1 曲线.知识点一直接法求曲线的方程已知线段AB 的长度为10，它的两个端点分别在x 轴、 y 轴上滑动，则AB 的中点 P 的轨迹方程是 _解析设点 P 的坐标为 (x，y)，则 A 点坐标为 (2x,0)，B 点坐标为 (0,2y)由两点间的距离公式可得(2x)2(2y)210，即 (2x)2(2y)2100，整理、化简得x2 y225. 答案x2y225 知识点二代入法求曲线的方程已知 ABC 的两顶点A、B 的坐标分别为A(0,0) 、B(6,0) ，顶点 C 在曲线 yx23 上运动，求 ABC 重心的轨迹方程分析由重心坐标公式，可知 ABC 的重心坐标可以由A、B、C 三点的坐标表示出来，而 A、 B 是定点，且C 在曲线 yx23 上运动，故重心与C 相关联因此，设出重心与C点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程yx23 即可解设 G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点C 的坐标为 (x，y)，则由重心坐标公式，得x06x3，y00y3x3x6，y3y.顶点 C(x，y)在曲线 yx23 上，3y(3x6)23，整理，得y3(x 2)21，故所求轨迹方程为y 3(x2)21. 知识点三定义法求曲线的方程设 A(1,0) ，B(1,0)，若动点M 满足 kMA kMB 1，求动点 M 的轨迹方程解如图所示，设动点M 的坐标为 (x，y)由题意知：MA MB. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页2 所以MAB 为直角三角形，AB 为斜边又因为原点O 是 AB 的中点，所以， |MO|=12， |AB|=1 ，所以，动点M 在以 O(0,0)为圆心， |MO|为半径的圆上根据圆的方程的定义知：方程为x2+y2=1. 又因为动点M 不能与点A，B 重合，所以， x 1，所以，动点M 的轨迹方程为x2+y2=1 (x 1)知识点四参数法求曲线的方程已知定点P(a，b)不在坐标轴上， 动直线 l 过点 P，并分别交 x 轴，y 轴于点 A，B，分别过 A，B 作 x 轴， y 轴的垂线交于点M，求动点M 的轨迹方程解设 M(x ，y)，并设 l：yb k(xa)，由题意知k 存在，且k0，则得 A(abk，0)，B(0，b ak)，又 AM ，BM 分别是 x 轴， y 轴的垂线，得M(abk，bak)即xabk，ybak，消去参数k，得 xyaybx 0. 所以动点M 的轨迹方程是xyaybx 0. 知识点五交轨法求曲线的方程如果两条曲线的方程是f1(x，y)0 和 f2(x，y)0，它们的交点是P(x0，y0)，证明： f1(x，y)f2(x，y)0 的曲线也经过P 点( R)，并求经过两条曲线x2y23xy0 和 3x23y2y0 的交点的直线方程解P(x0，y0)是两曲线的交点，f1(x0， y0)0，f2(x0，y0)0，f1(x0， y0)f2(x0， y0)0. 即方程 f1(x，y)f2(x，y)0 的曲线经过P 点x2y23xy0，3x2 3y2y0， 3得 9x4y0. 即过两曲线的交点的直线方程为9x4y0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页3 考点赏析1.( 福建高考 ) 如图，已知点 F（1,0 ），直线 l:x=-1,P为平面上的动点，过P作直线 l 的垂线，垂足为点Q ，且 QP QF =FP FQ .求动点 P的轨迹 C的方程.解方法一设点 P(x， y)，则 Q(1，y)，由PQ QFFP FQ得： (x1,0) (2， y)(x1， y) (2，y)，化简得 C：y24x. 方法二由 QF QFFP FQ得： (PQ (PQPF) 0，PFPF) (PQPF)0，PQ2PF2PF20， |PQ| |PF|. 所以点 P 的轨迹 C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：y24x. 2.（陕西高考）如图所示，三定点A（2，1）B（0，1） ，C（2，1） ；三动点D，E，M 满足AD=tAB，BE=tBC，DM=tDE，t 0，1.(1)求动直线DE 斜率的变化范围；(2)求动点 M 的轨迹方程解(1)设 D(xD， yD)，E(xE，yE)，M(x，y) 由AD=tAB，BE=tBC，知（xD2，yD1）= t（2，2） ，xD 2t2，yD 2t1.