1 九上相似三角形中的动点题含答案一选择题（共1 小题）1如图，小正方形的边长均为1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形在如图5 5的方格中，作格点三角形和ABC 相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（）A0.5，2.5 B0.5，5 C1，2.5 D1，5 考点 ：相似三角形的性质；勾股定理专题 ：网格型分析：作出面积最小和面积最大的格点三角形，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以此题只要求得两三角形的一组对应边的比即可根据格点三角形边长的求解方法，易得AB ，DE 与 GH 的长即可得出问题的解解答：解：如图所示，DEF 和GHI 分别是面积最小和面积最大的三角形因为 DEF，GHI 和 ABC 都相似， AB=，DE=1 ，GH=，所以它们的相似比为DE：AB=1 ：，GH：AB=：，又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而ABC 的面积为2 1=1，故DEF 和GHI 面积分别为0.5，5故选 B点评：此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方解此题还要注意格点三角形边长的求解方法：用勾股定理求解二填空题（共10 小题）2 （2013?平顶山三模）如图，P 是 RtABC 斜边 AB 上的动点（ P 异于 A、B） ， C=90 ， B=30 ，过点 P 的直线截 ABC ，使截得的三角形与ABC 相似，当=或或时，截得的三角形面积为 ABC 面积的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题2 考点 ：相似三角形的判定与性质分析：根据相似三角形的性质，可得符合条件的直线有4 条，再分别讨论，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案，解题时注意不要漏解解答：解：设 P（ lx）截得的三角形面积为S，S= SABC，则相似比为1：2，第 1 条 l1，此时 P 为斜边 AB 中点， l1AC ，第 2 条 l2，此时 P 为斜边 AB 中点， l2BC ，第 3 条 l3，此时 BP 与 BC 为对应边，且=，第 4 条 l4，此时 AP 与 AC 为对应边，且，=，=，当=或或时，截得的三角形面积为RtABC 面积的，故答案为：或或点评：此题考查了相似三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用3如图，在正方形ABCD 中， M 是 BC 边上的动点， N 在 CO 上，且，若 AB=1 ，设 BM=x ，当 x=或时，以 A、B、M 为顶点的三角形和以N、C、M 为顶点的三角形相似精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题3 考点 ：相似三角形的性质；正方形的性质专题 ：分类讨论分析：根据正方形的四条边都相等求出CN 的长度，再根据相似三角形对应边成比例，分CN 与 BM 是对应边， CN 与AB 是对应边两种情况列式求解即可解答：解：，AB=1 ，CN= 1=，BM=x ，CM=1 x，当 CN 与 BM 是对应边时，=，即=，解得 x=，当 CN 与 AB 是对应边时，=，即=，解得 x=综上所述， x 的值是或故答案为：或点评：本题考查了正方形的四条边都相等，相似三角形的对应边成比例的性质，因为对应边没有明确，注意要分情况讨论求解，避免漏解而导致出错5如图，点A 的坐标为（ 1，1） ，点 C 是线段 OA 上的一个动点（不运动至O，A 两点） ，过点 C 作 CDx 轴，垂足为 D，以 CD 为边在右侧作正方形CDEF连接 AF 并延长交x 轴的正半轴于点B，连接 OF，若以 B，E，F 为顶点的三角形与 OFE 相似， B 点的坐标是（，0）或（ 3，0）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题4 考点 ：相似三角形的性质；坐标与图形性质；正方形的性质专题 ：压轴题；推理填空题分析：根据点 A 坐标是（ 1，1）可以确定 AOB=45 ，又四边形CDEF 是正方形，所以0D=CD=DE ，即可证明 OFE 的边OE=2EF，再根据 “ 以 B， E，F 为顶点的三角形与 OFE 相似 ” 分 EF=2EB ， EB=2EF 两种情况讨论，根据ACF与AOB 相似，相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式计算即可求出正方形的边长，从而OB 