二次函数知识点总结一、二次函数概念：1 二次函数的概念： 一般地，形如2yaxbxc （ abc， ， 是常数，0a） 的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而 bc， 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数2yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2abc， ， 是常数， a 是二次项系数，b是一次项系数，c 是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2yax 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 2yaxc 的性质：上加下减。3. 2ya xh的性质：左加右减。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0x时，y随 x 的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值00a向下00，y轴0x时，y随 x 的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0x时，y随 x 的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值 c 0a向下0c，y轴0x时，y随 x 的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值 c a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=h xh时，y随 x 的增大而增大；xh时，y随x 的增大而减小；xh时，y有最小值00a向下0h，X=h xh时，y随 x 的增大而减小；xh时，y随x 的增大而增大；xh时，y有最大值0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页4. 2ya xhk 的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax 的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”四、二次函数2ya xhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2ya xhk 与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，六、二次函数2yaxbxc的性质1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随 x的增大而减小；当2bxa时，y随 x的增大而增大；a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h xh时，y随 x 的增大而增大；xh时，y随x 的增大而减小；xh时，y有最小值k0a向下hk，X=h xh时，y随 x 的增大而减小；xh时，y随x 的增大而增大；xh时，y有最大值k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页当2bxa时，y有最小值244acba2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随 x 的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc （ a ，b， c 为常数，0a） ；2. 顶点式：2()ya xhk （ a ，h，k为常数，0a） ；3. 两根式（交点式） ：12()()ya xxxx（0a，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点， 即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a 当0a时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当0a时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴（同左异右b 为 0 对称轴为y 轴）3. 常数项 c 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c 决定了抛物线与y轴交点的位置九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc 当函数值0y时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数： 当240bac时，图象与x 轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根 . 当0时，图象与x 轴只有一个交点； 当0时，图象与x 轴没有交点 . 1当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2当0a时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y2. 抛物线2yaxbxc 的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0 ，)c ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247yxx的顶点坐标是 ( )A.(2, 11) B.（ 2，7） C.（2， 11） D. （2， 3）2. 把抛物线22yx向上平移1 个单位，得到的抛物线是（）A. 22(1)yx B. 22(1)yx C. 221yx D. 221yx3. 函数2ykxk和(0)kykx在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) 4. 已知二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图所示, 则下列结论 : a,b 同号 ; 当1x和3x时 , 函数值相等 ; 40ab当2y时, x的值只能取0. 其中正确的个数是 ( ) A.1 个 B.2个 C. 3个 D. 4个5. 已知二次函数2(0)yaxbxc a的顶点坐标（ -1 ，-3.2 ）及部分图象 ( 如图 ),由图象可知关于x的一元二次方程20axbxc的两个根分别是121.3xx和（） . B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则点(,)ac bc在（）A第一象限B第二象限C第三象限 D 第四象限7. 方程222xxx的正根的个数为（）A.0 个 B.1个 C.2个. 3 个8. 已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22yxx B. 22yxxC. 22yxx或22yxx D. 22yxx或22yxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页二、填空题9二次函数23yxbx的对称轴是2x，则b_。10已知抛物线y=-2 （x+3）2 +5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 _. 11一个函数具有下列性质：图象过点（1，2） ，当x0 时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可） 。12抛物线22(2)6yx的顶点为C，已知直线3ykx过点 C ，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。13. 二次函数2241yxx的图象是由22yxbxc的图象向左平移1 个单位 , 再向下平移2 个单位得到的 , 则 b= ,c= 。14如图， 一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16 米，跨度是 40 米，在线段AB上离中心M处 5 米的地方，桥的高度是 (取 3.14). 三、解答题：15. 已知二次函数图象的对称轴是30x, 图象经过 (1,-6),且与y轴的交点为 (0,52). (1) 求这个二次函数的解析式; (2) 当 x 为何值时 , 这个函数的函数值为0? (3) 当 x 在什么范围内变化时, 这个函数的函数值y随 x 的增大而增大? 16. 某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t （秒）符合关系式2012hv tgt（ 0t 2） ，其中重力加速度 g 以 10 米/ 秒2计算这种爆竹点燃后以v0=20 米/ 秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15 米？（2）在爆竹点燃后的1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由. 第 15 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页17. 如图，抛物线2yxbxc经过直线3yx与坐标轴的两个交点 A、 B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D. （1）求此抛物线的解析式；（2）点 P为抛物线上的一个动点，求使APCS：ACDS5 ：4 的点 P的坐标。18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理） 当每吨售价为260元时，月销售量为45 吨该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10 元时，月销售量就会增加7. 