优秀学习资料欢迎下载中考数学解直角三角形练习第一课时 (锐角三角函数) 课标要求1、 通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA 、cosA、tanA 、cotA ）2、 熟知 300、450、600 角的三角函数值3、 会用计算器求锐角的三角函数值，以及由已知的三角函数值求相应的锐角。4、 通过特殊角三角函数值，知道互余两角的三角函数的关系。5、 了解同角三角函数的平方关系。sin2 +cos2=1，倒数关系tan cot =1. 6、 熟知直角三角形中，300角的性质。中招考点1、 锐角三角函数的概念，锐角三角函数的性质。2、 300、450、600角的三角函数值及计算代数式的值。3、 运用计算器求的三角函数值或由锐角三角函数值求角度。典型例题 例题 1 选择题（四选一）1、如图 19-1，在 RtABC中， CD是斜边 AB上的高，则下列线段比中不等于sinA 的是（）A. ACCD B. CBBDC.ABCB D.CBCD分析 ：sinA=ACCD, sinA=sinBCD=BCBD ;sinA= ABBC , 从而判断D不正确。故应选D.。2、在 Rt ABC中，C 900，AB，则 cosA 的值是（）A. 21 B. 22 C.23 D.1 分析 ：先求出A的度数，因为C900，AB，故AB 450，再由特殊角的三角函数值可得： cosA=cos450=22故选 B.。3、在 ABC中，C900，sinA=23 , 则 cosB 的值为（）A. 21 B. 22 C.23 D.33分析 ：方法一：因为sinA=23, 故锐角 A600。因为C900，所以B300. cosB=23 .故选 C. 方法二：因为C 900，故A与B互余 . 所以 cosB=sin A 23. 故选 C. B D A C 图 19-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载4、如图 19-2，在 ABC中，C 900，sinA=53. 则 BC ：AC等于（）A. 3：4 B. 4：3 C.3：5 D.4：5 分析 ： 因为C900， sinA 53 ,又 sinA=ABBC . 所以ABBC53, 不妨设 BC 3k,AB=5k, 由勾股定理可得AC 22BCAB4k,所以 BC ：AC 3k:4k=3:4故选 A.。注意：由ABBC53，不能认为BC 3，AB 5。5、如图 19-3，已知正方形ABCD的边长为 2，如果将线段BD绕着点 B旋转后，点D落在 CB的延长线上的D/处，那么 tanBAD/等于（）A. 1 B.2C.22D.22分析 ： 根据勾股定理得BD 22CDBC=2222=22又 BD/BD 22，AB 2，在 RtABD/中， tanBAD/= 2222/ABBD故选 B.。6、在 ?ABC中，若 sinA-22 |+(23-cosB)2=0, A. B都是锐角，则C的度数是（）A. 750 B. 900 C.1050 D.1200分析 ：由sinA-22 |+(23-cosB)2=0可得，sinA-22=0 23-cosB=0 即 sinA=2223=cosB ,又 A、 B都是锐角，A450， B 300. 由三角形内角和知，C1800- A-B1050. 故选 C. 评注：解决此题的关键是利用利用非负数性质，求sinA 、cosB 的值，得出 A、 B的度数。 例 2 填空题：1、计算 tan600sin600-cot300tan450=_ 分析熟记 300、450、 600这些特殊角的三角函数值是解决本题的关键。原式32313233B A C 图 19-2 A D D/B C 图 19-3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载2、在 ?ABC中，C=900. 若 tanA= 125则 sinB 的值等于 _ 分析依据条件tanA= 125, 可求出 cotB=cot(900-A )=tanA= 125, 再由 cotB= BBsincos及 sin2B+cos2B=1得cotB BBsinsin12可求出 sinB= 13123、在 ?ABC中，C=900，若 B2 A，则 cotB 的值为 _. 分析因为 A+ B900，且 B2 A，故 B600. 所以cotB=cot600=334、 若 为锐角，且cos(900- ) 21，则 的度数是分析 把 900- 当作一个整体，由特殊角的三角函数值，易得900- =600, 所以 300. 5、 已知 00400，且 sin( +100)=cos(500+) ，则 分析根据互余两角的三角函数关系，因为00 400，所以 100+100 500，500 500+900，从而有（ +100）+（500+） 900150. 6、 用计算器计算：sin56050/+cos39030/-tan46010/=_ 分析会用计算器求任意一个锐角的三角函数值，然后进行计算。原式0.5671. 7、已知方程4x2-2(m+1)x+m=0 的两根恰为一个直角三角形两锐角的余弦，则m=_ 分析设这个直角三角形的两个锐角分别为、，且 + 900。cos=sin . 由一元二次方程根与系数的关系得：cos+cos=21m，coscos=4m cos +sin =21m . cossin =4m又因 sin2+cos2=1，(sin +cos)2-2sin cos =1. 1424)1(2mm . (m+1)2-2m=4 m= 3、都是锐角，cos0，sin 0 m=-3应舍去 . 故 m=3. 例 3 在 ?ABC中， AB AC. 且 AB 2BC. 求B的四个三角函数值。分析根据锐角的三角函数的定义知，锐角三角函数值是锐角所在的直角三角形相应边的比值。因此必须把B放入直角三角形中，由题可知，?ABC中没有说是直角三角形，所以要想法构造出直角三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载解：如图 19-4 ，过点 A作 AD BC ，垂足为D。ABAC BDDC 21BC. 