第二章弹性力学基础知识1 第二章第二章 弹性力学基本知识弹性力学基本知识第二章弹性力学基础知识2学习目标学习目标l了解弹性力学的了解弹性力学的基本假设基本假设；l掌握弹性力学的掌握弹性力学的基本概念基本概念；l掌握弹性力学问题的实质及其掌握弹性力学问题的实质及其基本方程基本方程之间关系；之间关系；l掌握边界上的掌握边界上的位移和应力边界条件位移和应力边界条件的建立，及圣的建立，及圣维维南原理南原理的应用；的应用；l了解了解虚位移原理虚位移原理；l掌握掌握强度理论强度理论选用原则。选用原则。第二章弹性力学基础知识3l由于由于工程实际问题的复杂性工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。解。l根据问题性质根据问题性质建立力学模型建立力学模型时，必须作出一些基时，必须作出一些基本假设，忽略部分可以暂时不予考虑的因素，使本假设，忽略部分可以暂时不予考虑的因素，使研究的问题限制在一个研究的问题限制在一个方便可行方便可行的范围之内。的范围之内。l基本假设是基本假设是弹性力学讨论问题的基础弹性力学讨论问题的基础。超出基本。超出基本假设的问题将由固体力学的其他分支来讨论，如假设的问题将由固体力学的其他分支来讨论，如非线性弹性力学，塑性力学，复合材料力学等。非线性弹性力学，塑性力学，复合材料力学等。基本假设的必要性基本假设的必要性2.1 弹性力学基本假设弹性力学基本假设第二章弹性力学基础知识4l假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。l变形后仍然保持这种连续性。l根据这一假设，物体的所有物理量，例如位移、应变和应力等均成为物体所占空间的连续函数。l是宏观假设，微观上这个假设不可能成立。 固体材料都是由微粒组成 工程材料内部的缺陷2.1 弹性力学基本假设弹性力学基本假设1. 1. 连续性假设连续性假设第二章弹性力学基础知识5l假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此，物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。l 物体的弹性性质处处都是相同的。l根据这个假设，在处理问题时，可以取出物体的任意一个小部分讨论，然后将分析结果应用于整个物体。l工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。l对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。2.1 弹性力学基本假设弹性力学基本假设2. 2. 均匀性假设均匀性假设第二章弹性力学基础知识62.1 弹性力学基本假设弹性力学基本假设3.3.各向同性假设各向同性假设假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。 对于由晶体构成的金属材料，由于单晶体是各向异性的，微观上显然不是各向同性的。但是由于晶体尺寸极小，而且排列是随机的，因此宏观上，材料性能是显示各向同性。当然，像木材，竹材以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。第二章弹性力学基础知识72.1 弹性力学基本假设弹性力学基本假设4.4.完全弹性假设完全弹性假设对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。史无关，称为完全弹性材料。完全弹性分为线性和非线性弹性，这里弹性力学研完全弹性分为线性和非线性弹性，这里弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。究限于线性的应力与应变关系。这就是说，这就是说，弹性力学弹性力学问题研究在胡克定律成立的条件之下问题研究在胡克定律成立的条件之下。完全弹性假设使完全弹性假设使研究对象的材料弹性常数不随应力研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。或应变的变化而改变。第二章弹性力学基础知识82.1 弹性力学基本假设弹性力学基本假设5.5.小变形假设小变形假设假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。阶小量。