5 吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100 元设每吨材料售价为x（元） ，该经销店的月利润为y（元） （1）当每吨售价是240 元时，计算此时的月销售量；（2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围） ；（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由二次函数应用题训练1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x（分）之间满足函数关系：y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0x30). （1）当 x 在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当x 在什么范围内时，学生的接受能力逐步减弱？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页（2）第 10 分钟时，学生的接受能力是多少？（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？2、 如图 , 已知 ABC是一等腰三角形铁板余料, 其中 AB=AC=20cm,BC=24cm. 若在 ABC上截出一矩形零件DEFG,使 EF在 BC上, 点 D、G分别在边AB 、AC上 . 问矩形 DEFG 的最大面积是多少? FEBGDCA3、 如图 , ABC中, B=90,AB=6cm,BC=12cm.点 P从点 A开始 , 沿 AB边向点 B 以每秒 1cm的速度移动 ; 点 Q从点 B开始 , 沿着 BC边向点 C以每秒 2cm的速度移动 . 如果 P,Q 同时出发 , 问经过几秒钟PBQ的面积最大 ?最大面积是多少? BQCPA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页4、如图， 一位运动员在距篮下4 米处跳起投篮， 球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 米时，达到最大高度3.5 米，然后准确落入篮圈. 已知篮圈中心到地面的距离为3.05 米 . (1) 建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式; (2) 该运动员身高1.8 米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少 . 4 m(0,3.5)3.05 mx yO5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m. (1) 要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2) 如果中间有n(n 是大于 1 的整数 ) 道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m ？比较 (1)(2)的结果，你能得到什么结论？x6、某商场以每件20 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件) 与每件的销售价x( 元 ) 满足关系： m=140 2x. (1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式; (2) 如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页二次函数专题复习图像特征与 a、b、c、符号的关系1、已知二次函数2yaxbxc，如图所示，若0a，0c，那么它的图象大致是（）y y y y x x x x A B C D 2、已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则点(,)ac bc在 （）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3、已知二次函数2yaxbxc=+的图象如下，则下列结论正确的是（）A 0abB 0bcD 0abc-+0；c0；?b2-4ac0，其中正确的个数是（）A0 个B1 个C2 个D3 个5、二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图 1，则点 M（b，ca）在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6、二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则（）A、0a，240bacB、0a，240bacC、0a，240bacD、0a，240bac7、已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac 0 B、a-b+c0 C、b=-4a y x 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页D、关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的根是x1=-1，x2=5 8、已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论：b2-4ac0；abc0；8a+c0；9a+3b+c0 其中，正确结论的个数是（）A、1 B、2 C、3 D、4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页二次函数对应练习试题参考答案一，选择题、1A 2 C 3 A 4 B 5 D 6 B 7C 8 C 二、填空题、 9 4b 10 x-3 11 如224,24yxyx等（答案不唯一）12 1 13-8 7 1415 三、解答题15 (1) 设抛物线的解析式为2bxcyax, 由题意可得解得15,3,22abc所以215322yxx(2)1x或-5 (2)3x16 （1）由已知得，211520102tt，解得123,1tt当3t时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃后 1 秒离地 15 米 （ 2）由题意得，2520htt25(2)20t，可知顶点的横坐标2t，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5 秒至 108 秒这段时间内，爆竹在上升17 （1）直线3yx与坐标轴的交点A（3，0） ，B（0， 3） 则9303bcc解得23bc所以此抛物线解析式为223yxx （2）抛物线的顶点D （1，4） ，与x轴的另一个交点C （ 1，0）. 设 P2( ,23)a aa，则211(423) :(44)5: 422aa. 化简得2235aa当223aa0 时，2235aa得4,2aaP（4， 5）或 P（ 2，5）当223aa0 时，2235aa即2220aa，此方程无解综上所述，满足条件的点的坐标为（ 4， 5）或（ 2， 5） 18 （1）5.71024026045=60（吨） （2）260(100)(457.5)10xyx，化简得：23315240004yxx （3）24000315432xxy23(210)90754x红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210 元（4）我认为，小静说的不对理由：方法一：当月利润最大时，x 为 210 元，而对于月销售额32652baabcc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页)5.71026045(xxW23(160)192004x来说，当 x 为 160 元时，月销售额W最大当x 为 210 元时，月销售额W不是最大小静说的不对方法二：当月利润最大时，x 为 210 元，此时，月销售额为17325 元；而当 x 为 200 元时，月销售额为 18000 元 1732518000， 当月利润最大时，月销售额W不是最大小静说的不对二次函数应用题训练参考答案1、 （1）0x13，13x30； （2）59； （3）13. 2、过 A 作 AM BC 于 M,交 DG 于 N,则 AM=222012=16cm. 设 DE=xcm,S 矩形=ycm2,则由ADGABC, 故ANDGAMBC,即161624xDG,故 DG=32(16-x). y=DGDE=32(16-x)x=-32(x2-16x)=-32(x-8)2+96, 从而当 x=8 时,y 有最大值 96.即矩形 DEFG 的最大面积是 96cm2. 3、设第 t 秒时,PBQ的面积为 ycm2.则AP=tcm,PB=(6-t)cm; 又 BQ=2t.y=12PBBQ=12(6-t)2t=(6-t)t=-t2+6t=-(t-3)2+9, 当 t=3 时,y 有最大值 9. 故第 3 秒钟时 PBQ 的面积最大 ,最大值是 9cm2. 4、解： (1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c. 由图知图象过以下点： (0，3.5)，(1.5，3.05). . 5.3, 0, 2. 0,5 .15.105. 3, 5. 3, 022cbacbacab得抛物线的表达式为y=0.2x2+3.5. (2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m，则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25=(h+2.05) m, h+2.05=0.2(2.5)2+3.5, h=0.2(m). 5、解： (1)依题意得鸡场面积 y=.350312xxy=31x2+350x=31(x250x) =31(x25)2+3625, 当 x=25 时，y最大=3625, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页即鸡场的长度为 25 m 时，其面积最大为3625m2. (2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为nx50m. y=nx50x=n1x2+n50x=n1(x250x) =n1(x25)2+n625, 当 x=25 时，y最大=n625, 即鸡场的长度为 25 m 时，鸡场面积为n625m2. 结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25 m. 6、解： (1)y=2x2+180x2800. (2)y=2x2+180x2800 =2(x290x)2800 =2(x45)2+1250. 当 x=45 时，y最大=1250. 每件商品售价定为45 元最合适，此销售利润最大，为1250 元. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页