又 AB 2BC AB4BD 在 Rt?ABD中， AD BDBDAB1522sinB=415415BDBDABADcosB=414BDBDABBDtanB=1515BDBDBDADcotB=1515151ADBD例 4计算000030cot.60sin60cos45tan121分析：本题主要是考察特殊角的三角函数值和分母有理化知识解：原式23211) 12)(12(12.3=3.3112=112=2例 5要求 tan300的值 . 可构造如图19-5 所示的直角三角形进行计算，作Rt?ABC ，使C=900，斜边 AB 2，直角边AC 1，那么 BC 3ABC 300，所以tan300=3331BCAC在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan150的值。请你就此图添加辅助线，并求出tan150的值。分析 ：只需找出一个150的角，并放入一个可求出各边长的直角三角形中。解： 延长 CB至 D，使 BD AB 。连结 AD，如图 19-6 A B D C 图 19-4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载则 BD 2，D 150 所以DC DB+BC 2+3在 Rt?ADC中 tanD=tan150=32321DCAC评注：利用含 300角的直角三角形巧妙地构造出含150角的直角三角形，从而求出150角的三角函数值。利用此图还可以求出750的各三角函数值。A A 2 1 2 1 300 B C D B C 图 19-5 图 19-6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载强化训练一、填空题：在?ABC中，若 AC 2。BC 7AB 3，则 cosA=_. 在 Rt?ABC中， C900. tanA=52. AC 4. 则 BC=_。已知 sin 23为锐角。则tan2 =_ 在?ABC中，若 sin -21|+(cosA-23 )2=0. 则 C的度数为若 的余角为 380，则 度， sin =_( 结果保留4 个有效数字 ) 在?ABC中， C 900. AC 135AB. 则 sinA=_tanB=_. 已知2+1是方程 x2-(3tan )x+2 =0 的一个根， 为锐角三角形的一个内角，那么 若+ 900. 则 tan tan -tan2 =_ 在 Rt?ABC中， C900.ABc. BC a. 且 a、c 满足 3a2-4ac+c2=0. 则sinA=_ 在菱形 ABCD中，A600. 对角线 AC 63cm. 则菱形的面积为二、选择题（四选一）在?ABC中， C 900. tanA=1，那么 cotB 等于（）A.3B.2C.1 D.33已知 为锐角，且tan(900- )= 3，则 的度数为（）A.300B. 450C.600D.750 在 Rt ?ABC中， C900.AC=12，cosA=1312 ,则 tanA 等于 ( ). A.135B.1213C.512 D.125 下列等式不成立的是( )。A. tanA cotB=1 B.tanA=AAcossin C.tanA=Acot1 D.sin2600+sin2300=1 下列各式计算错误的是( ) A. 21cos300+sin600cos60+22sin450=231 B.21)160(cos20精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载C. sin300tan420tan480+tan500tan400cos600=1 D. 333130tan230tan002 在?ABC中， sinB=cos(900-C)=21那么 ?ABC是( ) A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 已知 为锐角， 下列结论： sin +cos=1 如果 450，那么 sin cos. 如果 cos21, 那么 6002)1(sin=1-sin , 正确的有 ( ) A.1 个B.2 个 C.3个D.4 个菱形 ABCD 的对角线AC=6 ，BD=8 ， ABD= ，则下列结论正确的是( ) A.sin =54B.cos =53 C.tan=34D.cot =34已知点 P(3，sin600) ，则点 P关于原点对称的点的坐标是( ) A.(3 ，-23) B.(-3 ，- 23) C.(3 ，sin600) D.(-3,- 21) 已知 、都是锐角，且+=900，则关于x 的一元二次方程x2cot -2x+cot =0 的根的情况是( )。A.有两个不等实数根B.有两个相等实数根C. 无实数根 D.根的情况由 、 值确定。三、解答下列各题： 计算： sin300+cos600-cot2450-tan600tan300 当 x=2sin450+tan600时。先将代数式12xx(1+11x) 化简后再求值。 在 Rt ?ABC中， C900. a-b 2. tanA= 34, 求a、b、c 的值。 如图 19-7 ，已知 ?ABC中，BAC 900.AB=AC. BD是 AC边上的中线 . 求 cot DBC的值 . 在?ABC中，已知BC=1+3B=600C450.求 AB的长 . 身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出的线分别为300m 、250m、200m ，线与平面所成的角分别为300、450、600( 假定风筝线是拉直的) 。问三人中谁放的风筝最高？ ?ABC中， C900，BC=8cm ，sinB=53，一只蜜蜂从点B开始沿 BC向点 C以 2cm/s 的速度移动。 另一只蜜蜂从点C开始沿 CA边向点 A以 1cm/s 的速度移动。 如果两只蜜蜂分别从B、C点同时出发各自运动到P、Q，如图 19-8 ，第几秒钟时PQ AB ？ A D B C 图 19-7 A Q B P C 图 19-8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载第二课时 ( 勾股定理、解直角三角形及有关知识解决实际问题) 课标要求1、 熟悉勾股定理的探索过程，会用勾股定理解决简单的实际问题。