同理xE 2t，yE2t1.kDEyEyDxExD2t 1(2t1)2t(2t 2)1 2t. t0,1，kDE 1,1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页4 （2） tDEtDE，(x2t2，y2t1) t(2t2t2,2t12t1) t(2,4t2)(2t,4t22t)x2(12t)，y(12t)2.yx24，即 x24y. t0,1，x2(12t)2,2所求轨迹方程为x24y， x2,2 1如果命题“坐标满足方程f(x，y)0 的点都在曲线C 上”是不正确的，那么下列命题中正确的是 () A坐标满足f(x， y) 0 的点都不在曲线C 上B曲线 C 上的点的坐标不都满足方程f(x，y)0 C坐标满足方程f(x，y)0 的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上D至少有一个不在曲线C 上的点，其坐标满足f(x，y)0 答案D 解析对于命题 “ 坐标满足方程f(x，y)0 的点都在曲线C 上”的否定是 “坐标满足方程 f(x，y)0 的点不都在曲线C 上”，即至少有一个不在曲线C 上的点，它的坐标满足方程f(x，y)0. 2 ABC 中，若 B、C 的坐标分别是(2,0)、 (2,0)，中线 AD 的长度是3，则 A 点的轨迹方程是 () Ax2y23 Bx2y24 Cx2y29(y0) Dx2y29(x0) 答案C 解析易知 B、C 中点 D 即为原点O，所以 |OA|3，所以点 A 的轨迹是以原点为圆心，以3 为半径的圆，又因 ABC 中， A、B、C 三点不共线，所以y0.所以选 C. 3已知 A(1,0)，B(2,4)， ABC 的面积为10，则动点 C 的轨迹方程是() A4x3y160 或 4x3y160 B4x3y160 或 4x 3y240 C4x3y160 或 4x 3y240 D4x3y160 或 4x3y240 答案B 解析由两点式，得直线 AB 的方程是y040x121， 即 4x3y40， 线段 AB 的长度 |AB|精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页5 (21)2425.设 C 的坐标为 (x，y)，则125|4x3y4|510，即 4x3y16 0 或 4x3y240. 4在下列图中方程表示图中曲线的是() 答案C 解析对于 A，方程 x2+ y2=1 表示一个完整的圆对于B，x2y2=(x+y)(xy)=0，它表示两条相交直线对于D，由 lgx+lgy=0 知 xy=1，x0 且 y0. 5. 设过点 P（x，y）的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A、B 两点，点Q与点 P 关于 y 轴对称， O 为坐标原点，若BP=2PA，且OQAB= 1，则 P 点的轨迹方程是 () A3x232y21(x0，y0) B3x232y2 1(x0，y0) C.32x23y2 1(x0，y0) D.32x23y21(x0，y0) 答案D 解析如图所示，若P(x，y)，则 A32x， 0 ，B(0,3y)，AB32x， 3y ，OQ 32x，3y ，OQ(x，y)，AB 32x，3y ，OQ1，32x23y21(x0，y0)，即为点 P 轨迹方程6 设动点 P 是曲线 y2x21 上任意一点， 定点 A(0， 1)， 点 M 分 PA 所成的比为21，则点 M 的轨迹方程是() Ay6x213By3x213Cy 3x2 1 D x6y213答案A 解析设点 M 的坐标为 (x0，y0)，因为点 A(0， 1)，点 M 分 PA 所成的比为21，所以P 点的坐标为 (3x0,3y02)，代入曲线y2x21 得 y06x2013，即点 M 的轨迹方程是y6x213. 7点 P(a，b)是单位圆上的动点，则Q(ab， ab)的轨迹方程是 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页6 答案x22y10 解析设 Q(x，y)则xab，yab.因为 a2b21，即 (ab)22ab1.所以 x22y1.所以点 Q 的轨迹方程是x22y10. 8平面上有三个点A( 2，y)，B(0，y2)，C(x，y) 若ABBC，则动点 C 的轨迹方程为_答案y28x解析AB 32x，3y ，OQ (0，y2)(2，y)(2，y2)，BC (x，y)(0，y2)(x，y2)因为ABBC,所以ABBC, 所以 (2，y2) (x，y2)0，即 y28x.