在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。所引起的尺寸变化。忽略应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成忽略应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为为线性线性的代数方程和微分方程。的代数方程和微分方程。 第二章弹性力学基础知识92.1 弹性力学基本假设弹性力学基本假设6.6.无初应力假设无初应力假设假设物体处于自然状态，即在外界因素假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外（如外力或温度变化等）力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。作用之前，物体内部没有应力。弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。的。第二章弹性力学基础知识102.1 弹性力学基本假设弹性力学基本假设弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。这些假设都是关于材料变形的宏观假设。弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。第二章弹性力学基础知识112.2 弹性力学基本概念弹性力学基本概念1.1.外力（外力（Load)Load)2.2.内力和应力（内力和应力（Stress)Stress)3.3.位移（位移（DisplacementDisplacement）4.4.应变（应变（Strain)Strain)5.5.主应力（主应力（principal stressprincipal stress）和主平面）和主平面（principal plane)principal plane)第二章弹性力学基础知识121、外力(Load)(Load)l外力分为：体积力外力分为：体积力(Body Force)(Body Force) 表面力表面力(Surface Force) (Surface Force) l体力体力是作用于物体内部各个质点上的力是作用于物体内部各个质点上的力: :例如物体例如物体的重力，惯性力，电磁力等等的重力，惯性力，电磁力等等 ；l面力面力是作用于物体表面的作用力是作用于物体表面的作用力: :例如风力，静水例如风力，静水压力，物体之间的接触力等压力，物体之间的接触力等 ；l面力和体力大小用集度表示，即面力和体力大小用集度表示，即分别为物体单位体分别为物体单位体积或者单位面积的载荷。积或者单位面积的载荷。第二章弹性力学基础知识131.1.体力矢量大小和方向？体力矢量大小和方向？2.2.体力分量？体力分量？3.3.量纲？量纲？1、外力：体力一般来讲，物体内部一般来讲，物体内部各点处的体力是不相同各点处的体力是不相同的。的。第二章弹性力学基础知识141.1.面力矢量大小和方向？面力矢量大小和方向？2.2.面力分量？面力分量？3.3.量纲？量纲？1、外力：面力面力是表面坐标的函数面力是表面坐标的函数。一般条件下，面力边界一般条件下，面力边界条件是弹性力学问题求解的主要条件。条件是弹性力学问题求解的主要条件。第二章弹性力学基础知识152、内力与应力1.1.内力？内力？2.2.应力矢量？应力矢量？3.3.应力矢量的特点？应力矢量的特点？受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，假想用一截受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，假想用一截面截开物体，其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它面截开物体，其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力的合力。们是分布在截面上分布力的合力。为物体在该截面上为物体在该截面上A A点的应力。点的应力。过过M点取截面的一部分，面积为点取截面的一部分，面积为SS，作用于其上的内力为作用于其上的内力为F，平均集度为，平均集度为F/S，其极限，其极限为为第二章弹性力学基础知识162、内力与应力1.1.内力？内力？2.2.应力矢量？应力矢量？3.3.应力矢量的特点？应力矢量的特点？