的长亦可求出解答：解：过点A 作 AH OB，点 A 的坐标为（ 1，1） ，AH=OH=1 ， AOB=45 ，OD=CD ，设 CF=x，四边形CDEF 是正方形，CFDE，CD=CF=EF=DE ，CD=CF=EF=DE=x ，OE=OD+DE=2EF ，以 B，E，F 为顶点的三角形与OFE 相似， EF=2EB ，则 EB=x，OB=OE+EB=2x+x=x，CFDE， ACF AOB ，=，即=1x，解得 x=，OB= =，点 B 的坐标为（，0） ，EB=2EF 时，则 EB=2x ，OB=OE+EB=2x+2x=4x ，CFDE， ACF AOB ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题5 =，即=1x，解得 x=，OB=4x=4 =3，点 B 的坐标为（ 3，0） 综上所述，点B 的坐标是（，0）或（ 3， 0） 故答案为：（，0）或（ 3，0） 点评：此题考查了相似三角形的性质对应高的比等于对应边的比的性质，解题的关键是根据点A 的坐标（ 1，1）确定出OE=2EF，注意要分情况讨论，避免漏解6 （2012?泉州）在 ABC 中，P是 AB 上的动点 （P 异于 A、B） ， 过点 P 的直线截 ABC ，使截得的三角形与ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P 的ABC 的相似线，简记为P（lx） （x 为自然数）（1）如图， A=90 ，B= C，当 BP=2PA 时， P（l1） 、P（l2）都是过点P 的ABC 的相似线（其中l1BC，l2AC ） ，此外，还有1条；（2）如图，C=90 ， B=30 ，当=或或时， P（lx）截得的三角形面积为ABC 面积的考点 ：相似三角形的判定与性质专题 ：压轴题分析：（1）过点 P 作 l3BC 交 AC 于 Q，则 APQ ABC ，l3是第 3 条相似线；（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线总共有4 条，注意不要遗漏解答：解： （1）存在另外1 条相似线如图 1 所示，过点P 作 l3BC 交 AC 于 Q，则 APQ ABC ；故答案为： 1；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题6 7以图中的格点为顶点，画一个与已知 ABC 相似的三角形（相似比不为1） 考点 ：作图 相似变换专题 ：作图题分析：可让相似比为1：，把原各边长都乘以后画出各边即可解答：解： ABC就是所求的三角形点评：（2）设 P（ lx）截得的三角形面积为S，S=SABC，则相似比为1：2如图 2 所示，共有4 条相似线：第 1 条 l1，此时 P 为斜边 AB 中点， l1AC，=；第 2 条 l2，此时 P 为斜边 AB 中点， l2BC，=；第 3 条 l3，此时 BP 与 BC 为对应边，且=，=；第 4 条 l4，此时 AP 与 AC 为对应边，且=，=，=故答案为：或或点评：本题引入 “ 相似线 ” 的新定义， 考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题7 本题考查了相似作图，得到相应的相似比是解决本题的关键8如图，已知抛物线y=x2+bx+c 与坐标轴交于A、B、C 三点， A 点的坐标为 （ 1，0） ，过点 C 的直线与 x 轴交于点Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点，过P作 PH 垂直 OB 于点 H，若 PB=5t，且 0t1，存在使P，H，Q 为顶点的三角形与三角形COQ 相似的 t 的值有考点 ：二次函数综合题专题 ：压轴题分析：由于直线过 C 点，因此C 点的坐标为（0， 3） ，那么抛物线的解析式中c=3，然后将A 点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出b 的值；根据CQ 所在直线的解析式即可求出Q 的坐标，也就得出了OQ 的长，然后求 OH 的长利用抛物线的解析式，那么可求出B 的坐标在直角三角形BPH 中，可根据BP=5t 以及 CBO 的正弦值（可在直角三角形COB 中求出）得出 BH 的长，根据OB 的长即可求出OH 的长然后OH，OQ 的差的绝对值就是 QH 的长；再分当H 在 Q、B 之间在H 在 O，Q 之间两种情况进行讨论；根据不同的对应角得出的不同的对应成比例线段来求出t 的值解答：解：根据题意过点C 的直线与 x 轴交于点Q，得出 C 点坐标为：（0， 3） ，将 A 点的坐标为（1，0） ， C（0， 