所以动点 C 的轨迹方程为y28x. 9过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2.若 l1交 x 轴于 A 点， l2交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程解方法一设点 M 的坐标为 (x，y)M 为线段 AB 的中点，A 的坐标为 (2x,0)，B 的坐标为 (0,2y)l1l2，且 l1、l2过点 P(2,4)，PAPB，kPA kPB 1. 而 kPA4022x(x1)，kPB4 2y20，21x2y1 1(x1)整理，得x2y50(x1)当 x 1时， A、B 的坐标分别为 (2,0)、(0,4)，线段 AB 的中点坐标是 (1,2)，它满足方程x2y50. 综上所述，点M 的轨迹方程是x2y5 0. 方法二设 M 的坐标为 (x，y)，则 A、B 两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y)，连结 PM. l1 l2， 2|PM|=|AB|. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页7 而|PM|=22(2)(4)xy，|AB|=22(2 )(2 )xy，22222 (2)(4)44xyxy化简，得x+2y5=0，为所求轨迹方程. 方法三 l1 l2，OA OB， O、A、P、B 四点共圆，且该圆的圆心为M， |MP|=|MO| ，点M 的轨迹为线段OP 的中垂线 kOP=0204= 2，OP 的中点坐标为 (1,2)，点M 的轨迹方程是y2= 21(x1)，x+2y5=0. 方法四设点 M 的坐标为 (x， y)，则 A(2x,0) ，B(0,2y)， PA PB ，即PAPB，PAPB=0.（ 2x-2 ，-4 ） （-2 ，2y-4 ）=0，即-2 （2x-2 ）-4 （ 2y4）=0，化简得： x+2y-5=0. 10. 设 F（1，0） ，点 M 在 x 轴上，点 P 在 y 轴上，且MN=2MP，PMPF.当点 P在 y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程 . 设 M（ a,0 ） ,P(0,b),动点 N（x,y ）, 则MN=（x-a,y ）,MP=(-a,b),PF(1， b)因为 MN2MP， PFPF，所以xa 2a，y2b，且 ab20.上述方程组消去a，b，得 y24x.所以动点N 的轨迹方程为y24 讲练学案部分21.1曲线与方程对点讲练知识点一曲线的方程与方程的曲线如果曲线C 上的点的坐标满足方程F(x，y)0，则下列说法正确的是() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页8 A曲线 C 的方程是F(x， y) 0 B方程 F(x， y) 0 的曲线是CC坐标不满足方程F(x，y)0 的点都不在曲线C 上D坐标满足方程F(x，y)0 的点都在曲线C 上答案C 解析直接法：原说法写成命题形式即“若点 M(x，y)是曲线 C 上的点，则M 点的坐标适合方程F(x，y) 0”，其逆否命题即“若 M 点的坐标不适合方程F(x，y)0，则 M 点不在曲线 C 上”，此即说法C. 特值方法：作如上图所示的曲线C，考查 C 与方程 F(x，y)=x21=0 的关系，显然A、B、D 中的说法全不正确【反思感悟】“曲线上的点的坐标都是这个方程的解” ，阐明曲线上点的坐标没有不满足方程的， 也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外，“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点” ，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏设方程 f(x，y)0 的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y) 0 的点都在曲线 C 上”是不正确的，则下面命题中正确的是() A坐标满足f(x， y) 0 的点都不在曲线C 上B曲线 C 上的点的坐标都不满足f(x，y)0 C坐标满足f(x，y) 0 的点有些在C 上，有些不在曲线上D一定有不在曲线上的点，其坐标满足f(x，y)0 答案D 解析“坐标满足方程f(x，y)0 的点都在曲线C 上”不正确，就是说“坐标满足方程f(x，y)0 的点不都在曲线C 上”是正确的，这意味着一定有这样的点(x0，y0)，虽然f(x0，y0)0，但 (x0，y0)?C，即一定有不在曲线上的点，其坐标满足f(x，y)0.