应力矢量Pn的方向由内力矢量F确定，同时受S方位变化的影响。通常将应力沿截面的法线和切线方向分解为:正应力正应力n切应力切应力n n应力必须说明其坐标和作用应力必须说明其坐标和作用面的方位。面的方位。第二章弹性力学基础知识172、内力与应力1.1.内力？内力？2.2.应力矢量？应力矢量？3.3.应力矢量的特点？应力矢量的特点？应力分量应力分量应应力不仅和点的位置有关，和截力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有关，称为张量。面的方位也有关，称为张量。在任意坐标系都具有协变性的量在任意坐标系都具有协变性的量就是张量就是张量。取一取一点平行于坐标平面的单元体，点平行于坐标平面的单元体，各面上的应力沿坐标轴的分量称各面上的应力沿坐标轴的分量称为应力分量。为应力分量。xyzo第二章弹性力学基础知识182、内力与应力1.1.内力？内力？2.2.应力矢量？应力矢量？3.3.应力矢量的特点？应力矢量的特点？应力符号第一下标表示所在的平面，第二下标表示沿坐标轴的方向。yyxyzxyzo符号规定：符号规定：正面：正面：单元体面的外法线与坐标轴 同向负面：负面：单元体面的外法线与坐标轴 反向在正面上，应力分量与坐标轴同向为正，反向为负。在负面上相反。第二章弹性力学基础知识19图示单元体面为负面图示单元体面为负面在法线为在法线为y y的负面上，正应力记的负面上，正应力记为为 , ,沿沿y y轴负向为正，切应轴负向为正，切应力力yxyx、yzyz，沿，沿x x轴、轴、z z轴的负轴的负向为正。向为正。2、内力与应力1.1.内力？内力？2.2.应力矢量？应力矢量？3.3.应力矢量的特点？应力矢量的特点？ xyzo第二章弹性力学基础知识202、内力与应力1.1.内力？内力？2.2.应力矢量？应力矢量？3.3.应力矢量的特点？应力矢量的特点？点的应力状态：点的应力状态：一点所有截面的应力矢量的集合取一个微小的六面体：独立应力分量：第二章弹性力学基础知识21l正正应应力用字母力用字母表示。表示。为为了表明了表明这这个正个正应应力的作用力的作用面和作用方向，加上一个下面和作用方向，加上一个下标标，例如：正，例如：正应应力力x是是作用在垂直于作用在垂直于x轴轴的面上同的面上同时时也沿着也沿着x轴轴方向作用的。方向作用的。l切切应应力用字母力用字母表示，并加上两个下表示，并加上两个下标标，前一个下，前一个下标标表明作用面垂直于哪一个坐表明作用面垂直于哪一个坐标轴标轴，后一个下，后一个下标标表表明作用方向沿着哪一个坐明作用方向沿着哪一个坐标轴标轴。例如：切。例如：切应应力力xy是作用在垂直于是作用在垂直于x轴轴的面上而沿着的面上而沿着y轴轴方向作用的。方向作用的。第二章弹性力学基础知识222、内力与应力例1 矩形薄板，板上受面力 时， ； 时， ；试绘出面力的方向。例2 矩形薄板，板受面力如图示，试写出边界条件。力的概念举例力的概念举例第二章弹性力学基础知识232、内力与应力例3 已知单元体各面上的应力分量，试在单元上标出方向与数值。力的概念举例力的概念举例第二章弹性力学基础知识243、位移1.1.位移分量？位移分量？物体内部各点空间位置发生变化物体内部各点空间位置发生变化M(x,y,z) M(x,y,z) 位移：刚体位移位移：刚体位移变形位移变形位移点的位移矢量点的位移矢量:位移是点的坐标的单值连续函数位移是点的坐标的单值连续函数第二章弹性力学基础知识254、应、应 变变1.1.正应变？正应变？2.2.切应变？切应变？3.3.如何表示？如何表示？应变应变反映局部各点相对反映局部各点相对位置的变化，与位置的变化，与应力应力直直接相关。接相关。棱边的伸长和缩短棱边的伸长和缩短棱边之间夹角变化棱边之间夹角变化点的应变矢量点的应变矢量:正应变正应变切应变切应变点的应变状态也是坐标的单值连续函数点的应变状态也是坐标的单值连续函数第二章弹性力学基础知识26O点应力状态：点应力状态：斜截面的法线方向余弦：斜截面的法线方向余弦：1 1）任意斜截面上的应力）任意斜截面上的应力设设S为为ABC的面的面积积，则则OBC=lSOCA=mSOAB=nS设设h为为O点至斜面点至斜面ABC的高，的高，ABC的的法法线线方向的方向的单单位矢量可表示位矢量可表示为为： N=l i+m j +n k5.主应力与主平面第二章弹性力学基础知识275.