2、 运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题。3、 能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题。中招考点1、 用勾股定理解决实际问题。2、 直角三角形的基本解法( 运用三角函数、勾股定理) 。3、 运用解直角三角形知识解决与生活、生产相关联的应用题。典型例题例 1 如图 19-9，在垂直于地面的墙上2m的点 A斜放一个长2.5m 的梯子，由于不小心梯子在墙上下滑0.5m，求梯子在地面上滑出的距离BB/的长度。分析： BB/的长度应等于B/C的长度减去BC的长度。因为在Rt?ABC中，已知斜边AB和直角边 AC的长，由勾股定理可求得BC的长，又由AA/=0.5m，A/B/=AB ，再次运用勾股定理可求出B/C的长。解：因为 ACB=900， AB=2.5m ，AC=2m ，所以BC=2222252ACAB=1.5(m) 所以 A/C=2-0.5=1.5(m)，A/B/=AB=2.5(m) B/C= 22225.15. 2CABA= 2(m) B/B= B/C-BC=2-1.5=0.5(m). 评注 : 本题在理解题意的基础上，抓着梯子的长度不变，两次使用勾股定理，使问题得到解决。例 2 如图 19-10 ，已知在 ?ABC中， ACB 900.AB=5cm，BC=3cm. CDAB于 D，求 CD的长。分析： 先运用勾股定理求AC ，再根据S?ABC=21AB CD=21ACBD ，求出 CD之长。解：因为 ?ABC是直角三角形，AB=5 ，BC=3 由勾股定理有AC2=AB2-BC2 AC=2235=4 A A/B/ B C 图 19-9 C B D A 图 19-10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载又 S?ABC=21AB CD=21BC AC得CD=512534ABBCAC(cm). 所以 CD的长是512cm。评注 : 已知直角三角形任意两边长或两边关系及第三边的长， 就可以求出三角形的未知边长，并可运用面积关系式求出斜边上的高( 即弦高公式：两直角边的积等于弦与弦上高的积) 。例 3在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘。如果两只猴子经过的距离相等，问这一棵树有多高？分析根据题意画出图形。在直角三角形中运用勾股定理求解。解： 如图 19-11 ， D为树顶，AB=10m ， C为池塘，AC=20m 。设 BD的长为 x m ，则树高为 (x+10) m. 因为 AC+AB=DB+DC 所以 DC= AC+AB-DB=20+10-x=30-x 在?ACD中， A900。所以 AC2+AD2=DC2 故 202+(x+10)2=(30-x)2。解得 x=5 所以 x+10=15. 即这一棵树的高为15m. 评注 : 把实际问题变成几何问题，先画出符合题意的图形，设出某线段的长度， 列出方程 ( 组)来求解。例 4 如图 19-12 所示，在 ?ABC中， C900，a=33，c=63，解这个三角形。解： b2=c2-a2=(63)2-(33)2=81 b=9 又因为 sinA=213633ca所以 A300. 又因为 A+B900. 所以 B600. b=9. A 300 . B600. 评注 : 弄清直角三角形的边角关系是解直角三角形的关键。在应用边角关系求未知边时，应尽是使用已知量，要避免使用中间求出的量，以便减少误差。已知两边解直角三角形的思路：已知两直角边a、b，直角三角形解法为 c=22ba, 由 tanA=ba得 A，B=900- A。已知一直角边a 和斜边 c，直角三角形解法为 b=22ac, 由sinA=ca得 A ， B=900- A。 D B A C 20 图 19-11B c a A b C 图 19-12 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载 已知一边和一锐角解直角三角形的思路：已知一条直角边a 和一个锐角A，直角三角形的解法是：B=900- A，c=Aasin b=acotA(或 b=22ac) 已知斜边 c 和一个锐角 B，直角三角形的解法是：已A=900- B，b=csinB, a=ccosB( 或 a= 22bc) 。 要特别注意：凡是“解直角三角形”的题目，除题目中的已知元素，须把所有的未知元素全部求出来。例 5 某市在 “旧城改造” 中计划在市内一块如图19-13 所示的 ABC空地上种植草皮以美化环境。已知B=300， C=450，AB=20米，且知道这种草皮每平方米售价a 元，请你算一算购买这种草皮共需要多少钱？分析：要求草皮的费用，关键是求SABC. 故过点 A作 AD BC于 D，构造直角三角形分别求出AD 、 BD 、CD即可。解： 作 ADBC于 D，在 RtABD中， B=300AD=21AB=10m BD=31010202222ADAB m 在 RtADC中， cotC=ADDCDC=AD cot450=10m. S ABC=21(BD+CD) AD=21(103+10) 10=50(3+1)(m2) 每平方米售价为a 元，共需要50(3+1)a 元评注 : 采用“分割法”来构造直角三角形是解决问题的关键，但要特别注意，不要破坏题目中的已知条件。( 即不能从B、C两点作高 ) 。例 6 某山区计划修建一条通过小山的公路，经测量，如图19-14 ，从山底B到山顶 A的坡角是300，斜坡 AB长为 100 米，根据地形，要求修好的公路路面BD的坡比 =1：5，为了减少工程量，若AD20 米，则直接开挖修建公路；若AD 20 米，就要重新设计，问这段公路是否需要重新设计？分析是否需要重新设计，需比较AD与 20 的大小关系。 即求出 AD ，由题意 .AD=AC-CD.故先求出 AC和 CD 。解：在 Rt?ABC中， ABC 300.AB100 AC=21AB=50 。BC=222250100ACAB=503在 Rt?BCD中， i=51350DCBCDC . CD=103 AD=AC-DC=50-10320. A 20 米 300 450 B D C 图 19-13 A D i=1: 5 B C 图 19-14 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载故这条公路需要重新设计。