3）代入二次函数解析式求出：b=，c= 3；得 y=x2x3，它与 x 轴交于 A，B 两点，得B（4， 0） OB=4 ，又 OC=3，BC=5 由题意，得 BHP BOC ，OC：OB： BC=3：4：5，HP：HB：BP=3：4：5，PB=5t，HB=4t ，HP=3tOH=OB HB=4 4t由 y=x3 与 x 轴交于点Q，得 Q（4t，0） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题8 OQ=4t当 H 在 Q、B 之间时， QH=OH OQ=（44t） 4t=48t当 H 在 O、Q 之间时， QH=OQ OH=4t （ 44t）=8t4综合，得QH=|48t|；当 H 在 Q、B 之间时， QH=48t，若QHP COQ，则 QH：CO=HP： OQ，得=，解得： t=；若PHQ COQ，则 PH： CO=HQ： OQ，得=，即 t2+2t1=0解得： t1= 1，t2=1（舍去），当 H 在 O、Q 之间时， QH=8t 4若QHP COQ，则 QH：CO=HP： OQ，得=，解得： t=；若PHQ COQ，则 PH： CO=HQ： OQ，得=，即 t22t+1=0t1=t2=1（舍去）综上所述，存在t 的值， t1= 1，t2=，t3=，故答案为： 1，点评：本题主要考查了二次函数的性质、三角形相似等重要知识点，要注意要分Q 的不同位置进行分类讨论，而在每种分类情况下又要根据不同的对应相似三角形进一步分类讨论，不要漏解9 （2004?枣庄）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形在如图5 5 的方格纸中，以A、B 为顶点作格点三角形与OAB 相似（相似比不能为1） ，则另一个顶点C 的坐标为（5，2） ，（4，4）考点 ：相似三角形的判定；坐标与图形性质专题 ：压轴题；分类讨论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题9 分析：要求 ABC 与OAB 相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知OAB 的边 AB 不能与 ABC的边 AB 对应，则AB 与 AC 对应或者 AB 与 BC 对应并且此时AC 或者 BC 是斜边，分两种情况分析即可解答：解： OA=2 ，OB=1 ，AB=当 AB 与 AC 对应时，有=或者=AC=或 AC=5 C 在格点上AC=不合题意，则AC=5 C 点坐标为（ 5，2）同理当 AB 与 BC 对应时，可求得BC=或者 BC=5，也是只有后者符合题意，此时C 点坐标为（ 4，4）C 点坐标为（ 5，2）或者（ 4， 4） 点评：本题结合坐标系，重点考查了相似三角形的判定的理解及运用10 （2006?荆门）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形在如图5 5 的方格中，作格点ABC 和OAB 相似（相似比不为1） ，则点 C 的坐标是（ 4，0）或（ 3，2）考点 ：坐标与图形性质；相似三角形的判定专题 ：压轴题；网格型分析：ABC 和OAB 相似，并且 AB=，OA=2 ， OB=1 ，ABC 和 OAB 相似应分两种情况讨论，当BCA OAB时和当 ABC OBA 时，根据相似三角形的性质求得AC ，BC 的值后，分别以A，B 为圆心， AC，BC 为半径作圆，两圆的交点即为C，易得到点C 的坐标解答：解： ABC 和OAB 相似，并且AB=，OA=2 ，OB=1 ，ABC 和OAB 相似应分两种情况讨论，当BCA OAB 时，=，即=，解得 AC=5 ，BC=2，分别以 A，B 为圆心， 5，2为半径作圆，两圆的交点C 的坐标是（ 3，2） ；同理当 ABC OBA 时，圆心坐标是（4，0） 故本题答案为： （4，0）或（ 3，2） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题1 0点评： 分两种情况进行讨论，理解圆心是圆的弦的垂直平分线的交点是解决本题的关键11如图，在钝角三角形ABC 中， AB=6cm ， AC=12cm，动点 D 从 A 点出发到B 点止，动点E 从 C 点出发到A点止点 D 运动的速度为1cm/秒，点 E 运动的速度为2cm/秒如果两点同时运动，那么当以点A、 D、 E 为顶点的三角形与 ABC 相似时，运动的时间是3秒或 4.8 秒考点 ：相似三角形的性质专题 ：动点型；分类讨论分析：如果以点A、D、E 为顶点的三角形与ABC 相似，由于A 与 A 对应，那么分两种情况：D 与 B 对应； D与 C 对应根据相似三角形的性质分别作答解答：解：如果两点同时运动，设运动t 