主应力与主平面1）任意斜截面上的应力）任意斜截面上的应力微四面体在应力矢量和体积力作用下满足平衡条件，由x方向的平衡可得：对于微分四面体单元，h与单元体棱边相关，为趋近于零的极小量，因此同理 第二章弹性力学基础知识285.主应力与主平面2）主平面、应力主方向与主应力主平面、应力主方向与主应力1）切应力为零的微分面称为切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主微分平面，简称主平面主平面。 2）主平面的法线称为主平面的法线称为应力主应力主轴轴或者称为或者称为应力主方向应力主方向。3）主平面上的正应力称为主主应力应力。第二章弹性力学基础知识295.主应力与主平面2）主平面、应力主方向与主应力主平面、应力主方向与主应力设过点O与坐标轴倾斜的微分面ABC为主平面，其法线方向N的三个方向余弦分别为l，m，n，微分面上的应力矢量Pn，即主应力的三个分量为px,py,pz。根据主平面的定义，应力矢量Pn的方向应与法线方向n一致，设Pn为主应力，则应力矢量的三个分量与主应力的关系为px =Pnl,py =Pnm,pz =Pnn第二章弹性力学基础知识305.主应力与主平面2）主平面、应力主方向与主应力主平面、应力主方向与主应力px = Pnl,py =Pnm,pz =Pnn方程组有非零解的条件求解主应力第二章弹性力学基础知识315.主应力与主平面2）主平面、应力主方向与主应力主平面、应力主方向与主应力特征方程应力张量元素构成的行列式 主对角线元素之和 应力张量第一不变量应力张量第一不变量行列式按主对角线展开的三个代数主子式之和应力张量第二不变量应力张量第二不变量应力张量第三不变量应力张量第三不变量第二章弹性力学基础知识325.主应力与主平面2）主平面、应力主方向与主应力主平面、应力主方向与主应力求解主应力说明：说明：l1 1、受受外外力力处处于于平平衡衡的的结结构构内内，任任意意点点有有三三个个主主应应力力，且主平面相互垂直。且主平面相互垂直。l、主主应应力力值值和和方方向向只只取取决决于于受受力力状状态态，与与选选取取的的坐标系无关。坐标系无关。l、所有截面中，规定、所有截面中，规定解得的三个实数根即为三个主应力，将主应力代入方程组，可得三个主方向。第二章弹性力学基础知识332.3 弹性力学基本方程弹性力学基本方程l平衡微分方程平衡微分方程l几何方程几何方程l变形协调方程变形协调方程l物理方程物理方程第二章弹性力学基础知识341.平衡微分方程平衡微分方程外力和应力关系外力和应力关系平衡平衡物体整体平衡，内部任意物体整体平衡，内部任意部分也是平衡的。部分也是平衡的。对于弹性体，必须讨论一对于弹性体，必须讨论一点的平衡。点的平衡。微分平行六面体单元微分平行六面体单元第二章弹性力学基础知识35平衡微分方程解释平衡微分方程解释微小六面体边长微小六面体边长dx,dy,dz单元体的体力单元体的体力X,Y,Z应力分量是位置坐标的函数，所以应力分量是位置坐标的函数，所以第二章弹性力学基础知识36平衡微分方程示意图平衡微分方程示意图第二章弹性力学基础知识37平衡微分方程静力平衡条件静力平衡条件 平衡微分方程平衡微分方程Navier方程第二章弹性力学基础知识382、几何方程、几何方程应变和位移关系应变和位移关系微六面体：微六面体：MA=dxMB=dyMC=dz第二章弹性力学基础知识392、几何方程、几何方程应变和位移关系应变和位移关系a点的位移点的位移b点的位移点的位移第二章弹性力学基础知识402、几何方程、几何方程应变和位移关系应变和位移关系 切应变与位移：切应变与位移：因此因此第二章弹性力学基础知识412、几何方程、几何方程应变和位移关系应变和位移关系 空间几何方程：空间几何方程：由几何方程可知，已知位移函数由几何方程可知，已知位移函数u,v,w，则该则该点点应变应变分量确定。分量确定。但是，但是，应变应变分量确定，无法求出位分量确定，无法求出位移分量。移分量。第二章弹性力学基础知识423、变形协调方程、变形协调方程设设 e ex =3=3x, ,e ey =2=2y, ,g gxy = =xy, ,e ez = =g gxz = =g gyz =0=0, ,求其位移。求其位移。显然该应变分量没有对应的位移。显然该应变分量没有对应的位移。要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。的条件。以下我们将着手建立这一条件。 解：解：第二章弹性力学基础知识43l变形协调方程变形协调方程也称变形连续方程，或也称变形连续方程，或相容方程相容方程。