故应选 D 知识点二判断方程是否为曲线的方程(1)过 P(0， 1)且平行于x 轴的直线l 的方程是 |y|1 吗？为什么？(2)设 A(2,0)，B(0,2)，能否说线段AB 的方程是xy20？为什么？解(1)如图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为y 1，因而在直线l 上的点的坐标都满足|y|1，但是以 |y|1 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上所以 |y|=1 不是直线l 的方程，直线l 只是方程 |y|=1 所表示曲线的一部分(2)由方程 x+y2=0 知，当 x=4 时， y=2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页9 故点 (4，2)的坐标是方程x+y2=0 的一个解，但点(4，2)不在线段AB 上 x+y2=0 不是线段AB 的方程【反思感悟】判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上下列命题是否正确？若不正确，说明原因(1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线l 的方程是 |x|2；(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是yx. 解(1) 错误因为以方程|x|=2 的解为坐标的点，不都在直线l 上，直线l 只是方程 |x|=2 所表示的图形的一部分(2)错误因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线l1 和 l2，直线l1 上的点的坐标都是方程y=x 的解，但是直线l2 上的点 (除原点 )的坐标不是方程y=x 的解故 y=x 不是所求的轨迹方程知识点三证明方程是曲线的方程证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy k. 证明(1) 如图所示，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点因为点M 与 x 轴的距离为 | y0|，与 y 轴的距离为 |x0|，所以 | x0 | | y0|=k，即(x0，y0)是方程 xy= k 的解(2)设点 M1 的坐标 (x1 ，y1)是方程 xy= k 的解，则x1y1= k，即| x1| | y1|=k. 而| x1|、| y1|正是点 M1 到纵轴、横轴的距离，因此点M1 到这两条直线的距离的积是常数 k，点 M1 是曲线上的点由(1)(2) 可知， xy= k 是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k0) 的点的轨迹方程【反思感悟】要证某轨迹的方程为f(x，y)，由曲线的方程的概念可知，既要证轨迹上的任意一点M(x0 ，y0)的坐标都是f(x ，y)=0 的解，也要证明方程的任一解(x1，y1)对应的点都在轨迹上已知两点 A(0,1)， B(1,0)，且 |MA|2|MB|，求证：点M 的轨迹方程为x432 y13289. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页10 证明设点 M 的坐标为 (x，y)，由两点间距离公式，得|MA|(x0)2(y 1)2|MB|(x1)2(y0)2又|MA|2|MB|，(x0)2(y1)22(x1)2(y0)2. 两边平方，并整理得3x2 3y22y8x 30，即 x432 y13289所以轨迹上的每一点的坐标都是方程的解；设 M1的坐标 (x1，y1)是方程 的解，即 x1432 y113289. 即 3x213y218x1 2y130，|M1A|(x1 0)2(y1 1)2x21y212y11 x21y213x213y218x1 31 2(x11)2(y1 0)22|M1B| 即点 M1(x1，y1)在符合条件的曲线上综上可知：点M 的轨迹方程为x432 y13289. 课堂小结 ： 1.