秒时，以点A、D、E 为顶点的三角形与ABC 相似，则 AD=t ，CE=2t，AE=AC CE=122t当 D 与 B 对应时，有 ADE ABC AD ：AB=AE ：AC，t： 6=（122t） ：12，t=3；当 D 与 C 对应时，有 ADE ACB AD ：AC=AE ：AB，t： 12=（ 122t） ：6，t=4.8故当以点A、D、E 为顶点的三角形与ABC 相似时，运动的时间是3 秒或 4.8 秒点评：主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例本题分析出以点A、 D、 E 为顶点的三角形与ABC相似，有两种情况是解决问题的关键三解答题（共19 小题）12如图，在 ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm ，动点 M 从点 A 出发，以 1cm 秒的速度向点B 运动，动点N 从点 C出发，以2cm 秒的速度向点A 运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题1 1考点 ：相似三角形的性质专题 ：动点型分析：首先设经过t 秒时， AMN 与ABC 相似，可得AM=t ，CN=2t ，AN=12 2t（0t 6） ，然后分别从当MN BC时，AMN ABC 与当 AMN= C 时，ANM ABC 去分析， 根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案解答：解：存在t=3 秒或 4.8 秒，使以点A、M、N 为顶点的三角形与ABC 相似（无此过程不扣分）设经过 t 秒时， AMN 与ABC 相似，此时， AM=t ，CN=2t ， AN=12 2t（0t 6） ，（1）当 MN BC 时， AMN ABC ， （1 分）则，即， （ 3 分）解得 t=3； （5 分）（2）当 AMN= C 时， ANM ABC ， （6 分）则，即， （8 分）解得 t=4.8； （10 分）故所求 t 的值为 3 秒或 4.8 秒 （11 分）点评：此题考查了平行线的性质与判定此题难度适中，解此题的关键是分类讨论思想与数形结合思想的应用13在如图所附的格点图中画出两个相似的三角形考点 ：作图 相似变换；相似三角形的性质专题 ：网格型；开放型分析：根据相似三角形的性质只要对应边的比相等，对应角相等就行所以在本题中我们可以把图形的各边都放大2倍解答：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题1 2解：点评：本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的相似比相等，对应角相等，14在如图的正方形网格中有一个格点三角形ABC 请在图中画一个与ABC 相似且相似比不等于1 的格点三角形，并写出它们的相似比考点 ：作图 相似变换分析：根据画一个与 ABC 相似且相似比不等于1 的格点三角形，可以将三角形缩小变为原来的，进而得出它们的相似比解答：解：如图所示：将各边缩小为原来的一半即可得出答案相似比为：点评：此题主要考查了相似三角形的画法以及相似比的求法，根据题意画出缩小为原来一半的三角形是解决问题的关键15 （2003?绍兴）已知AOB=90 ，OM 是 AOB 的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P在射线 OM 上移动，两直角边分别与边OA，OB 交于点 C，D在图甲中，证明：PC=PD；在图乙中，点G 是 CD 与 OP 的交点，且PG=PD，求 POD 与PDG 的面积之比；（2）将三角板的直角顶点P在射线 OM 上移动，一直角边与边OB 交于点 D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线 OB 分别交于点C， E，使以 P，D，E 为顶点的三角形与OCD 相似，在图丙中作出图形，试求OP 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题1 3考点 ：相似三角形的判定与性质；三角形内角和定理；直角三角形全等的判定；角平分线的性质专题 ：代数几何综合题；压轴题；数形结合；分类讨论分析：（1）可通过构建全等三角形来求解；可根据相似比来求面积比（2）分两种情况进行讨论：当C 在 OA 上上时；当C 在 OA 延长线上时；解答：解： （1）证明：过P 作 PH OA，PNOB，垂足分别为H，N，得 HPN=90 HPC+CPN=90 CPN+NPD=90 HPC=NPD OM 是 AOB 的平分线PH=PN 又 PHC=PND=90 PCH PDN PC=PD PC=PD