描述六个。描述六个应变分量之间所存在的关系式。应变分量之间所存在的关系式。l同一平面内同一平面内的正应变与切应变之间的关系（的正应变与切应变之间的关系（3个）：个）：从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和和x求二阶偏导数，然后相加可得求二阶偏导数，然后相加可得3、变形协调方程、变形协调方程第二章弹性力学基础知识44不同平面不同平面内的内的正应变与切应变正应变与切应变之间的关系之间的关系(3个）：个）：l将几何方程的四，五，六式分别对将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数求一阶偏导数l前后两式相加并减去中间一式，则前后两式相加并减去中间一式，则3、变形协调方程、变形协调方程对对x求一求一阶阶偏偏导导数，数，则则第二章弹性力学基础知识453、变形协调方程、变形协调方程变形协调方程的数学意义变形协调方程的数学意义使使3 3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。变形协调方程的物理意义变形协调方程的物理意义物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足的关系。足的关系。 第二章弹性力学基础知识464、物理方程、物理方程应变和应力关系应变和应力关系l应应力力应变应变关系属于材料性能关系属于材料性能l称称为为物理方程物理方程或者或者本构方程本构方程l单单向拉伸或者扭向拉伸或者扭转应转应力力应变应变关系可以通关系可以通过实验过实验确定确定单单向拉伸向拉伸实验实验可以可以测测出出弹弹性模量性模量E薄壁管扭薄壁管扭转实验转实验可以可以测测定剪切定剪切弹弹性模量性模量Gl复复杂应杂应力状力状态难态难以直接通以直接通过实验过实验确定确定第二章弹性力学基础知识474、物理方程、物理方程l杆受拉沿受力方向引起伸长，同时垂直于力方向则引起缩短，杆受拉沿受力方向引起伸长，同时垂直于力方向则引起缩短，实验证明，在弹性范围内有实验证明，在弹性范围内有 泊松比，也称横向变形系数。泊松比，也称横向变形系数。 应变和应力关系应变和应力关系取一个取一个单单元体，在各正元体，在各正应应力作用下，沿力作用下，沿x轴轴方向的正方向的正应变应变：)(E1Ex321zyxzyxxxxEEssmssmsmseeee+-=-=+=第二章弹性力学基础知识48广义虎克定律 4、物理方程、物理方程应变和应力关系应变和应力关系切应变切应变： 第二章弹性力学基础知识49写成矩阵形式：写成矩阵形式：简记为简记为其中，其中，D为弹性矩阵，它完全取决于弹性系数为弹性矩阵，它完全取决于弹性系数E和和。4、物理方程、物理方程应变和应力关系应变和应力关系第二章弹性力学基础知识50弹性力学问题总结弹性力学问题总结位移位移应变应变和和应力应力和和一、基本力学量：一、基本力学量：第二章弹性力学基础知识51弹性力学问题总结弹性力学问题总结二、基本方程和主要关系式：二、基本方程和主要关系式：1.几何方程（空间弹性结构内任一点几何方程（空间弹性结构内任一点P的位移与应变的关系）的位移与应变的关系）直角坐标直角坐标第二章弹性力学基础知识52 2.平衡微分方程（应力和体力之间关系）平衡微分方程（应力和体力之间关系） Navier方程第二章弹性力学基础知识533.物理方程（物理方程（应力分量与应变分量；与材料的物理应力分量与应变分量；与材料的物理特性有关特性有关）第二章弹性力学基础知识544.变形协调方程变形协调方程（描述六个应变分量之间所存在的关系式描述六个应变分量之间所存在的关系式）第二章弹性力学基础知识552.4 边界条件边界条件l应力边界条件应力边界条件l位移边界条件位移边界条件l圣维南原理圣维南原理第二章弹性力学基础知识56边界条件边界条件应应力力边边界界条条件件：结结构构在在边边界界上上所所受受的的面面力力与与应应力力分分量量之之间间的关系的关系。由由于于物物体体表表面面受受到到表表面面力力，如如压压力力和和接接触触力力等等的的作作用用，设设单单位位面面积积上上的的面面力力分分量量为为Fsx、Fsy和和Fsz，物物体体外外表表面面法法线线N的的方方向向余余弦弦为为l，m，n。参参考考应应力力矢矢量量与与应应力力分分量量的的关关系系，可得可得应力边界条件：应力边界条件：第二章弹性力学基础知识57l结构在边界上结构在边界上位移位移为位置坐标的已知函数。