称曲线 C 的方程是f(x,y)=0( 或称方程f(x,y)=0 的曲线是C)必须具备两个条件:(1)曲线 C 上的点的坐标都是方程f(x , y)=0 的解 (纯粹性 );(2)以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线C 上(完备性 ).2.设曲线 C 的方程是f(x , y)=0, 则点 P(x0 , y0)在曲线 C 上f(x0 , y0)=0. 课时作业一、选择题1已知曲线C 的方程为x3x y10，则下列各点中在曲线C 上的点是 () A(0,0) B(1,3) C(1,1) D(1,1) 答案B 解析点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)上? f(x0， y0)0. 2已知直线l 的方程是 f(x，y)0，点 M(x0，y0)不在 l 上，则方程f(x，y)f(x0，y0)0表示的曲线是() A直线 lB与 l 垂直的一条直线C与 l 平行的一条直线D与 l 平行的两条直线答案C 解析方程 f(x，y)f(x0，y0)0 表示过 M(x0，y0)且和直线l 平行的一条直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页11 选 C. 3已知圆C 的方程 f(x，y)0，点 A(x0，y0)在圆外，点B(x， y)在圆上，则f(x，y)f(x0，y0)f(x， y )0 表示的曲线是() A就是圆CB过 A 点且与圆C 相交的圆C可能不是圆D过 A 点与圆 C 同心的圆答案D 解析由点 B(x，y)在圆上知f(x ，y)0. 由 A(x0，y0)在圆外知f(x0，y0)为不为 0 的常数，点 A(x0，y0)代入方程f(x，y)f(x0，y0) 0成立所以 f(x，y)f(x0，y0)0 表示的曲线过A 点因此选 D. 4下列各组方程中表示相同曲线的是() Ayx，yx1 Byx，yx2C|y|x|，yxD|y|x|，y2x2答案D 解析A 中 yx 表示一条直线，而yx 1 表示直线yx 除去 (0,0)点；B 中 y x 表示一条直线，而yx2表示一条折线；C 中 |y| |x|表示两条直线，而yx表示一条射线；D 中|y|x|和 y2 x2均表示两条相交直线，故选D. 5“以方程f(x，y)0 的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f(x，y)0”的 () A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B 解析f(x，y)0 是曲线C 的方程必须同时满足以下两个条件： 以 f(x，y) 0 的解为坐标的点都在曲线C 上； 曲线 C 上的点的坐标都符合方程f(x，y)0，故选 B. 二、填空题6求方程 |x| |y|1 所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为_答案2 解析方程 |x|+|y|=1 所表示的图形是正方形ABCD( 如图 )，其边长为2. 方程|x|+|y|=1 所表示的曲线C 围成的平面区域的面积为2. 7 到直 线4x 3y 5 0的距 离 为1的 点 的轨 迹 方程 为_答案4x3y10 0和 4x3y0 解析可设动点坐标为(x，y)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页12 则|4x3y5|51，即 |4x3y 5| 5. 所求轨迹为4x3y100 和 4x3y0. 8若方程ax2by4 的曲线经过点A(0,2)和 B12，3 ，则a_，b_. 答案168 32 三、解答题9已知直线l1：mxy0， l2：xmy m20. 求证：对mR，l1与 l2的交点 P 在一个定圆上证明l1与 l2分别过定点 (0,0)及(2,1)，且 l1l2，l1与 l2的交点P 必在以 (0,0)，(2,1)为端点的直径的圆上，其方程为x2y22x y0. 10曲线 x2(y1)24 与直线 yk(x2)4 有两个不同的交点，求k 的范围，若有一个交点呢？无交点呢？解由yk(x2)4，x2(y 1)24，得(1 k2)x22k(32k)x(32k)240， 4k2(32k)24(1k2)(32k)2448k20. 0，即 k512时，直线与曲线有两个不同的交点； 0，即 k512时，直线与曲线有一个交点； 0，即 k512时，直线与曲线没有交点21.2求曲线的方程. 对点讲练知识点一直接法求轨迹的方程设动直线l 垂直于 x 轴，且与椭圆x2+2y2=4交于 A、B 两点，P 是 l 上满足PAPB=1 的点，求点P 的轨迹方程 .