评注 : 弄清名词术语的含义，画出正确的示意图，是解题的关键。例 7 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力。据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km B处有一台风中心，其中心最大风力为12 级，每离台风中心20km，风力就会减弱一级。该台风中心现正以15km/h的速度沿北偏东300方向往 C移动。且台风中心风力不变，如图19-15 ，若城市所受风力达到或超过4 级，则称为受台风影响。 该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。 若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 该城市受到台风影响的最大风力为几级？分析：该城市是否会受到这次台风的影响，取决于该城市距台风中心的最近距离，若大于160km ，则不受台风的影响。因风力达到或超过4 级称受台风影响，故可计算出该城市从开始受台风影响到结束受台风影响之间的距离除以其速度。即为影响的时间，在离台风中心最近处风力最大。解： 如图 19-16 。由点 A作 AD BC ，垂足为D。因为 AB=220. B=300. 所以 AD=21AB=110. 即点 A距台风中心的最近距离为110km，由题意知，当点 A距台风中心不超过160km时， 将会受到台风的影响。 故该城市会受到这次台风的影响。在 BC上取两点E 、F，使 AE=AF=160 ，当台风中心从E处移到 F 处时， 该城市都要受到这次台风的影响。由勾股定理得，DE=15301101602222ADAE所以 EF=6015(km) ,因为台风中心以15km/h 的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为154151560(h) 当台风中心位于D处时， A市所受的这次台风的风力最大，其最大风力为12-20110=6.5( 级) 评注 : 此类题目联系生活实际，文字长，数据多，解题时要认真读题，理解题意，注意观察实践与想象，建立数学模型 ( 画出图形 ) 把抽象的问题转化为解直角三角形的问题。此题若换成噪音干扰或航海中遭遇暗礁或沙尘暴是否影响的问题。解决问题的方法同上。具体来讲，一是正确画出图形，弄清题意；二是判断会不会受影响的标准是点 A到 BC的距离是否大于半径。例 8今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位。一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东 600方向上，前进100m到达 B处。又测得航标C在北偏东450方向上 ( 如图 19-17) 。在以航标C为圆， 120m长为半径的圆形区域内有浅滩。如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？( 31.73) A C 图 19-15 A C F D E B 图 19-16 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载分析：过 C作 CD AB于 D，求出 CD的长。若 CD 120m ，则无危险；若CD 120m ，则有被浅滩阻碍的危险。可设CD=x ，利用 Rt ?ACD 、Rt?CBD结合 AB=100m 求解。解： 如图 19-18 ，过点 C作 CD AB，垂足为 D，设 CD=x 。在 RtADC中， AD=CD cot CAD=CD cot300=3x . 在 RtBDC中，BD=CD cot CBD=CD cot450= x 。所以 AB=AD-BD= 3x-x=(3-1)x=100 故 CD=x=13100 =50(3 +1) 136.5(m) 120m 所以，若船继续前进没有被浅滩阻碍和危险。评注 : 这是一道现实生活会遇到的题目，解题的关键是弄清题意，将实际问题转化为数学模型，即转化为解直角三角形。此题型可归纳为一个基本图形，如图 19-18 ， 在 Rt ABC中， CB=AB cot在RtADB中，DB=AB cot 由 - 得 CB-DB=AB(cot - cot) 即 h=cotcota例 9如图 19-19 ，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6m的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面 15m处要盖一栋高20m的新楼，当冬季正午的阳光与水平线的夹角为320时，问： 超市以上的居民住房采光是否受影响，为什么？若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？( 结果保留整数，参考数据 sin32010053,cos320125106,tan32085) 分析： 采光是否受影响即指此时太阳光能否照射到居民家中，即太阳光照射到居民楼的高度是否大于6m。 要不受影响，太阳光线要正好照射到居民楼底，即图中C处。北北 C 600 450A B D 东图 19-17 A h C a D B 图 19-18 D A 320 B C 图 19-19 新楼居民楼精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载解： 如图 19-20 ，设 CE=x m, 则 AF=(20-x)m 。在 RtAEF中， tan320=EFAF即 20-x=15tan320, 解得 x 11 因为 11m 6m ，所以居民住房的采光受影响。 如图 19-21 在 RtABF中， tan320=BFABAB=20 ，则 BF=032tan2032 所以两楼应相距32m 。评注 : 解此类实际问题必须理解题意，学会建立数学模型，运用所学知识求解。如果题中没有给出sin320.cos320.tan320的函数值， 同学们可以使用计算器求到解题过程中需要的值。