义义务教育教科教育教科书（湘教湘教）八年八年级数学下级数学下册册第第2 2章章 矩形矩形 菱形菱形定义定义有一角是直角的平行有一角是直角的平行四边形叫做矩形四边形叫做矩形. .有一组邻边相等的平行四有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形边形叫做菱形. .具有平行四边形的一切性质具有平行四边形的一切性质性性质质边边角角对角线对角线四个角都是直角四个角都是直角对角线相等对角线相等对角线互相垂直对角线互相垂直判判定定有一角是直角的平行四边形有一角是直角的平行四边形对角线相等的平行四边形对角线相等的平行四边形三个角都是直角的四边形三个角都是直角的四边形四条边都相等四条边都相等？知知识回回顾根据菱形的定义根据菱形的定义, ,可得：可得：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形 且且AB=ADAB=AD四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形数学语言：数学语言：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 先画两条等长的线段先画两条等长的线段ABAB、ADAD，然后分别以，然后分别以B B、D D为为圆心，圆心，ABAB为半径画弧，得到两弧的交点为半径画弧，得到两弧的交点C C，连接，连接BCBC、CDCD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？说出你的理由说出你的理由猜想：四边都相等的四边形是菱形。猜想：四边都相等的四边形是菱形。ABCDO情境引入情境引入命题：四边都相等的四边形是菱形。命题：四边都相等的四边形是菱形。已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中中,AB=BC=CD=DA.,AB=BC=CD=DA.求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是菱形是菱形D DA AB BC C证明：证明：ABAB= =CD,ADCD,AD= =BCBC四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形又又ABAB= =AD,AD,四边形四边形ABCDABCD是菱形。是菱形。自主自主预习四边都相等的四边形是菱形四边都相等的四边形是菱形. .AB=BC=CD=DAAB=BC=CD=DAA AB BC CD D菱形菱形ABCDABCD在四边形在四边形ABCDABCD中中AB=BC=CD=DAAB=BC=CD=DA四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形四四边形边形ABCDABCDA AB BC CD D数学语言数学语言由此得到菱形的判定定理由此得到菱形的判定定理1 1：例例2 2如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，线段中，线段BDBD垂直平分垂直平分ACAC，且相，且相交于点交于点O, 1=O, 1= 2. 2.求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是菱形。是菱形。证明：证明： 线段线段BDBD垂直平分垂直平分ACAC。BA=BCBA=BC，DA=DCDA=DC，OA=OCOA=OC。在在 AOBAOB和和 CODCOD中，中， 1= 21= 2， AOB=CODAOB=COD， AOB AOB COD CODAB=CDAB=CDAB=BC=CD=DAAB=BC=CD=DA。四边形四边形ABCDABCD是菱形。是菱形。A AB BC CD D120 用一长一短两根细木条用一长一短两根细木条, ,在它们的中点处在它们的中点处固定一个小钉固定一个小钉, ,做成一个可以转动的十字做成一个可以转动的十字, ,四四周围上一根橡皮筋周围上一根橡皮筋, ,做成一个四边形做成一个四边形. .转动木转动木条条, ,这个四边形什么时候变成菱形这个四边形什么时候变成菱形? ?猜想：猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形. .命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. .已知：在已知：在 中，中，AC BDAC BDABCDABCDABCDABCD求证：求证： 是菱形是菱形ABCDO证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形OA=OCOA=OC又又ACBD; ACBD; BA=BC BA=BC ABCDABCD是菱形。是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形ACBDACBD在在ABCDABCD中，中，ACBDACBD ABCDABCD是菱形。是菱形。A AB BC CD D菱形菱形ABCDABCDA AB BC CD DABCDABCD几何语言：几何语言：由此得到菱形的判定定理由此得到菱形的判定定理2 2：A AB BC CD DO O 四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形. .OA=OC=3 OB=OD=4OA=OC=3 OB=OD=4解解: :又又AD=5AD=5 DAODAO是直角三角形是直角三角形 DOA=90DOA=90，即，即DB ACDB AC AB=AD=5.AB=AD=5. 