- 1 - / 21二次根式的知识点汇总知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件， 如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例 1下列式子， 哪些是二次根式， 哪些不是二次根式：、（x0） 、-、（x0，y 0） 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“” ；第二，被开方数是正数或0知识点二：取值范围1、二次根式有意义的条件： 由二次根式的意义可知， 当 a0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0 时，没有意义。例 2当 x 是多少时，在实数范围内有意义？例 3当 x 是多少时，+在实数范围内有意义？知识点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质， 和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多， 如若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0。2331xx04221xyxy31x23x11x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页- 2 - / 21例 4(1)已知 y=+5，求的值 (2)若+=0，求 a2004+b2004的值知识点四：二次根式（）的性质 1（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 例 1 计算1 （）22 （3）23 （）24 （）2例 2 在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3知识点五：二次根式的性质2文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数， 若是正数或 0，则等于 a 本身，即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数 -a, 即；2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。例 1 化简（1）（2）（3）（4）2x2xxy1a1b325567292( 4)252( 3)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页- 3 - / 21例 2 填空：当 a0 时，=_；当 aa，则 a是什么数？例 3 当 x2，化简-知识点六：与的异同点1、 不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方， 而表示一个实数 a 的平方的算术平方根； 在中， 而中 a 可以是正实数，0， 负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而2、 相同点：当被开方数都是非负数， 即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的乘除1、 乘法abab（a0，b0）反过来：ab=ab（a0，b0）2、除法ab=ab（a0，b0）反过来，ab=ab（a0，b0）（思考： b 的取值与 a 相同吗？为什么？不相同，因为b 在分母，所以不能为0）例 1计算（1）4（2）（3）（4）例 2 化简（1）（2）（3）（4）例 3判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）（2）=4=4=4=82a2a2a2a2a2(2)x2(1 2 ) x571399271269 161681229x y54( 4)( 9)491242525122525122525123精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页- 4 - / 21例 4计算： （1）（2）（3）（4）例 5化简：（1）（2）（3）（4）例 6已知，且 x 为偶数，求（ 1+x）的值3、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数 不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中 不含开得尽方的因数或因式（熟记 20 以内数的平方； 因数或因式间是乘积的关系， 当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2（或 2 的倍数） ，若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）例 1把下列二次根式化为最简二次根式(1) ; (2) ; (3) 4、化简最简二次根式的方法：(1) 把被开方数 (或根号下的代数式 )化成积的形式，即分解因式；(2) 化去根号内的分母（或分母中的根号） ，即分母有理化；(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式 )开出来 （此步需要特别注意的是： 开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）5. 有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：与；与；与；与说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。判断是否是同类二次根式时务必 将各个根式都化为最简二次根式。如与知识点八：二次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。例 1计算（ 1）+（2）+例 2计算12331281141664836422649ba2964xy25169xy9966xxxx22541xxx53122442x yx y238x y81881816x64x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页- 5 - / 21（1）3-9+3（2） （+）+（-）例 3已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值2、二次根式的混合运算：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减3、二次根式的比较：（1）若，则有； （2）若，则有（3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小例 4比较 3与4的大小【典型例题】1、概念与性质例 1、下列各式1），其中是二次根式的是 _（填序号）例 2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx315； （2）22)-(x例 3、 在根式 1) ，最简二次根式是（）A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4)例 4、已知：的值。