例 10 如图 19-22 ，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，且建筑物周围没有开阔平坦地带。该建筑物顶端宽度AD和高度 DC都可直接测得，从A 、D、C三点都可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测角器。 请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶到地面高度HG的方案，具体要求如下：测量数据尽量少；在所给图形上， 画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上( 如果测 A、 D间距离用 m表示；如果测 C、D间距离用n 表示，如果测角用 . 表示 ) 根据你测量的数据，计算塔顶到地面的高度HG(用字母表示，测角器高度忽略不计) 。解：方案一：如图19-23- (测三个数据 . .n) 解 设 HG=x ，在 RtCHG 中， CG=x cot 在 RtDHM 中， DM=(x-n) cot x cot =(x-n) cot x=cotcotcotn方案二：如图 19-23- 。 (测四个数据 . .m.n) 设 HG=x,在 RtAHM 中， AM=(x-n) cot 在 RtDHM 中，DM=(x-n) cot (x-n)cot =(x-n) cot +m x=cotcotcotcotmnnA D F 320 E B C 图 19-20 D A 20 E 320 B 15 C F 图 19-21 H A D B C G 图 19-22 H A D M n B C G 图 19-23- H A D M m n B C G 图 19-23- 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载评注 : 熟读题目、理解题意是解题的前提，设计方案时要尽可能和已学过的基本图形联系起来。设计的方案要科学实用。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载强化训练一、填空题： 在 Rt ABC中，斜边AB=2 。则 AB2+BC2+CA2=_. 若一直角三角形三边的长是三个连续的整数，那么这三边的长为_ 直角三角形三边长为x、3、4，则 x=_ 等边三角形的边长是a ，则它的高等于 _cm 受台风影响，马路边一棵大树在离地面6m处断裂，大树顶落在离大树底部8m处，则大树折断之前高_m 如图 19-24 ，要修建一个育苗棚，棚宽 a=3m ，高 b=4m ，底 d=10m ，覆盖在顶上的塑料薄膜的面积为_ 如图 19-25 所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm 。则正方形A、B、C、D的面积的和是_。 如图 19-26， 是 20XX年8 月北京第二十四届国际数学大会会标，由4 个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积为 52 和 4，则直角三角形的两条直角边长分别为_ Rt ABC中， C900.若 a=4,sinA= 31, 则C=_ 如图 19-27，水坝横断面为梯形ABCD ，迎水坝BC的坡角 B为 300，背水坡 AD坡度为 1：1.5 ，坝顶宽 DC=2米，坝高CF=4米，则坝底AB的长为 _背水坡 AD长为 _。 小明想测量电线杆AB的高度， 发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面 BC上， 如图 19-28， 量得 CD=4m ， BC=10m,CD与地面成300角，且此时测得1m杆的影长为2m 。则电线杆的高度约为_m(结果保留两位有效数字，21.41 ，3 1.73) 一轮船以每小时20 海里的速度沿正东方向航行，上午 8 时，该船在 A处，测得某灯塔位于它的北偏东300的 B处( 图 19-29) ，上午 9 时行至 C处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是_海里 ( 结果保留根号) 二、选择题 ( 四选一 ) 把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2 倍，则其斜边扩大到原来的( ) b a d 图 19-24 B C A D 7cm 图 19-25 图 19-26 C D B F A图 19-27 A D B C 图 19-28 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载A. 2倍 B. 2倍 C. 4倍 D.3倍 直角三角形的周长为12cm ，斜边长为5cm，则其面积为( ) A. 12cm2 B. 6cm2 C. 8 cm2 D. 10 cm2 如图 19-30 ABC中， CD AB于 D，若 AD=2BD ，AC=3 ，BC=2 ，则 BD的长为 ( ) A.35 B.315 C. 1 D. 21 一个三角形的一边是2 m，这边上的中线为m ，另两边之和为m+3 m，那么这个三角形的面积是( ) A. m2 B.23m2 C. 3m2 D. 3m2如图 19-31 两条宽为1 的带子，相交成 角，那么重叠部分的面积即阴影部分面积为( ) A. sin B. sin1 C. 2sin1 D. cos1 如图 19-32，是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面作成角AMC=300，在教室地面的影长MN=23米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为( ) A. 23米 B. 3 米 C. 3.2米 D. 233米 在距楼房 30m的 A处测楼房BC的高，测得楼顶B的仰角为 ，则楼房BC的高为 ( )m A.30tan B. tan30 C. 20sin D. sin30 如图 19-33, 在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为 a 米，此时梯子的倾斜角为750，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的距离NB为 b 米，梯子的倾斜角为450，这间房子的宽AB是 ( ) A. 2ba米 B.2ba米 C. a米 D. b米三、解答下列各题1、已知一个直角三角形的斜边长为2，两直角边长的和为6。