解设 P 点的坐标为 (x，y)，又由方程x22y24 得 2y24x2，y4x22，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页13 A、B 两点的坐标分别为(x, 4x22)，(x，4x22) PA PB1. (0, 4x22y) (0，4x22y)1，即 y24 x22 1，x26y231 又直线 l 与椭圆交于两点， 2x2 点 P 的轨迹方程为x26y231(2x0)射线 OB 的方程为y= 33x( x 0) 设 Px1 , 33x1, Q x2 , 33x2M(x ，y)由题意得x= 21( x1+x2),又 S POQ=21|OP| |OQ|sin60= 2132x132x223= 33x1 x22121212 ,2 3 ,8 3,xxxxxyxx由(x1+x2)2(x1x2)2=4x1x2，消去x1，x2得 x23y2=83由于x10，x20，故 x0，动点 M 的轨迹方程为x23y2=83 (x0)【反思感悟】参数法：根据条件，将所求动点的坐标用恰当的参数(如角度、直线斜率等)解析式表示出来，再利用某些关系式消去参数得到轨迹方程过点 P1(1,5)作一直线交x 轴于点 A，过点 P2(2， 7)作直线 P1A 的垂线，交y轴于点 B，点 M 在线段 AB 上，且 BMMA12，求动点M 的轨迹方程解设 P2B 的直线方程为：y7 k(x2)，则 P1A 的方程为： y51k(x1)，则有 A(5k1,0)、B(0， 2k7)设 M(x，y)，则由 BMMA12，得x5k13，y4k143.消去 k，并整理得12x15y740. 动点 M 的轨迹方程为12x15y740. 课堂小结 ：1.坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同.2.一般的，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是（x， y） ，而不要设成（x1，y1）或（ x ,y）等 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页16 3.方程化简到什么程度,课本上没有给出明确的规定,一般指将方程f(x,y)=0 化成 x,y 的整式.如果化简过程破坏了同解性,就需要剔除不属于轨迹上的点,找回属于轨迹而遗漏的点.求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线,求轨迹方程则不必说明. 课时作业一、选择题1已知点A(2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则 ABC 底边 AB 的中线的方程是() Ax0 Bx0(0y3) Cy0 Dy0(0x2) 答案B 解析直接法求解，注意ABC 底边 AB 的中线是线段，而不是直线所以选B. 2与点 A(1,0)和点 B(1,0)的连线的斜率之积为1 的动点 P 的轨迹方程是 () Ax2y21 Bx2y21(x 1) Cy1 x2Dx2y29(x0) 答案B 解析设 P(x，y)，则 kPAyx 1，kPByx 1，所以 kPA kPByx1yx 1 1. 整理得 x2y21，又 kPA、kPB存在，所以x 1. 所以所求轨迹方程为x2y21 (x 1)，所以选 B. 3. 设动点 P 是抛物线y=2x2+1 上任意一点，定点A（0，1） ，点 M 分PA所成的比为 21，则点 M 的轨迹方程是（）Ay6x213By 3x213Cy 3x2 1 Dx 6y213答案A 解析设点 M 的坐标为 (x,y)，点 P 的坐标为 (x0 , y0)，因点 P 在抛物线上，即 y0=2x02+1，由题意MAPM =12所以PMPM=2MA,即（x x0 , y y0）=2(x, 132yy),所以002 ,22 ,xxxyyy即003 ,32,xxyy因此有 ：32y= 29x2+1,即y=6x231. 4自圆 x2 y21外动点 P 作该圆的两条切线，切点分别为A，B.若 APB2，则动点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页17 P 的轨迹方程是 () Ax2y24 Bx2y22 C.x24y21 D.x22 y2 1 答案B 解析四边形 PAOB 为正方形，故 |OP|2. 