PDG=45 POD=45 PDG=POD GPD=DPO POD PDG （2）若 PC 与边 OA 相交， PDE CDO 令PDE OCD CDO=PED CE=CD COED OE=OD OP=ED=OD=1 若 PC 与边 OA 的反向延长线相交过 P 作 PHOA ，PNOB，垂足分别为H，N， PED EDC 令PDE ODC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题1 4 PDE=ODC OEC=PED PDE=HCP PH=PN ，RtPHCRtPND HC=ND ，PC=PD PDC=45 PDO=PCH=22.5 OPC=180 POC OCP=22.5 OP=OC设 OP=x，则 OH=ON=HC=DN=OD ON=1 HC=HO+OC=+x 1=+x x=即 OP=点评：本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定和性质等知识点，根据三角形相似或全等得出线段之间以及角之间的关系是解题的关键16 （2012?镇江模拟）如图，矩形ABCD 中， AB=6cm ，AD=3cm ，CE=2cm，动点 P 从 A 出发以每秒2cm 的速度向终点 B 运动， 同时动点Q 也从点 A 出发以每秒1cm 的速度向终点E 运动 设运动的时间为t 秒解答下列问题：（1）当 0t 3 时，以 A、P、Q 为顶点的三角形能与ADE 相似吗？（不必说理由）（2）连接 DQ，试求当t 为何值时？ ADQ 为等腰三角形（3）求 t 为何值时？直线PQ 平分矩形ABCD 的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题1 5考点 ：相似形综合题分析：（1）不能相似，因为相似时，只能AQP=90 ， QPA=30 ，而 ADE 中的锐角不能为30 ；（2）分为三种情况：当AD=AQ=3cm时，当 DA=DQ 时，过 D 作 DM AE 于 M，当 QA=QD 时，求出AQ 长即可；（3）连接 AC，取 AC 中点 O（即 AO=OC ） ，当直线PQ 过 O 时，直线PQ 平分矩形ABCD 的面积，根据ROC POA，求出 CR=AP=2t ，得出 RE=2t2，EQ=5t，根据 RQE PQA 得出=，代入求出即可解答：解： （1）不能相似；（2）四边形ABCD 是矩形，DC=AB=6cm ， ADC=90 ，分为三种情况：当AD=AQ=3cm时，此时t=3；当 DA=DQ 时，过 D 作 DM AE 于 M，在 Rt ADE 中， AD=3 ， DE=DC CE=6cm2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，由三角形的面积公式得：SADE= ADDE=AEDM ，DM=cm，在 Rt ADM 中，由勾股定理得：AM=（cm） ，DM AQ ，AD=DQ ，AQ=2AM=cm（三线合一定理） ，即 t=；当 QA=QD 时，过 Q 作 QNAD 于 N，则 AN=ND=， ADC= ANQ=90 QNDC，DN=AN ，EQ=AQ=AE= 5cm=cm，即 t=综合上述，当t 为 3 秒或秒或秒时， ADQ 是等腰三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题1 6（3）连接 AC，取 AC 中点 O（即 AO=OC ） ，当直线PQ 过 O 时，直线PQ 平分矩形ABCD 的面积，四边形ABCD 是矩形，DCAB， OCR=OAP ，在 ROC 和POA 中， ROC POA（ASA ） ，CR=AP=2t ，CE=2，RE=2t2，EQ=5t，DCAB， RQE PQA，=，=，解得： t1=3， t2=0（舍去）即 t=3 秒时，直线PQ 平分矩形ABCD 的面积点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，含30 度角的直角三角形性质，平行线的性质等知识点的综合运用，用了分类讨论思想和方程思想，难度偏大17已知： RtOAB 在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为 OB 的中点，点C 为折线 OAB 上的动点，线段 PC 把 RtOAB 分割成两部分 在图上画出所有线段PC，使分割得到的三角形与RtOAB 相似， 并直接写出点C 的坐标考点 ：作图 相似变换专题 ：作图题；分类讨论分析：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题1 7根据平行于三角形一边的直线分成的三角形与原三角形相似，可得PCAB ，PCOA 