北 B 300A C 东图 19-29 C A D B 图 19-30 图 19-31 A B M N C 图 19-32 M N 750 450 A C B 图 19-33 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载求这个直角三角形的面积。2、在平静的湖面上有一支红莲高出水面1m ，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m.求这里的水深是多少？3、如图 19-34，已知 ABC= BCD=900.AB=6，sinA=54 ,CD=12, 求 D的四个三角函数值。4、 如图 19-35 ， 在 ABC中，A=300， tanB=31 BC=10,求 AB的长5、 已知如图 19-36 所示，折叠矩形的一边AD使点 D落在 BC边的点 F处， 已知 AB=8cm ， BC=10cm ，求 EC的长。6、一艘渔船正以每小时30 海里的速度由西向东航行，在 A处看见小岛C在船的北偏东600，40 分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东300。若以小岛C为中心周围10海里是危险区，问这艘渔船继续向东航行是否有进入危险区的可能？7、如图 19-37 ，城市规划期间， 欲拆除一电线杆AB ， 已知距电线杆水平距离14m的 D处有一大坝，背水坡 CD的坡度 i=2:1 ，坝高 CF=2 m ，在坝顶 C处测得杆顶A的仰角为300，D、E之间是宽为2m人行道，试问在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由。8、如图 19-38，小丽的家住在成都市锦江河畔的电梯公寓AD内。她家的河对岸新建了一座大厦 BC ，为了测得大厦的高度，小丽在她家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为600，爬上楼顶 D 处测得大厦顶部B的仰角为 300。已知小丽所在的电梯公寓高82 米。请你帮助小丽计算出大厦高度BC及大厦与小丽所住的电梯公寓间的距离AC 。A B C D 图 19-34 C A B 图 19-35 A D E B F C 图 19-36 A G C B E D F 图 19-37 B D A C 图 19-38 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载第 25 部分解直角三角形综合测试题 A 一、填空题： ( 每空 2 分，共 30 分 ) 1、 sin2300+cos2300=_ 2、 计算： (sin300)-1-(cot600)0=_ 3、 已知 cosA-23=0，则锐角 A=_度4、 Rt ABC中， C=900，AB=17，sinA=178，则 BC=_ 5、 如图 19-1，在 ABC中， ACB=900，BC=4 ，AC=5，CD AB ，则 sin ACD=_ ，tan BCD=_ 6、 在 RtABC中， C=900，b：a=1：2，则 cos(900-A)=_ 7、 如图 19-2 是河堤的横断面，堤高BC=5m ，迎水斜坡AB的坡度为 1：2，那么 AB的长为_m 8、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为 a，则其底边上的高是_ 9、已知直角三角形的两直角边之和为26，面积为2，则该直角三角形的斜边长为_ 10、油田高级中学升国旗时，李明同学站在离旗杆底部12 米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为450，若他的双眼离地面1.3 米，则旗杆的高度是_米。11、已知 A为锐角， cotA=33则 sin2A =_ 12、用计算器计算cos350=_( 保留两个有效数字) C B D A 图 19-1 B C A 图 19-2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载13、一船向西航行，上午9 时 30 分在小岛A南偏东 300的B处，已知AB为 60 海里，上午11 时整，船到达小岛A的正南方向，则该船的航行速度为_ 14、学校校园内有一块如图19-3 所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为30 元，学校建这个花园需要投资_元( 精确到 1 元) 二、选择题 ( 四选一 )( 每小题 3 分，共 24 分) 15 、 ABC中， C=900， BC=2 ，AB=3 ，则下列结论中正确的是( ) A. sinA=35 B. cosA=32 C. sinA=32 D.tanA=2516、在 ABC中， A、 B都是锐角，且 |sinA-21|+ 21cosB=0，则 ABC的形状是( ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形17、在 ABC中， C=900，a、b、 c 分别是 A、 B、 C的对边，则下列等式成立的是( ) A.b=c cosA B. b=asinB C. a=btanB D. b=ccotA 18、已知 A为锐角，且cosA21 ,那么 ( ) A. 00A600 B. 600A 900 C. 00A300 D. 300A 90019、如图 19-4， RtABC中， ACB=900，CD AB于 D，BC=3 ， AC=4 ， 设 BCD= ， 则 tan 的值为 ( ) A. 43 B.34 C.53 D. 5420、如图 19-5， RtABC中， C=900，D为 BC上一点，DAC=300，BD=2 ，AB=23, 则 