学习必备欢迎下载讲 义 内 容知识概括知识点一：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c 0)与直线 y=0(即 x轴) 的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a0)与 x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点） ，一个公共点，没有公共点，因此有：(1) 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个公共点 (x1，0)(x2，0)一元二次方程 ax2+bx+c=0有两个不等实根=b2-4ac0。(2) 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴只有一个公共点时， 此公共点即为顶点一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，(3) 抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0 没有实数根=b2-4ac0. (4) 事实上，抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=h 的公共点情况方程 ax2+bx+c=h的根的情况。抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=mx+n的公共点情况方程 ax2+bx+c=mx+n的根的情况。方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质， 求和已知一点对称的点坐标， 或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式， 二次三项式2(0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与x 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x 轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载题型一求字母系数的取值范围【例 1】若二次函数) 1(24) 1(22kkxxky的图象与 x 轴有两个交点，求k 的取值范围；练习 1：已知：关于 x 的函数772xkxy的图象与 x 轴总有交点，求 k 的取值范围？练习 2：已知抛物线2234yxkxk（k 为常数，且 k0） 证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；练习 3：已知关于 x 的二次函数 yx2（2m 1）xm23m 4.探究 m满足什么条件时，二次函数y 的图象与 x 轴的交点的个数 . 题型二一次函数图象和二次函数图象的交点问题【例 2】已知抛物线 C经过（-5，0），（0，25），（1，6）三点, 直线 l 的函数表达式为32xy；（1）求抛物线的表达式；（2）证明抛物线 C与直线 l 无交点；（3）若与 l 平行的直线mxy2与抛物线 C只有一个公共点 P，求点 P的坐标；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载练习 1：已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（ 1，0） ，与 y轴的交点坐标为（ 0，3） （1）求出 b，c 的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围题型三关于二次函数图象交点的综合问题【例 3】已知抛物线2234yxkxk（k 为常数，且 k0） （1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；（2）设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON，且1123ONOM，求k的值练习 1：抛物线2yxbxc 的部分图象如图所示，则方程02cbxx的两根为 . 练习 2：下列命题：若0abc，则240bac；若 bac，则一元二次方程20axbxc有两个不相等的实数根；若23bac ，则一元二次方程20axbxc有两个不相等的实数根；若240bac，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2 或 3. 其中正确的是（） . 只有只有只有只有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载【例 4】已知二次函数 y=x2+bxc 的图象与 x 轴两交点的坐标分别为（ m ，0） ， （3m ，0） （m 0） （1）证明 4c=3b2；（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值练习：已知关于x 的方程 mx2（3m 1）x+2m 2=0（1）求证：无论 m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于 x 的二次函数 y=mx2（3m 1）x+2m 2 的图象与 x 轴两交点间的距离为2 时，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系xoy 中，画出（ 2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页