第第1 1章章 函数与极限函数与极限典型例典型例题题大大纲纲要求要求习 题 课1. 1. 了解极限的概念了解极限的概念. .2. 2. 掌握极限四那么运算法掌握极限四那么运算法那么那么. .一、大纲要求一、大纲要求3. 3. 了解两个极限存在准那了解两个极限存在准那么么, ,4. 4. 了解无了解无穷小、无小、无穷大大, ,5. 5. 了解函数在一点延了解函数在一点延续的概念的概念. .6. 6. 了解延了解延续点的概念点的概念, ,并会断定延并会断定延续点的点的类型型. .7. 7. 了解初等函数的延了解初等函数的延续性和性和闭区区间上延上延续会用等价无会用等价无穷小求极限小求极限. .函数的性函数的性质. .以及无以及无穷小的小的阶的概念的概念. .会用两个重要极限求极限会用两个重要极限求极限. .二、典型例题二、典型例题P64 3(1)解解xy0证明明 证明明: :假假设f(x)f(x)在在( (,)内延内延续，且，且 存在存在, ,那么那么f(x)f(x)必在必在( (, , )内有界。内有界。P67 10又因又因f(x)f(x)在在 X X，XX上延上延续，所以，所以f(x)f(x)必必在在 X X，X X 上有界，上有界，所以所以f(x) f(x) 在在( (，)内有界。内有界。以下例题求极限以下例题求极限例例例例例例例例例例知知解解例例证明明例例例例解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x), (1-x), 那么那么例例解解且且为第一第一类 延延续点点. .腾跃 是第一是第一类腾跃延延续点点 是是第一第一类可可去延去延续点点是第二是第二类无无穷延延续点点解解是延是延续点点例例例例解解原极限原极限= =是是的几阶无穷小的几阶无穷小? ?解解1 1故故例例那么那么的的阶无穷小阶无穷小, ,设其为设其为是是的几阶无穷小的几阶无穷小? ?解解2 2故故例例那么那么的的阶无穷小阶无穷小, ,设其为设其为例例解解解解为正数正数, ,故故设那那么么由数学由数学归纳法知法知, ,对恣意正整数恣意正整数均有均有因此数列因此数列有界有界. . 例例又当又当因此有因此有即数列即数列单调添加添加. . 由由单调有界数列必有极限知有界数列必有极限知 存在存在. .两两边平方后取极限平方后取极限, ,得得 解之得解之得 ( (舍去舍去).).例例证明明讨论: :辅助函数的构造：助函数的构造：由零点定理知由零点定理知, ,综上上, ,证在在11，22和和22，33之之间用零点定理用零点定理令令例例证证在在11，22和和22，33之之间用零点定理用零点定理原方程原方程变形形为令令例例解解(1)解解(2)解解(3)解解(4)解解(5)解解(6)解解两两边取极限：取极限：作业作业 思索自测题思索自测题1 1证明明零点定理零点定理解解由数学由数学归纳法知法知, , 对恣意正整数恣意正整数均有均有因此数列因此数列有界有界. . 即数列即数列单调减少减少. . 由由单调有界数列必有极限知有界数列必有极限知 存在存在. .两两边取极限取极限, ,得得 解之得解之得 ( (舍去舍去).).数列数列有界有界. . 数列数列单调减少单调减少. . 解解