AC的长是 ( ) A. 3 B.22 C. 3 D.32321、如图 19-6 ，两建筑物的水平距离为a m，从 A点测得 C点的俯角为，测得 D点的俯角为 , 则较低建筑物CD的高为 ( ) A. a m B.atan m C. a cot m D. a(tan-tan )m 20 米 1200 30米图 19-3 B D AC图 19-4 A C B D 图 19-6 A C D B 图 19-5 B 3 4 A 6 图 19-7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载22、如图 19-7 是一块长宽高分别为6cm、4cm和 3cm的长方体木块， 一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处沿着长方体的表面到长方体上和A点相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是( ) A.(3+213)cm B.97cm C. 85cm D.9 cm 三、解答题： ( 共 46 分) 23、(8 分) 如图 19-8 ，D是 ABC的边 AC上一点， CD=2AD ，AE BC ，交 BC于点 E，若 BD=8 ，sin CBD=43求 AE的长。24、(6 分) 如图 19-9 ，设火柴盒 ABCD 的两边之长为a 和 b，对角线长为c，推倒后的火柴盒是 AB/C/D/，试用该图形验证勾股定理的正确性。25、 (10 分) ( 参考数据： sin650 0.9,cos6500.4 ，tan6502.1,21.4) 如图 19-10 ，某海滨浴场岸边可近似地看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救， 1号救生员没有直接从A处游向 B处，而是在岸边自A处跑 300 米到距离B最近的 D处，然后游向B 处；假定所有的救生员在岸边的跑行的速度这6 米/ 秒，在海中游进的速度为2 米/ 秒， BAD=450。 请根据以上条件分析1 号救生员的选择是否正确； 若 2 号救生员同时从A处在岸边跑到C处，再游向 B处，已知 BCD=650，问哪位救生员先赶到 B处救人？ ( 为了便于计算，计算过程中的数值均可精确到0.1) 。26、 (10 分) 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：(1)2+1=2，S1=21；(2)2+1=3，S2=22；(3)2+1=4，S3=23； 请用含有 n(n 为正整数 ) 的等式表示上述变化规律； 推算出 OA10的长 求出 S12+ S22+ S32+ S102的值。 A D B E C 图 19-8 D C C/ B/ a c c b D/ b A a B 图 19-9 B 450 650 A C D海岸图 19-10 1 A6 1 A5 S6 S5 1 A4S4 1A3 S3 1 S2 A2 S1 A1O 图 19-11 C B Q P A D 图 19-12 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载27、 (12 分) 如图 19-12。公路 AB和铁路 CD在点 P处交汇，且BPD=600，点 Q在 BPD的平分线上， 且在 Q点处有一疗养院，PQ=240米，设大型运输车在行驶时。110 米范围内都会受到噪声影响，火车在铁路上行驶时，周围200 米以内都受噪声影响。 当大型运输车和火车分别沿PB 、PD方向行驶时， 疗养院是否会受到噪声的影响？请你与同学交流说明理由。 如果受到影响， 已知大型运输车的平均速度为60 千米 / 小时，火车的平均速度为90 千米/ 小时，那么疗养院影响的时间为多少秒？ 如果公路 AB上大型运输车的通过率为10辆 / 小时， 铁路 CD上火车的通车率为5 列/ 小时，请你计算一下该疗养院是否应该搬迁，并说明理由。第 25 部分解直角三角形综合测试题B 一、填空题： ( 每空 2 分，共 30 分 ) 1、 如图 19-1，正方形A的面积是16，正方形的面积 B为 9，那么正方形C的面积为 _ 2、 计算：cos450+tan600-2sin300=_ 3、 若 为锐角，且cos=sin400，则 =_ 4、 已知 tan(400-2 )=cot(800+ )，则 tan =_ 5、 用计算器计算sin180=_ 6、 计算： 2sin600-(21 )-1+(2-1)0=_ 7、 如图 19-2，一个小球由地面沿着坡度为i=1:2的坡面向上前进10 米，此时小球距离地面的高度为 _ 8、 如图 19-3，P是 OA上一点，且P点在坐标为 (3 ，4) ，则 sin =_ 9、 在 RtABC中， C=900， sinA=1312 , 则sinB=_ 10、在 RtABC中， C=900，a=2, sinA=31, 则c=_ 11、在 ABC中，已知 B为锐角， AB=2cm ，BC=5cm ，SABC=4cm2，则 cosB=_ A C B 图 19-1 图 19-2 y A P 4 O 3 x 图 19-3 20米300图 19-4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载12、已知 ABC中， C=900，则 tan2BA=_ 13、青岛位于北纬3604/，通过计算可以求得，在冬至日正午的太阳入射角为300( 如图 19-4) ，因此，在规划建设楼高为20 米的小区时，两楼间的距离最小为 _米，才能保证不挡光？( 结果保留四位小数 ) 14、如图 19-5，某建筑物BC直立于水平地面，AC=9米，需建造阶梯AB ，使每阶高不超过20cm，则此阶梯最少需要建_阶( 最后一阶的高若不是20cm，按一阶计算 ) 。15、如图 19-6，小明将一张矩形纸片ABCD 沿 CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为 F，若 AB ：BC=4 ：5，则 cosDCF的值为 _ 二、选择题 ( 每小题 3 分，共 24 分 )( 四选一 ) 16、设直角三角形的边长分别为a、b、c，那么 a：b： c不可能等于 ( ) A. 3： 5： 4 B. 5： 12： 13 C. 2： 3： 4 D. 8：15：17 17、在 RtABC中，如果各边的长度扩大2 倍，那么锐角 A的各三角函数值A. 