为位置坐标的已知函数。 结结构构在在一一部部分分边边界界上上位位移移为为位位置置坐坐标标的的已已知知函函数数，其其它它边边界界上上所所受受的的面面力力为为已已知知函函数数，或或者者结结构构在在边边界界上上部部分分面面力力分分量量和位移分量为位置坐标的已知函数。和位移分量为位置坐标的已知函数。位移边界条件：位移边界条件：混合边界条件：混合边界条件：边界条件边界条件第二章弹性力学基础知识58例：如图重力水坝的截面，坐标轴为例：如图重力水坝的截面，坐标轴为Ox和和Oy，OB面上的面面上的面力为力为,，求，求OB面的应力边界条件。面的应力边界条件。OB面的法线方向余弦：面的法线方向余弦：由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有所以，应力边界条件为：所以，应力边界条件为：OBxy边界条件边界条件第二章弹性力学基础知识59圣维南原理圣维南原理l如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效静力等效的面力（即主矢量相同、对同一点的主矩也相同）的面力（即主矢量相同、对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的，那么，近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响可以忽略不计。影响可以忽略不计。第二章弹性力学基础知识60圣维南局部影响原理也可以表述为：如果物体的任一部圣维南局部影响原理也可以表述为：如果物体的任一部分作用一个平衡力系，则此平衡力系在物体内产生的应分作用一个平衡力系，则此平衡力系在物体内产生的应力分布，仅局限于该力系作用的局部区域，在离该区域力分布，仅局限于该力系作用的局部区域，在离该区域比较远处，这种影响便急剧减少。比较远处，这种影响便急剧减少。 圣维南原理圣维南原理第二章弹性力学基础知识612.5 虚位移原理（虚功原理）虚位移原理（虚功原理）虚虚位位移移：假假定定的的、在在约约束束条条件件允允许许范范围围内内，弹弹性性体体可可能能发发生生的的、任任意意的的、微微小小的的位位移移，只只说说明明位位移移产产生生的的可可能能性性，必必须须满足变形协调条件和几何边界条件。满足变形协调条件和几何边界条件。变变形形势势能能：弹弹性性体体受受力力变变形形后后，弹弹性性体体内内部部应应力力在在其其应应变变上上所做的功。所做的功。虚虚位位移移原原理理：若若弹弹性性体体在在已已知知的的面面力力和和体体力力的的作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态，那那么么使使弹弹性性体体产产生生虚虚位位移移时时，所所有有作作用用在在弹弹性性体体上上的的外外力力在在虚虚位位移移上上所所做做的的虚虚功功等等于于弹弹性性体体所所具具有有的的虚虚变变形形势势能能。第二章弹性力学基础知识62外力虚功外力虚功： 体力体力 面力面力弹性体的虚变形势能弹性体的虚变形势能：虚功方程虚功方程：虚位移原理解释虚位移原理解释第二章弹性力学基础知识632.6 失效理论失效理论(强度理论强度理论) l一般应力状态下材料失效形式：塑性屈服塑性屈服 脆性断裂脆性断裂l弹性力学弹性力学/ /材料力学中，材料力学中， 常用强度条件为：常用强度条件为： l材料何时以何种形式失效，不仅与主应力的大小有关，而材料何时以何种形式失效，不仅与主应力的大小有关，而且与且与3 3个主应力的比值有密切关系。个主应力的比值有密切关系。l假定无论何种应力状态下，材料只要发生相同形式的失效，假定无论何种应力状态下，材料只要发生相同形式的失效，其原因便是相同的。利用单向拉伸的试验结果，即可建立其原因便是相同的。利用单向拉伸的试验结果，即可建立一般应力状态下的失效判据。一般应力状态下的失效判据。第二章弹性力学基础知识64失效理论失效理论关于断裂的强度理论关于断裂的强度理论：第一强度理论（最大拉应力理论）第一强度理论（最大拉应力理论） 当一个单元体的三个主应力的最大拉应力到达材料的当一个单元体的三个主应力的最大拉应力到达材料的拉应力极限时，材料发生破坏。拉应力极限时，材料发生破坏。 极限条件为：极限条件为：l实践证明，这个理论与脆性材料的拉断实验相符。实践证明，这个理论与脆性材料的拉断实验相符。l这个理论最大缺点是只考虑三个主应力中的一个，其它两这个理论最大缺点是只考虑三个主应力中的一个，其它两个发生变化也不影响极限状态，因此，不够合理。