求代数式22,211881xyyxxyyxxxy例 5、已知数 a，b，若=ba，则 ()A. abB. ab0，a+b=6，则的值为（）AB2 CD例 4、甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：甲：=；4415ababab22212精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页- 8 - / 21乙：=。其中（）A. 甲、乙都正确B. 甲、乙都不正确C. 只有甲正确D. 只有乙正确课堂练习：1. 使式子4x有意义的条件是。2. 当_时，212xx有意义。3. 若11mm有意义，则m的取值范围是。4. 当_x时，21x是二次根式。5. 在实数范围内分解因式：429_,222_xxx。6. 若242xx，则x的取值范围是。7. 已知222xx，则x的取值范围是。8. 化简：2211xxxp的结果是。9. 当15x p时，215_xx。10. 把1aa的根号外的因式移到根号内等于。11. 使等式1111xxxxg成立的条件是。12. 若1ab与24ab互为相反数，则2005_ab。13. 在式子230 ,2,12 ,20 ,3,1,2xxyyx xxxyfp中，二次根式有（）A. 2 个 B. 3个 C. 4个 D. 5个14. 下列各式一定是二次根式的是（）A. 7 B. 32m C. 21a D. ab15. 若 23app，则2223aa等于（）A. 52a B. 12a C. 25a D. 21a16. 若424Aa，则A（）A. 24a B. 22a C. 222a D. 224a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页- 9 - / 2117. 若1a，则31a化简后为（）A. 11aa B. 11aaC. 11aa D. 11aa18. 能使等式22xxxx成立的x的取值范围是（）A. 2x B. 0x C. 2x f D. 2x19. 计算：222112aa的值是（）A. 0 B. 42a C. 24a D. 24a 或 42a21. 若2440xyyy，求xy的值。22. 当a取什么值时，代数式211a取值最小，并求出这个最小值。24. 已知2310xx，求2212xx的值。25. 已知,a b为实数，且1110abb，求20052006ab的值。26. 化简：351 .0,0a bab2 .xyxy3213 .aaa二次根式的乘除1. 当0a，0b p时，3_ab。2. 若22m n和3223mn都是最简二次根式，则_,_mn。3. 计算：23_;369_。4. 计算：483 273_。5. 长方形的宽为3，面积为2 6，则长方形的长约为（精确到 0.01 ） 。6. 下列各式不是最简二次根式的是（） A. 21a B. 21x C. 24b D. 0.1y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页- 10 - / 217. 已知0xy f，化简二次根式2yxx的正确结果为（） A. y B. y C. y D. y8. 对于所有实数,a b，下列等式总能成立的是（） A. 2abab B. 22abab C. 22222abab D. 2abab9.2 3和3 2的大小关系是（） A. 2 33 2f B. 2 33 2p C. 2 33 2 D. 不能确定10. 对于二次根式29x，以下说法中不正确的是（）A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为 3 11. 计算：1 . 23 232 .53xx33 .540,0aba bab364 .0,0a bab abff21.3 二次根式的加减1. 下列根式中，与3是同类二次根式的是（） A. 24 B. 12 C. 32 D. 182. 下面说法正确的是（） A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 8与80是同类二次根式 C. 2与150不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2 的根式3. 与3a b 不是同类二次根式的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页- 11 - / 21 A. 2ab B. ba C. 1ab D. 3ba4. 下列根式中，是最简二次根式的是（） A. 0.2b B. 1212ab C. 22xy D. 25ab5. 若12xpp，则224421xxxx化简的结果是（） A. 21x B. 21x C. 3 D. -3 6. 若2182102xxxx，则x的值等于（） A. 4 B. 2 C. 2 D. 47. 若3的整数部分为x，小数部分为y，则3xy的值是（） A. 3 33 B. 3 C. 1 D. 3 8. 下列式子中正确的是（） A. 527 B. 22abab C. axb xabx D. 68343229. 在8,12,18,20中，与2是同类二次根式的是。10. 若最简二次根式125aa与34ba是同类二次根式，则_,_ab。11. 一个三角形的三边长分别为8, 12, 18cmcmcm，则它的周长是 cm。12. 若最简二次根式23412a与22613a是同类二次根式，则_a。13. 已知32,32xy，则33_x yxy。14. 已知33x，则21_xx。15. 200020013232_g。16. 计算：. 1122 123 1548333. 1485423313. 274 374 33 51. 222212131213精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页- 12 - / 2117. 计算及化简：. 2211aaaa. 2ababababab. xyy xy xxyxyy xy xxy. 2aabbabaabaabbabbab18. 已知：3232,3232xy，求32432232xxyx yx yx y的值。19. 已知：1110aa，求221aa的值。20. 已知11039322yxxxyx，求的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页- 13 - / 21一、选择题（每题2 分，共 20 分）1. 下列各式中一定是二次根式的是（）A. 7B. 32mC. 12xD. 3ab2. 如果52x是二次根式，那么x应满足的条件是（）A. 52xB. 52xC. x52D. x523. 当 x=3时，在实数范围内没有意义的是（）A. 3xB. 3xC. 23xD. 23x4. 化简二次根式2( 3)6得（）A. 36B. 36C. 18 D. 65. 等式(1)(1)11aaaa?成立的条件是（）A. 1aB. 1aC. 11aD. 11a6. 下列各式计算正确的是（）A. 8 32 316 3?B. 5 35 25 6?C. 4 32 28 6?D. 4 32 28 5?7. 