学习必备欢迎下载点击中考压轴题中的运动变化问题张宇石近几年的中考压轴题，涉及运动变化的试题频频出现。运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的几何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系。解题的关键是分清几何元素运动的方向和路径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些是不变量，通常要根据几何元素所处的不同位置加以分类讨论，同时，综合运用勾股定理、相似三角形、方程、函数等知识解决。本文进行分类归纳并对其解法进行研究，以揭示解决此类问题的方法和规律。一、单点运动例 1（长春）如图，在平面直角坐标系中，两个函数y=x，6x21y的图象交于点 A。动点 P从点 O开始沿 OA 方向以每秒 1个单位的速度运动，作PQ/x轴交直线 BC于点Q，以 PQ为一边向下作正方形PQMN ，设它与 OAB 重叠部分的面积为S。（1）求点 A的坐标。（2）试求出点 P在线段 OA 上运动时， S与运动时间 t（秒）的关系式。（3）在（ 2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时， S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。（4）若点 P经过点 A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN 和OAB 重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是_。解： （1）由621yxy，可得4y4xA（4，4）。（2）点 P在y=x上， OP=t，则点 P坐标为（t22t22，）。点Q的纵坐标为t22，并且点 Q在6x21y上。t212x6x21t22，。点Q的坐标为（t22t212，）PQt22312。当23tt22t22312时，当23t0时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载t26t23) t22312( t22S2当点 P到达 A点时，24t当24t23时，144t236t29) t22312(S22（3）有最大值，最大值应在23t0中，12)8t24t (23t26t23S2212)22t (232当22t时， S的最大值为 12。（4）212t二、双点运动例 2（广安）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形 OABC 的边长为 2cm，点A、C分别在 y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线cbxaxy2经过点 A、B，且0c5a12。（1）求抛物线的解析式。（2）如果点 P由点A开始沿 AB 边以 2cm/s的速度向点 B移动，同时点 Q由点 B开始沿 BC边以 1cm/s的速度向点 C移动。移动开始后第t秒时，设)cm(PQS22，试写出 S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；当 S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以 P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标，如果不存在，请说明理由。解： （1）据题意知：A（ 0， 2）， B（2， 2）A点在抛物线上，2C65a0c5a12，由AB=2 知抛物线的对称轴为：x=1 即：35b1a2b抛物线的解析式为：2x35x65y2（2）由图象知：tBQt22PB，22222t) t22(BQPBPQS即) 1t0(4t8t 5S2假设存在点R，可构成以 P、B、R、Q为顶点的平行四边形。) 1t0(4t8t 5S2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载) 1t0(54)54t (5S254S54t取得最小值时，当。这时4.0582PB，BQ=0.8 ，P（ 1.6， 2）， Q（2， 1.2）分情况讨论：A）假设 R在BQ的右边，这时QPPB/，则：R的横坐标为 2.4，R的纵坐标为 1.2，即（ 2.4， 1.2）代入2x35x65y2，左右两边相等这时存在 R（2.4， 1.2）满足题意。B）假设 R在BQ的左边，这时QB/PR，则：R的横坐标为 1.6，纵坐标为1.2，即（ 1.6， 1.2）代入2x35x65y2，左右两边不相等，R不在抛物线上。C）假设 R在PB的下方，这时QB/PR，则：R（ 1.6， 2.4）代入2x35x65y2，左右不相等，R不在抛物线上。综上所述，存在一点R（2.4， 1.2）三、直线运动例 3（锦州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，点 C的坐标为（4，0）， AOC=60 ，垂直于 x轴的直线 l从y轴出发，沿 x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形 OABC 的两边分别交于点M、N（点 M在点 N的上方）。（1）求 A、 B两点的坐标；（2）设 OMN 的面积为 S，直线 l运动时间为 t秒（6t0），试求 S与 t的函数表达式；（3）在题（ 2）的条件下，t为何值时， S的面积最大？最大面积是多少？解： （1）四边形 OBABC 为菱形，点 C的坐标为（ 4， 0）OA=AB=BC=CO=4。过点 A作AD OC于D。 AOC=60 ，OD=2 ，32AD。A（2，32）， B（6，32）。（2）直线 l从y轴出发，沿 x轴正方向运动与菱形OABC 的两边相交有三种情况：2t0时，直线 l与OA 、OC两边相交（如图）。MN OC， ON=t 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载t360tanONMN。2t23MNON21S。当4t2时，直线 l与AB 、OC两边相交（如图）t332t21MNON21S。当6t4时，直线 l与AB 、BC两边相交（如图）设直线 l与 x轴交于点 H。)4t (332MNt336，t ) t336(21OHMN21St33t232。) t6)(t6(321SBMN2t23t36318，t33t23)t23t36318()38t32()32t3(38S22（3）由（ 2）知，当2t0时，32223S2最大；当4t2时，34S最大；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载当6t4时，配方得239)3t (23S2，当 t=3时，函数239t33t23S2的最大值是。