时，分割得到的三角形与RtOAB 相似，根据网格结构写出此时点C 的坐标即可；又当 PCOB 时，分割得到的三角形与RtOAB 也相似，根据网格结构，利用勾股定理求出OB 的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC 的长度，再求出AC 的长度，从而得到此时点C 的坐标解答：解：如图， PCAB 时， OCP OAB ，此时点 C 的坐标为（ 3，0） ，PC OA 时， PCB OAB ，此时点C 的坐标为（ 6，4） ，PC OB 时， CPB OAB ，根据勾股定理得，OB=10，P（3，4）为 OB 的中点，PB=OB=5，=，即=，解得 BC=，AC=AB BC=8 =，此时点 C 的坐标为（ 6，） ，综上所述，点C 的坐标为（ 3，0） ， （6，4） ， （6，） 点评：本题考查了利用相似变换作图，相似三角形的判定，需要特别注意“PC OB ”的情况容易漏掉而导致出错18在 ABC 中， C=90（1）如图 1，P是 AC 上的点，过点P 作直线截 ABC ，使截得的三角形与ABC 相似例如：过点P 作 PDBC交 AB 于 D，则截得的 ADP 与 ABC 相似请你在图中画出所有满足条件的直线（2）如图 2， Q 是 BC 上异于点B，C 的动点，过点Q 作直线截 ABC ，使截得的三角形与 ABC 相似，直接写出满足条件的直线的条数（不要求画出具体的直线）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题1 8考点 ：相似三角形的判定分析：（1）根据平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，可以作DPBC，PEAB ；又由有两个角对应相等的三角形相似，可以过点P 作 PG AB 交 AC 于点 G，过点 P 作 PFC=A 即可；（2）本题需要根据BQ 的取值范围不同，所画的直线条数不同讨论即可解答：解： （1）如图所示：（2）当 0BQ 时，满足条件的直线有3 条；当BQ6 时，满足条件的直线有4 条点评：此题考查了三角形相似的判定方法：平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，有两个角对应相等的三角形相似注意数形结合思想的应用19 （2006?肇庆）如图，已知矩形ABCD 的边长 AB=3cm ，BC=6cm 某一时刻，动点M 从 A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从 D 点出发沿DA 方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的？（2）是否存在时刻t，使以 A，M，N 为顶点的三角形与 ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题1 9考点 ：相似三角形的判定；一元二次方程的应用；分式方程的应用；正方形的性质专题 ：压轴题；动点型分析：（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的作为相等关系；（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t 值即可说明存在，反之则不存在解答：解： （1）设经过x 秒后， AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的，则有：（62x）x= 3 6，即 x2 3x+2=0， （2 分）解方程，得x1=1，x2=2， （3 分）经检验，可知x1=1， x2=2 符合题意，所以经过1 秒或 2 秒后， AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的 （4 分）（2）假设经过t 秒时，以A，M，N 为顶点的三角形与ACD 相似，由矩形 ABCD ，可得 CDA= MAN=90 ，因此有或（5 分）即，或（ 6 分）解，得t=；解，得t=（7 分）经检验， t=或 t=都符合题意，所以动点M，N 同时出发后，经过秒或秒时，以 A，M，N 为顶点的三角形与ACD 相似 （8 分）点评：主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程要掌握正方形和相似三角形的性质，才会灵活的运用注意：一般关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可20如图是一个10 10 格点正方形组成的网格ABC 是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面问题，在图中画出与 