表达式数学模型的普通表达式数学模型的普通表达式n n约约束束束束优优化化化化问题问题数学模型的普通表达式数学模型的普通表达式数学模型的普通表达式数学模型的普通表达式n n minF(x) minF(x) minF(x) minF(x)n n x Rn x Rn x Rn x Rnn n D: gu(x) 0 D: gu(x) 0 D: gu(x) 0 D: gu(x) 0，u=1,2,pu=1,2,pu=1,2,pu=1,2,pn n hv(x) = 0, v=1,2,q hv(x) = 0, v=1,2,q hv(x) = 0, v=1,2,q hv(x) = 0, v=1,2,qn n最最最最优优点：点：点：点： x*=x*1 x*2 x*nT x*=x*1 x*2 x*nT x*=x*1 x*2 x*nT x*=x*1 x*2 x*nTn n最最最最优值优值： F* = F(x*) F* = F(x*) F* = F(x*) F* = F(x*)n n最最最最优优解：解：解：解： x*x*x*x*，F*)F*)F*)F*)1.2.5 优化问题的几何描画优化问题的几何描画设设有二有二有二有二维维不等式不等式不等式不等式约约束束束束优优化化化化问题问题数学模型如下：数学模型如下：数学模型如下：数学模型如下：D:1.3 优化计算的数值解法及其优化计算的数值解法及其收敛条件收敛条件迭代点x(k)，当k=0时，X(0)称为初始点搜索方向 S(k)步长k迭代公式： x(k+1)= x(k)+ (k) S(k)1.3 优化计算的数值解法及其优化计算的数值解法及其收敛条件收敛条件1.3.1 1.3.1 1.3.1 1.3.1 优优化化化化计计算的迭代算的迭代算的迭代算的迭代过过程程程程优优化化化化设计设计的迭代的迭代的迭代的迭代计计算算算算 迭代迭代迭代迭代过过程程程程x(0)x(1)x(k)s(0)a(0)1.3.2 迭代计算的终止准那迭代计算的终止准那么么点距准那么点距准那么| x(k+1) - x(k)| 1| x(k+1) - x(k)| 1函数下降量准那么函数下降量准那么当当|F(x(k)|1|F(x(k)|1时 |F(x(k+1) F(x(k)| 2 |F(x(k+1) F(x(k)| 2否那么否那么 |F(x(k+1) F(x(k)| / F(x(k) 2 |F(x(k+1) F(x(k)| / F(x(k) 2 梯度准那么梯度准那么 | F(x(k)| 3 | F(x(k)| 3