不变 B. 扩大 2 倍 C. 缩小 2 倍 D. 不能确定18、若 sin -cos =m 则 sin cos 的值为 ( ) A.1+m2 B.1-m2 C. 21(1+m2) D. 21 (1-m2) 19、如图 19-7 ，CD是平面镜， 光线从 A点出发经CD上点 E反射后照射到B点，若入射角为 ( 入射角等于反射角) 。AC CD ，BD CD ，垂足分别为C、D。 且 AC=3 ，BD=6 ，CD=11 ，则 tan 的值为 ( ) A.311 B.113 C.119 D.91120、在 RtABC的斜边 AB上另作 RtABD ，并以AB为斜边，若BC=1 ，AC=b ，AD=2，则 BD的长为( ) A.12b B. 32b C. 12b+2 D. 52b21、育人中学的师生准备测量某段渠水的深度，他们把一根竹竿插到离岸边1 米远的水底，只见竹竿高出水面 1 尺，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，如图19-8，则渠水的深度与竹竿的长度分别为A. 5 米， 4 米 B. 5尺， 4 尺 C. 1尺， 2 尺 D.1米， 2 米22、已知， 如图 19-9 ， 梯形 ABCD 中， AD BC ， B=450， C=1200， AB=8 ， 则 CD的长为 ( ) B A C 图 19-5 D C F A E B 图 19-6 B A C E D 图 19-7 图 19-8 A D 450 1200 B C 图 19-9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载A.368 B.46 C.328 D.4223、已知在 RtABC中， C=900，则关于x 的一元二次方程x2cotA-2x+cotB=0的根的情况是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 根的情况由 A、 B的值确定。三、解答题： ( 共 46 分) 24、(7 分)如图 19-10 。A、B 、C三个村庄在一条东西走向的公路上，AB=2千米，在 B村的正北方向有一个D村，测得 DAB=450， DCB=280，今将 ACD区域进行规划，除其中面积为0.5 平方千米的水塘外，准备把剩余区域的一半作绿化用地，试求绿化用地的面积( 结果精确到0.1 平方千米，sin280=0.4695,cos280=0.8829,tan280=0.5317,cot280=1.8808) 25、(7 分)某片绿地的形状如图19-11 ，A=600。AB BC ， ADCD ，AB=200m ，CD=100m ，求 AD 、BC的长 ( 精确到 1m，31.732) 26、(8 分) 某村计划开挖一条长为1500m的水渠，渠道的断面为等腰梯形，渠道深0.8m，下底宽 1.2m，坡度为 450，( 如图 19-12) ，实际开挖渠道时，每天比原计划多挖土20m3, 结果比原计划提前4 天完工，求原计划每天挖土多少立方米？27、(8 分) 如图 19-13，是一座人行天桥的示意图，天桥高10m ，坡面的倾斜角为450，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为300。若新坡脚前需留3m的人行道，问离原坡脚 10m的建筑物是否需要拆除？请说明理由。(21.414 ，3 1.732) 28、(8 分) 如图 19-14，不透明圆锥体DCE放在直线BP所在的水平面上，且BP过底面圆心，其高为23m ，底面半径为2m 。某光源位于点A处，照射圆锥体在水平面上留下的影长BE=4m 。 求 B的度数； 若 ACP=2 B，求光源A距平面的高度。D 450 280 A B C 图 19-10 A D B C 图 19-11 D C 0.8 米 450A 1.2米 B 图 19-12 C 10米D 3 A B 图 19-13 A D B E C P 图 19-14 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24 页优秀学习资料欢迎下载29、(8 分)如图 19-15 所示， A、B为两个村庄， AB 、BC、CD为公路， BD为田地， AD为河宽，且 CD与 AD互相垂直，现在要从E点开始铺设通往村庄A、村庄 B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：方案一： E DAB 方案二： E CBA。经测量得， AB=43千米， BC=10千米， CE=6千米，BDC=450, ABD=150, 已知地下电缆的修建费为2 万元 / 千米，水下电缆的修建费为4 万元 /千米。 求出河宽 AD(结果保留根号 ) ； 求公路 CD的长； 哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由。30、( 参考题 ) 在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案( 如图 19-16) 在测点 A安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角 MCE= ; 量出测点 A到旗杆底部N的水平距离AN=m ； 量出测倾器的高度AC=h 根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN 。如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度 ( 如图 19-17) 的方案； 在图 19-17 中，画出你测量小山高度MN的示意图( 标上适当字母) 写出你的设计方案。C E B A D 图 19-15 M C E A N 图 19-16 M N 图 19-17 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页