若24(9)Aa，则A等于（）A. 23aB. 22(3)aC. 22(9)aD. 29a8. 化简1254等于（）A. 152B. 1012C. 52D. 11012精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页- 14 - / 219. 等式11xxxx成立的条件是（）A. 0xB. 1xC. 01xD. 0x且1x10. 当3a时，化简22(21)(3)aa的结果是（）A. 32aB. 32aC. 4aD. 4a二、填空题（每题3 分，共 24 分）11. 如果11x是二次根式，则x的取值范围是。12. 若0n，则代数式3227m n= 。13. 化简7581= ，0.04 490.25 121= ，55= 。14. 计算12 7543 4827= 。15. 已知1812261884aaa，则a。16. 若26m与234m是同类二次根式，则m= 。17. 2(2)2aa成立的条件是。18. 若 )m nmnmnmn21. 已知5xy，3xy?，计算yxxy的值。（5 分）22. 已知实数, ,a b c满足21 |1|440abcc，求1001003abc的值。（5 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页- 16 - / 2123. 若521ab，2ab，求代数式(1)(1)ab的值。 （6 分）24. 已知11,32 232 2AB求1111AB的值。（6 分）25. 已知1110aa，求221aa的值。 （6 分）综合、运用、诊断一、填空题11表示二次根式的条件是_12使有意义的x的取值范围是 _13已知，则xy的平方根为 _14当x=2 时， _二、选择题x212xx411yxx2244121xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页- 17 - / 2115下列各式中，x的取值范围是x2 的是 ( )ABCD16若，则xy的值是 ( )A 7 B 5 C3 D7 三、解答题17计算下列各式：(1)(2)(3)(4)18当a=2，b=1，c=1 时，求代数式的值拓广、探究、思考19已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：的结果是： _20已知ABC的三边长a，b，c均为整数，且a和b满足试求ABC的c边的长综合、运用、诊断一、填空题9定义运算“ ”的运算法则为：则(26)6=_ 10已知矩形的长为，宽为，则面积为 _cm211比较大小：(1)_；(2)_； (3) _二、选择题12若成立，则a，b满足的条件是 ( )Aa0 且b0 Ba0 且b0 Ca0 且b0Da，b异号13把根号外的因式移进根号内，结果等于( )ABCD三、解答题2x21xx21121x022|5|yx;)14. 3(2;)3(22;)32(21.)5. 03(22aacbb242|)(|22bbccaa.09622bba,4xyyxcm52cm1023322534226baba24324111144112精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页- 18 - / 2114计算： (1)_；(2)_；(3)_；(4)_15若 (xy 2)2与互为相反数，求(xy)x的值拓广、探究、思考16化简： (1)_；(2)_综合、运用、诊断一、填空题7化简二次根式：(1)_(2)_(3)_ 8计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：(1)_(2)_(3)_(4)_ 9已知则_；_( 结果精确到0001) 二、选择题10已知，则a与b的关系为 ( )Aa=bBab=1 Ca=bDab=1 11下列各式中，最简二次根式是( )ABCD三、解答题12计算： (1)(2)(3)xxy6335222927baa21132212)123(32yx1110)12()12()13()13(628131451x2322yx5,732.13312713a132byx1ba42xba25;3baabab;3212yxybaba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页- 19 - / 2113当时，求和xy2x2y的值拓广、探究、思考14观察规律：并求值(1)_； (2)_；(3)_15试探究与a之间的关系综合、运用、诊断一、填空题12已知二次根式与是同类二次根式，(ab)a的值是 _13与无法合并，这种说法是_的 ( 填“正确”或“错误”) 二、选择题14在下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )ABCD三、计算题15161718四、解答题19化简求值：，其中，24,24yx222yxyx,32321,23231, 1212122711011111nn22)( a、abab4ba33832abbab26aa223a3a4a.)15(2822180).272(43)32(21bbabaa1241.21233abbbaabababayyxyxx32414x91y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页- 20 - / 2120当时，求代数式x24x2的值拓广、探究、思考21探究下面的问题：(1) 判断下列各式是否成立?你认为成立的，在括号内画“”，否则画“” （）（）（）（）(2) 你判断完以上各题后，发现了什么规律?请用含有n的式子将规律表示出来，并写出n的取值范围(3) 请你用所学的数学知识说明你在(2) 题中所写式子的正确性综合、运用、诊断一、填空题13(1) 规定运算： (a*b)= ab，其中a，b为实数，则_(2) 设，且b是a的小数部分，则_二、选择题14与的关系是 ( )A互为倒数B互为相反数C相等D乘积是有理式15下列计算正确的是( )ABCD三、解答题16171819321x32232283383315441544245524557)3*7(5abaabaabbaba2)(abbababa22aaa12212212818)212(2.)21()21(20092008.)()(22baba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页- 21 - / 21四、解答题20已知求(1)x2xyy2；(2)x3yxy3的值21已知，求的值拓广、探究、思考22 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式 如：与，与互为有理化因式试写下列各式的有理化因式：(1)与_；(2)与_；(3)与 _；(4)与_； (5)与_；(6)与 _23已知求( 精确到 0.01) ,23,23yx25x4)25()549(2xxaa636325yx2mn322233223,732.13,414.12)23(6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页