但t=3不在6t4内，在6t4内，函数t33t23S2的最大值不是239。而当 t3时，函数t33t33S2随t的增大而减小，当34S6t4时，。综上所述，当t=4秒时，34S最大。四、三角形运动例 4（青岛）如图，有两个形状完全相同的直角三角形ABC 和EFG叠放在一起（点 A与点 E重合），已知 AC=8cm ，BC=6cm ， C=90， EG=4cm ， EGF=90， O是EFG斜边上的中点。如图，若整个EFG从图的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB 方向平移，在EFG平移的同时，点P从 EFG的顶点 G出发，以 1cm/s的速度在直角边GF上向点 F运动，当点P到达点 F时，点 P停止运动， EFG也随之停止平移。设运动时间为x(s)，FG的延长线交AC 于H，四边形 OAHP 的面积为 y（cm2）（不考虑点P与G、 F重合的情况）。（1）当 x为何值时， OP/AC ？（2）求 y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围。（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP 面积与 ABC 面积的比为 13：24？若存在，求出 x的值；若不存在，说明理由。（参考数据：，或，25.205.436.194.41345611613225115129961142222216.216.42）解： （1） RtEFG RtABC ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载6FG84BCFGACEG，。cm3864FG。当 P为FG的中点时， OP/EG ，EG/AC ，OP/AC 。)s(5.13211FG21x。当 x为 1.5s时， OP/AC 。（2）在 RtEFG中，由勾股定理得：EF=5cm。EG/AH ，EFGAFH 。FHFGAFEFAHEG。FH35x5AH4。)5x(53FH)5x(54AH，。过点 O作ODFP，垂足为 D。点 O为EF中点，cm2EG21OD。x3FP，OFPAFHOAHPSSS四边形)3x0(3x517x256)x3(221)5x(53)5x(5421FPOD21FHAH212（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP 面积与 ABC 面积的比为 13：24。则ABCOAHPS2413S四边形（舍去），解得350x25x0250x85x6862124133x517x25621220x3 ，当) s(25x时，四边形 OAHP 面积与 ABC 面积的比为 13： 24。五、矩形运动例 5（南安）如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边 AD 在x轴上，点 A在原点， AB=3 ， AD=5 。若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动。同时点P从A点出精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载发以每秒 1个单位长度沿ABCD的路线作匀速运动。当P点运动到 D点时停止运动，矩形 ABCD 也随之停止运动。（1）求 P点从 A点运动到 D点所需的时间；（2）设 P点运动时间为t（秒）。当 t=5时，求出点 P的坐标；若 OAP的面积为 s，试求出 s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）。解： （1）P点从 A点运动到 D点所需的时间=111)353(（秒）（2）当 t=5时， P点从 A点运动到 BC上，此时 OA=10 ， ABBP=5，BP=2 过点 P作PEAD 于点 E，则PE=AB=3 ，AE=BP=3 12210AEOAOD点 P的坐标为（ 12， 3）。分三种情况：（i）当3t0时，点 P在AB 上运动，此时 OA=2t ，AP=t 2ttt221s（ii）当8t3时，点 P在AB 上运动，此时OA=2t t33t221s（iii ）当 8t11时，点 P在CD上运动，此时 OA=2t ，tCPBCABt11)CPBCAB()CDBCAB(DPt11t) t11(t221s2综上所述， s与t之间的函数关系式是：当3t0时，2ts；当8t3时， s=3t；当8t11 时，t11ts2六、圆的运动例 6（南昌）已知抛物线cbxaxy2，经过点 A（0，5）和点 B（3，2）（1）求抛物线的解析式；（2）现有一半径为1，圆心 P在抛物线上运动的动圆，问P在运动过程中，是否存在P与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若 Q的半径为 r，点 Q在抛物线上、Q与两坐轴都相切时求半径r的值。解： （1）由题意，得29cb35c精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载解得5c4b抛物线的解析式为5x4xy2（2）当 P在运动过程中，存在P与坐标轴相切的情况。（如图1）图1 设点 P坐标为（0x，0y）则当 P与y轴相切时，有1x1|x|00，由105141y1x200，得P1（ 1，10），由1x0，得25141y20P2（1，2）当 P与x轴相切时有1|y|0抛物线开口向上，且顶点在x轴的上方。y0=1 由1y0，得15x4x020，解得2y0， B（ 2，1）综上所述，符合要求的圆心P有三个，其坐标分别为：P1（ 1，10）， P2（1，2）， P3（2，1）（3）设点 Q坐标为（ x，y），则当 Q与两条坐标轴都相切时（如图2），有xy由y=x 得x5x4x2，即05x5x2，解得255x；由xy，得x5x4x2。即05x3x2，此方程无解 O的半径为255r点评： 以上几题的共同之处便是首先要认清变化的过程，即到底有哪几个不同阶段，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载然后抓住动态变化中的特殊点，每个阶段逐一解决，即将动态转化为静态问题来解。动态几何题知识涉及面广，灵活性、综合性都很强，渗透了分类讨论、数形结合、转化等数学思想。通过以上几题，希望同学们能从中感悟到动态几何题的解题思路和方法。年级初中学科数学版本期数内容标题点击中考压轴题中的运动变化问题分类索引号G.622.46 分类索引描述辅导与自学主题词点击中考压轴题中的运动变化问题栏目名称中考经典供稿老师审稿老师录入侯海静一校曲兰香二校审核精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页