四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形满足满足ADAD2 2=AO=AO2 2+DO+DO2 2例例3 3 如图，在如图，在 ABCDABCD中，中，AC=6AC=6，BD=8BD=8，AD=5AD=5。 求求ABAB的长。的长。菱形常用的判定方法：菱形常用的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边都相等的四边形是菱形四边都相等的四边形是菱形+ +邻边相等邻边相等 = =+ +对角线线互相垂直对角线线互相垂直= = 四条边相等四条边相等+ = + = 知知识梳梳理理文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言判定法判定法一一判定判定法二法二对角线互相垂直对角线互相垂直的平行四边形是的平行四边形是菱形菱形判定法判定法三三四边相等的四边四边相等的四边形是菱形形是菱形菱形的判定：菱形的判定：A AB BC CD DAB=BC=CD=DAAB=BC=CD=DA四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形在在ABCDABCD中中ACBDACBD四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形在在ABCDABCD中中AB=ADAB=AD四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形A AB BC CD DO OA AB BC CD D 一组邻边相等的一组邻边相等的平行四边形是菱平行四边形是菱形形1.1.老师说下列三个图形都是菱形老师说下列三个图形都是菱形, ,你相信吗你相信吗? ?5 55 53 34 43 34 45 55 55 55 5 有一组邻边有一组邻边相等的平行四相等的平行四边形叫做菱形边形叫做菱形 对角线互对角线互相垂直的平行相垂直的平行四边形是菱形四边形是菱形 四边都相等的四四边都相等的四边形是菱形。边形是菱形。3 33 34 44 4随堂随堂练习2.2.判断下列说法是否正确？为什么？判断下列说法是否正确？为什么？(1)(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形是菱形； （ ）(2)(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（ ）(3)(3)对角线互相垂直对角线互相垂直, ,且有一组邻边相等且有一组邻边相等 的四边形是菱形；的四边形是菱形； （ ）(4)(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一两条邻边相等，且一条对角线平分一 组对角的四边形是菱形组对角的四边形是菱形 （ ） A AD DB BC CA AB BC CD DABCDO矩矩菱菱矩矩菱菱3.3.ABCDABCD的对角线的对角线ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，（1 1）若）若AB=ADAB=AD，则，则ABCDABCD是是 形；形；（2 2）若）若AC=BDAC=BD，则，则ABCDABCD是是 形；形；（3 3）若）若ABCABC是直角，则是直角，则ABCDABCD是是 形；形；（4 4）若）若ACAC BDBD，则，则ABCDABCD是是 形。形。（1 1）下列命题中正确的是（）下列命题中正确的是（ ） A.A.一组邻边相等的四边形是菱形一组邻边相等的四边形是菱形 B.B.三条边相等的四边形是菱形三条边相等的四边形是菱形 C.C.四条边相等的四边形是菱形四条边相等的四边形是菱形 D.D.四个角相等的四边形是菱形四个角相等的四边形是菱形C C（2 2）对角线互相垂直且平分的四边形是（）对角线互相垂直且平分的四边形是（ ） A.A.矩形矩形 B.B.一般的平行四边形一般的平行四边形 C.C.菱形菱形 D.D.以上都不对以上都不对C C（3 3）下列条件中，不能判定四边形）下列条件中，不能判定四边形ABCDABCD为菱形的是（为菱形的是（ ） A.ACBD,ACA.ACBD,AC与与BDBD互相平分互相平分 B.AB=BC=CD=DAB.AB=BC=CD=DA C.AB=BC,AD=CD, C.AB=BC,AD=CD,且且ACBD D.AB=CD,AD=BC,ACBDACBD D.AB=CD,AD=BC,ACBDC C4.4.选择：选择：2424 菱形菱形 5.5.一边长为一边长为5cm5cm平行四边形的两条对角线的长分别为平行四边形的两条对角线的长分别为6cm6cm和和8cm8cm，则这个平行四边形为，则这个平行四边形为 ，其面积为，其面积为 。A AB BC CD DE EF F6.6.如图在菱形如图在菱形ABCDABCD中中,CEAB,CFAD.,CEAB,CFAD. 则则CE CFCE CF，BE DFBE DF。7.7.已知已知: ABCD: ABCD的对角线的对角线ACAC的垂直平分线与边的垂直平分线与边AD AD 、BCBC分别交于分别交于E E、F F求证求证: :四边形四边形AFCEAFCE是菱形。是菱形。B BD DC CF FE EA AO O