ABC 相似的格点 A1B1C1和A2B2C2，且 A1B1C1与ABC 的相似比是2，A2B2C2与ABC的相似比是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题2 0考点 ：作图 相似变换；勾股定理；相似三角形的判定分析：根据 A1B1C1与 ABC 的相似比是2， A2B2C2与ABC 的相似比是， 分别得出三角形的边长画出图形即可解答：解： A1B1C1与 ABC 的相似比是2，A2B2C2与ABC 的相似比是，A1C1=4，B1C1=4，A2C2=，B2C2=，即可得出图象，如图所示：点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理的应用和相似变换，根据已知得出三角形的边长是解题关键23RtABC 中， C=90 ，AC=6 厘米， BC=8 厘米，动点P 从点 A 开始在线段AC 上以 1 厘米 /秒的速度向点C移动，同时动点Q 从点 B 开始在线段BA 上以 2 厘米 /秒的速度向点A 移动，当一个动点先运动到终点时，整个运动过程结束设点P、 Q 移动的时间为t 秒（1）设 APQ 的面积为y（厘米2） ，请你求出y 与 t 的函数关系式，写出自变量t 的取值范围，并求出当t 为何值时， APQ 的面积最大；（2）在整个运动过程中，是否会存在以点A、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在， 请你求出此时t 的值；若不存在，请你说明理由考点 ：相似形综合题分析：（1）根据已知条件求出AB 的长，再过点Q 作 QHAC，交 AC 与点 H，的长 QHA BCA ，求出，即可求出QH 的值，最后求SAPQ的值；（2）存在在以点A、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，此小题要分两种情况进行讨论，当APQ=90 时，APQ ABC ，求出 t 的值； 当 PQA=90 时，APQ ABC ，求出 t 的值， 经检验它们都符合题意即可解答：解： （1） BC=8， AC=6 ，得 AB=10 ，AP=t ，CP=6t，BQ=2t ，AQ=10 2t，过点 Q 作 QHAC，交 AC 与点 H， QHA BCA ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题2 1，QH=8 t，SAPQ=AP?QH=t（8t） =4tt2；当 t=时，面积有最大值，是4 （）2=5=；（2）当 APQ=90 时， APQ ABC ，则，t=；当 PQA=90 时， APQ ABC ，则，则，解得 t=，当 t 为或时，经检验，它们都符合题意，此时AQP 和 ABC 相似，故存在以点A、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似点评：此题考查了相似三角形的判定与性质；此题运用函数的思想，列出函数表达式，再利用函数列出表达式代入数值进行求解，关键是第二问分两种种情况进行讨论，不要漏掉24已知：如图，网格中的每个小正方形的边长都是1 个单位，请在图中画出一个与格点DEF 相似但相似比不等于 1 的格点三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题2 2考点 ：作图 相似变换；相似三角形的性质专题 ：作图题；网格型分析：利用相似三角形的性质，对应边的相似比相等，对应角相等，可以让各边长都放大一倍，得到新三角形本图形的答案不唯一，只要是相似三角形，都在格点上就正确解答：解： ABD 就是所求（9 分）点评：本题主要考查了相似三角形的画法，注意做这类题时的关键是对应边相似比相等，对应角相等25如图，在正方形网格上有若干个三角形，找出与ABC 相似的三角形考点 ：相似三角形的判定专题 ：计算题分析：可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题解答：解：观察可以发现AC=AB ，故该三角形中必须有一条边与邻边的比值为EBF 中， BF=， EF=，BF=5，DIB 中， DI=2，DB=2，BI=2，HFE 中， HF=，HE=2 ，EF=，ABC 中， AB=1 ，AC=，BC=，计算对应边比值即可求得EBF DIB HFE ABC 点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键26如图，已知矩形ABCD 的边长 AB=3cm ，BC=6cm ，某一时刻，动点M 从点 A 出发沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向点 B 匀速运动；同时，动点N 从点 D 沿 DA 方向以 2cm/s 的速度向点A 匀速运动（1）经过多少时间，AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的？