5已知点A(2,0)及原点 O，动点 P 满足 (|PA|PO|) (|P A|PO|)1，则点 P 的轨迹方程是() Ax14Bx12Cx34Dx32答案C 解析设 P(x，y)，条件即 |PA|2|PO|21，故(x2)2y2(x2y2)1，化简得x34. 二、填空题6方程 (xy1)x 10 表示的曲线是_答案射线 xy10(x1)与直线 x1 解析由(xy1)x10 得：x y10，x 10，或x10，x10.即 xy10(x1)，或 x1. 所以，方程表示的曲线是射线xy1 0(x1)和直线 x1. 7. 已知两点M（-2，0） ，N（2，0） ，点 P 为坐标平面内的动点，满足|MN|MP|+MNNP= 0，则动点 P(x,y)的轨迹方程为. _答案y2 8x 解析由题意知MN (4,0)， MP(x2，y)，NP(x2， y)，所以 |MN|4， |MP|(x2)2y2，MN NP4(x2)，根据已知条件得4(x2)2y24(2x)，整理，得y2 8x，所以点 P 的轨迹方程为y2 8x. 8两条直线axy 10 和 xay10(a 为参数且a 1)的交点的轨迹方程是_答案x2y2x y0 解析设两条直线的交点为(x0， y0)则有ax0y010，x0ay010.求出 (x0，y0)的方程即为轨迹的方程当 a0 时，交点为 (1， 1)当 a0 时，由 ax0y010，ay01x0，代入 x0ay0 10，得 x20y20x0y00，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页18 即交点的轨迹方程为x2y2xy0. 同时，点 (1， 1)也适合方程x2y2xy 0，综上可知所求方程为x2y2xy0. 三、解答题9设圆 C： (x 1)2y21，过原点O 作圆 C 的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程解方法一直接法：如图所示，设OQ 为过 O 的一条弦，P(x，y)为其中点，则CPOQ.设 OC 中点为 M(12，0)，则 |MP|12|OC|12，由两点间距离公式得方程(x12)2y212，考虑轨迹的范围知0x1.所以弦的中点轨迹方程为(x12)2y214(0x1)方法二定义法：如图所示，设OQ 为过 O 的一条弦， P(x，y)为其中点，则CP OQ，即 OPC=90，设OC 中点为 M(21,0)，所以 |PM|=21|OC|=21，所以动点P 在以 M(21，0)为圆心， OC 为直径的圆上，圆的方程为(x-)2+y2=.14因为所作弦的中点应在已知圆的内部，所以弦中点轨迹方程为(x-21)2+y2=14(0x1)方法三代入法：如图所示，设OQ 为过 O 的一条弦， P(x， y)为其中点，设Q(x1，y1)，则11,2,2xxyy112 ,2 ,xxyy又因为点Q(x1， y1)在 C 上，所以 (x11)2+y12 =1. 将112 ,2 ,xxyy代入上式得：(2x-1)2+(2y)2=1，即(x 21)2+ y2 =41，又因为 OQ 为过 O 的一条弦，所以0x12，所以 0x1，所以所求轨迹方程为(x 21)2+ y2 =41(0x1)方法四参数法：如图所示，设OQ 为过 O 的一条弦， P(x，y)为其中点，动弦OQ 所在直线的方程为y=kx ，代入圆的方程得(x1)2+k2x2=1，即 (1+k2)x2-2x=0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页19 设方程 (1+k2)x22x=0.的两根为x1，x2，所以212xxx=21kk，y = kx = 21kk. 消去参数k 得： x2x+y2=0，所以，所求轨迹方程为x2+y2x=0(0x 1)10点 A(3,0)为圆 x2y21 外一点， P 为圆上任意一点，动点M 满足|AM|MP|12，求点 M 的轨迹方程解设 M(x，y)，P(x0，y0)（1）若AM12MP，则 (x3，y)12(x0x，y0y)，x312(x0x)y12(y0y)x03x6y03y又 P(x0，y0)在圆 x2 y21 上(3x6)2 (3y)21 即(x2)2y219. （2）若AM12MP，则(x3，y)12(x0x，y0y) x3x x02yyy02，x0 x6y0 y. 又 P(x0，y0)在圆 x2 y21 上，(x 6)2(y)21，即 (x6)2y2 1. M 点的轨迹方程为(x2)2y219或(x6)2y21. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页