个发生变化也不影响极限状态，因此，不够合理。第二章弹性力学基础知识65关于断裂的强度理论关于断裂的强度理论：第二强度理论（最大伸长线应变理论）第二强度理论（最大伸长线应变理论） 该理论认为最大线应变是引起材料断裂破坏的主要因该理论认为最大线应变是引起材料断裂破坏的主要因素，破坏条件为：素，破坏条件为： 由物理方程可得：由物理方程可得： l此理论可适用于脆性材料在双向拉伸此理论可适用于脆性材料在双向拉伸- -压缩应力状态下，压缩应力状态下，当压应力超过拉应力时的情况。当压应力超过拉应力时的情况。失效理论失效理论第二章弹性力学基础知识66关于屈服的强度理论关于屈服的强度理论：第三强度理论（最大切应力理论）第三强度理论（最大切应力理论） 当构件外载过大时，材料会沿最大切应力所在截面滑移，当构件外载过大时，材料会沿最大切应力所在截面滑移，发生屈服破坏。发生屈服破坏。 破坏条件为：破坏条件为： l此理论能解释三向均匀受压时，材料承受高载不破坏，也此理论能解释三向均匀受压时，材料承受高载不破坏，也能说明塑性材料在单向拉伸时沿与轴线成能说明塑性材料在单向拉伸时沿与轴线成4545度方向滑移的度方向滑移的现象。现象。l不足在于不能解释三向均匀受拉时，塑性材料也会发生脆不足在于不能解释三向均匀受拉时，塑性材料也会发生脆性破坏的事实，也没有考虑中间应力的影响。性破坏的事实，也没有考虑中间应力的影响。失效理论失效理论第二章弹性力学基础知识67关于屈服的强度理论关于屈服的强度理论：第四强度理论（畸变能密度理论）第四强度理论（畸变能密度理论） 当单元体的畸变能密度（形状改变比能）达到材料当单元体的畸变能密度（形状改变比能）达到材料单向拉伸极限状态的比能时，材料开始破坏。（如三向单向拉伸极限状态的比能时，材料开始破坏。（如三向均匀压缩）均匀压缩）可得强度条件：可得强度条件： 失效理论失效理论第二章弹性力学基础知识68强度理论的使用强度理论的使用 须视须视材料和应力状态材料和应力状态而定。而定。l脆性材料以断裂形式破坏，采用第一、第二强度理论。脆性材料以断裂形式破坏，采用第一、第二强度理论。l塑性材料以屈服形式破坏，采用第三、第四强度理论。塑性材料以屈服形式破坏，采用第三、第四强度理论。l但是，材料破坏形式与应力状态有关，无论脆性或塑性但是，材料破坏形式与应力状态有关，无论脆性或塑性材料，在三向拉应力接近时，都以断裂形式破坏，应采材料，在三向拉应力接近时，都以断裂形式破坏，应采用最大拉应力理论，在三向压应力接近时，都可以引起用最大拉应力理论，在三向压应力接近时，都可以引起塑性变形，应采用第三或第四强度理论。塑性变形，应采用第三或第四强度理论。 失效理论选用原则失效理论选用原则第二章弹性力学基础知识69 弹性力学的基本方法弹性力学的基本方法从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几从取微元体入手，综合考虑静力（或运动）、几何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求何、物理三方面条件，得出其基本微分方程，再进行求解，最后利用边界条件确定解中的常数。解，最后利用边界条件确定解中的常数。按照方程中保留的未知量，求解方法可分为：按照方程中保留的未知量，求解方法可分为：应力法（以应力法（以应力应力为未知量）为未知量）位移法（以位移法（以位移位移为未知量）为未知量）混合法（同时以混合法（同时以应力和位移应力和位移为未知量）为未知量）精确解法：采用数学分析的手段求得精确解精确解法：采用数学分析的手段求得精确解近似解法：最有效的是基于能量原理的变分方法近似解法：最有效的是基于能量原理的变分方法数值方法：数值方法：有限元法，有限元法，有限差分法，边界元法等有限差分法，边界元法等第二章弹性力学基础知识70习习 题题l1.1 1.1 什么叫做一点的应力状态？如何表示一点的应力状态什么叫做一点的应力状态？如何表示一点的应力状态? ?l1.31.3什么是主应力什么是主应力? ?什么是主切应力什么是主切应力? ?它们的大小和方向如何它们的大小和方向如何确定确定? ?它们的关系如何它们的关系如何? ? l1.41.4圣维南原理的内容是什么？如何理解？圣维南原理的内容是什么？如何理解？l1.5 1.5 在有限元分析中，强度理论如何选用？在有限元分析中，强度理论如何选用？ 第二章弹性力学基础知识71第二章弹性力学基础知识72