（2）是否存在时刻t，使 A、M、N 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题2 3考点 ：相似三角形的判定与性质；矩形的性质专题 ：动点型分析：（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的作为相等关系；（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t 值即可说明存在，反之则不存在解答：解： （1）设经过x 秒， AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的，由题意得DN=2x ，AN=6 2x，AM=x ，矩形 ABCD 中 AB=3 ， BC=6，AD=BC=6 ，CD=AB=3 ，矩形 ABCD 的面积为： AB?AD=3 6=18 ，AMN 的面积 = 18，可得方程x23x+2=0 ，解得 x1=1，x2=2，答：经过1 秒或 2 秒， AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的；（2）由题意得DN=2t ，AN=6 2t，AM=t ，若NMA ACD ，则有=，即=，解得 x=1.5，若MNA ACD 则有=，即=，解得 x=2.4，答：当 t=1.5 秒或 2.4 秒时，以A、 M、N 为顶点的三角形与ACD 相似点评：此题考查了相似三角形的判定，正方形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程要掌握正方形和相似三角形的性质，才会灵活的运用注意：一般关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题2 427如图，在梯形ABCD 中， AD BC，AD=2 ，BC=10，对角线 AC=4 ，动点 E 从点 B 出发，以2cm/s 的速度向点C 运动，运动时间为t（s） （ 0 t 5） 那么当t 为何值时，以A、E、C 为顶点的三角形与ADC 相似考点 ：相似三角形的判定；梯形专题 ：动点型分析：由于 AD BC，得 DAC= BCA ；若以 A、 E、C 为顶点的三角形与ADC 相似，可得两种情况： ADC CEA，此时对应边AD=AD ，则两三角形全等，AD=EC=2 ； ADC CAE，此时 AD ：AC=AC ：CE，根据所得的比例式，即可求出CE 的长；根据上述两种情况所得出的CE 的值，再除以B 点的速度，即可求出时间t 的值解答：解： AD BC ， DAC= BCA ；当 ADC CEA 时，即 EC=AD=2 ，t=2 2=1s；当 ADC CAE 时，即 CE=AC2 AD=8 ，t=8 2=4s；故当 t 为 1s 或 4s 时，以 A、E、C 为顶点的三角形与 ADC 相似点评：当相似三角形的对应角和对应边不明确时，应充分考虑到各种情况，分类讨论，以免漏解28如图，在RtABC 中， C=90 ，AC=4cm ，BC=3cm 动点 M 从点 A 出发，以每秒1cm 的速度沿AC 向终点C 移动，同时动点P 从点 B 出发，以每秒2cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动，连接PM，设移动时间为t（单位：秒，0t2.5） 当 t 为何值时，以A，P，M 为顶点的三角形与ABC 相似？考点 ：相似三角形的判定与性质；勾股定理专题 ：动点型分析：根据勾股定理求出AB ，根据相似得出两种情况，根据相似得出比例式，代入比例式求出即可解答：解：如图，在Rt ABC 中， C=90 ，AC=4cm ，BC=3cm 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 25 页九年级相似三角形动点问题2 5根据勾股定理，得AB=5cm，以 A，P，M 为顶点的三角形与ABC 相似，分两种情况：当 AMP ABC 时，=，即=，解得 t=；当 APM ABC 时，=时，即=，解得 t=，综上所述，当t=或 t=时，以 A、P、M 为顶点的三角形与ABC 相似点评：本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意要进行分类讨论啊精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 25 页