菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法：利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法：(1)分分别别求求出出斜斜线线和和它它在在平平面面内内的的射射影影的的方方向向向向量量，转转化化为求两个方向向量的夹角为求两个方向向量的夹角(或其补角或其补角)；(2)通通过过平平面面的的法法向向量量来来求求，即即求求出出斜斜线线的的方方向向向向量量与与平平面面的的法法向向量量所所夹夹的的锐锐角角，取取其其余余角角就就是是斜斜线线和和平平面面所所成成的的角角菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）图图1菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）又又A1A綊綊B1B，所所以以A1A綊綊C1D，所所以以A1ADC1是是平平行行四四边边形，形，所以所以A1C1 AD，所以，所以AD平面平面A1C1C，同理，同理，B1D平面平面A1C1C；又因为又因为B1DADD，所以平面，所以平面ADB1平面平面A1C1C，所以所以AB1平面平面A1C1C.(3)由由(1)知知AB平平面面AA1C，又又二二面面角角A1ABC是是直直二二面角，面角，菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）【反反思思启启迪迪】1.求求直直线线和和平平面面所所成成的的角角也也有有传传统统法法和和向向量量法法两两种种传传统统法法关关键键是是找找斜斜线线在在平平面面内内的的射射影影，从从而而找找出出线线面面角角；向向量量法法则则可可建建立立坐坐标标系系，利利用用向向量量的的运运算算求求解解用用向向量量法法可可避避开开找找角角的的困困难难，但但计计算算较较繁繁，所所以以要要注注意意计计算算上不要失误上不要失误2角角的的计计算算与与度度量量总总要要进进行行转转化化，这这体体现现了了转转化化的的思思想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）【解解】(1)证明证明AE平面平面CDE，CD平面平面CDE，AECD.在正方形在正方形ABCD中，中，CDAD，图图2菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）ADAEA，CD平面平面ADE.ABCD，AB平面平面ADE.(2)由由(1)知知平平面面EAD平平面面ABCD，取取AD中中点点O，连连接接EO，EAED，EOAD，EO平面平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐建立如图所示的空间直角坐标系，设标系，设AB2，则则A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(0，0，1)，设设M(x，y，z)，菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）利用空间向量法求二面角的方法：利用空间向量法求二面角的方法：(1)分分别别求求出出二二面面角角的的两两个个面面所所在在平平面面的的法法向向量量，然然后后通通过过两两个个平平面面的的法法向向量量的的夹夹角角得得到到二二面面角角的的大大小小，但但要要注注意意结结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角合实际图形判断所求角是锐角还是钝角(2)分分别别在在二二面面角角的的两两个个平平面面内内找找到到与与棱棱垂垂直直且且以以垂垂足足出出发发的的两两个个向向量量，则则这这两两个个向向量量的的夹夹角角的的大大小小就就是是二二面面角角的的大大小小以以上上两两种种方方法法各各有有利利弊弊，要要善善于于结结合合题题目目的的特特点点选选择择适适当的方法解题当的方法解题菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）【规范解答规范解答】取取BC的中点的中点E，AD的中点的中点P，连接，连接PE.在在 SAD中中 ， SA SD a， P为为 AD的的 中中 点点 ， 所所 以以SPAD.又又因因为为平平面面SAD平平面面ABCD，且且平平面面SAD平平面面ABCDAD，所以，所以，SP平面平面ABCD.显然有显然有PEAD.如图，以如图，以P为坐标原点，为坐标原点，PA为为x轴，轴，PE为为y轴，轴，PS为为z轴建轴建立空间直角坐标系，立空间直角坐标系，菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）【反反思思启启迪迪】1.当当空空间间直直角角坐坐标标系系容容易易建建立立时时，用用向向量法较为简洁明快量法较为简洁明快2用用法法向向量量求求二二面面角角的的大大小小时时，有有时时不不易易判判断断两两法法向向量量的的大大小小就就是是二二面面角角的的大大小小(相相等等或或互互补补)，但但我我们们完完全全可可以以根根据据图图形形得得出出结结论论，这这是是因因为为二二面面角角是是钝钝二二面面角角还还是是锐锐二二面面角一般是比较明显的角一般是比较明显的菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）【解解】(1)证证明明SD平平面面ABCD，SD平平面面SAD，平面平面SAD平面平面ABCD，ABAD， AB平平 面面 SAD， 又又 DE平平 面面 SAD，DEAB.菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）SDAD，E是是SA的中点，的中点，DESA，ABSAA，DE平面平面SAB，DE平面平面BED，平面平面BED平面平面SAB.(2)由题意知由题意知SD，AD，DC两两两两垂直，以垂直，以DA、DC、DS所在的所在的直线分别为直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立轴建立如图所示的空间直角坐标系如图所示的空间直角坐标系Dxyz，不妨设，不妨设AD2，则，则菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用） (2013深圳模拟深圳模拟)如图如图5，棱柱棱柱ABCDA1B1C1D1的所有的所有棱长都等于棱长都等于2，ABC和和A1AC均为均为60，平面，平面AA1C1C平面平面ABCD.(1)求证：求证：BDAA1；(2)求二面角求二面角DAA1C的余弦值；的余弦值；(3)在在直直线线CC1上上是是否否存存在在点点P，使使BP平平面面DA1C1，若若存在，求出点存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由的位置，若不存在，请说明理由菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）【规规范范解解答答】设设BD与与AC交交于于O，则则BDAC，连连接接A1O，在，在AA1O中，中，AA12，AO1，A1AO60，A1O2AAAO22AA1AOcos 603，AO2A1O2AA，A1OAO.由于平面由于平面AA1C1C平面平面ABCD，A1O平面平面ABCD.菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）【反反思思启启迪迪】利利用用空空间间向向量量解解决决探探索索性性问问题题，可可将将所所求求问问题题转转化化为为方方程程(组组)是是否否有有解解的的问问题题，可可通通过过解解方方程程(组组)来来判断是否有解判断是否有解菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）又又DC与与EC相交于相交于C，EF平面平面DCE.菜菜 单单新课标新课标 理科数学（广东专用）理科数学（广东专用）