第二十四章第二十四章 圆圆（1 1） 技技 能能 训训 练练2课后强化作业课后强化作业4知知 识识 测测 评评1当当 堂堂 检检 测测31、掌握圆的定义和有关概念、掌握圆的定义和有关概念；2、熟练应用垂径定理进行推理证明、熟练应用垂径定理进行推理证明. 1学习目标学习目标-3 3、真正理解弧、弦、圆心角及圆周角的、真正理解弧、弦、圆心角及圆周角的概念和应用概念和应用；4 4、确定点与圆的位置关系，掌握三角形的三角形的外接圆、外心的概念外接圆、外心的概念1 1、圆可以看成是所有到定点的距离等于、圆可以看成是所有到定点的距离等于_的点的的点的集合集合. .2 2、确定圆的两个条件：、确定圆的两个条件：_其中其中_确确定圆的位置，定圆的位置，_确定圆的大小确定圆的大小. .3 3、弦是连接圆上任意、弦是连接圆上任意_的线段的线段._._是最长是最长的弦的弦. .4 4、弧是圆上任意两点间的、弧是圆上任意两点间的_._.5 5、由圆的定义可知，圆指的是、由圆的定义可知，圆指的是_（填（填“圆周圆周”或或“圆面圆面”）知识测评知识测评-圆的定义及有关概念圆的定义及有关概念半径圆心和半径两点直径部分圆心半径圆周6 6、圆的任意一条、圆的任意一条_的两个端点把圆分成两条弧，的两个端点把圆分成两条弧，每一条每一条_都叫做半圆。优弧是都叫做半圆。优弧是_半圆的弧，半圆的弧，劣弧是劣弧是_半圆的弧。半圆的弧。7 7、在同圆或等圆中、在同圆或等圆中,_,_叫做等弧。叫做等弧。8 8、等圆是能够、等圆是能够_的两个圆。的两个圆。直径弧大于小于能够互相重合的弧重合知识测评知识测评-圆的定义及有关概念圆的定义及有关概念9 9、已知、已知的直径的直径为12cm12cm，则半径半径为_._.1010、确定一个、确定一个圆的条件的条件为（ ）A A圆心心 B B半径半径 C C圆心和半径心和半径 D D以上都不以上都不对. .1111、如右上、如右上图所示，所示，圆中弦的条数有（中弦的条数有（ ）A A、2 B2 B、3 C3 C、4 D4 D、5 51212、如、如图，弦有，弦有_，直径，直径_，最，最长的弦是的弦是_，优弧有弧有_；劣弧有；劣弧有_._.6cmCAAB,BC,CAABAB技能训练技能训练-圆的定义及有关概念圆的定义及有关概念1313、判断下列说法是否正确、判断下列说法是否正确. .（1 1）直径是弦）直径是弦. .（ ） （2 2）弦是直径）弦是直径. .（ ）（3 3）半圆是弧）半圆是弧.( ) .( ) （4 4）弧是半圆）弧是半圆.( ).( )（5 5）等弧的长度相等）等弧的长度相等.( ).( )（6 6）长度相等的两条弧是等弧）长度相等的两条弧是等弧.( ).( )知识测评知识测评-圆的定义及有关概念圆的定义及有关概念1414、圆是、圆是 _ _图形图形,_ ,_ 所在的所在的直线都是它的对称轴直线都是它的对称轴. . 1515、垂径定理、垂径定理:_:_平分这条弦，并平分这条弦，并且平分弦且平分弦_ . .推论：平分弦（不是推论：平分弦（不是 _）的直径）的直径 _弦，并且弦，并且_弦所对的两条弧弦所对的两条弧. .轴对称称任何一条直径任何一条直径垂直于弦的直径垂直于弦的直径所所对的两条弧的两条弧直径直径垂直于垂直于平分平分知识测评知识测评-垂径定理垂径定理16、如图1.AB是O的直径，弦CDAB，垂足为M，若CD=8，则CM=_.图1图217、如图2，O的半径OA=4，AB是O的一条弦，且AB=4 ，则 =_.4300技能训练技能训练-垂径定理垂径定理1818、如图，在、如图，在OO中，中，AB,ACAB,AC为互相垂为互相垂直且相等的两条弦，直且相等的两条弦，ODAB,ODAB,OEAC,OEAC,垂足分别为垂足分别为D D、E.E.求证：四边形求证：四边形ADOEADOE是正方形是正方形. .技能训练技能训练-垂径定理垂径定理1919、_叫圆心角叫圆心角. .2020、弧、弦、圆心角的关系：在、弧、弦、圆心角的关系：在_中，中，两个圆心角、两个圆心角、_、_中有一组量相等，中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也它们所对应的其余各组量也_._.顶点在点在圆心的角心的角同同圆或等或等圆两条弧两条弧两条弦两条弦相等相等知识测评知识测评-弧、弦、圆心角弧、弦、圆心角2121、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦也，所对的弦也 2222、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的它们所对的_相等，相等， 所对的弦也所对的弦也_2323、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角它们所对的圆心角_， 所对的所对的_也相等也相等 同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 . .相等相等相等相等圆心角心角相等相等相等相等弧弧相等相等知识测评知识测评-弧、弦、圆心角弧、弦、圆心角2424、如下图，、如下图，ABAB、CDCD是是OO的两条弦的两条弦. . 如果如果AB=CDAB=CD，那么，那么_，_._.如果如果 ，那么，那么_，_. _. 如果如果AOB=CODAOB=COD，那么，那么_，_._.如果如果AB=CD,OEABAB=CD,OEAB于点于点E E，OFCDOFCD于点于点F,OEF,OE与与OFOF相等相等吗？为什么？吗？为什么？ AOB= CODAB=CD AOB= CODAB=CD解：解：OE=OFOE=OF AB=CD AB=CD OEAB OFCDOEAB OFCD OA=OD OA=OD OB=OCOB=OCOABODCOABODC全等三角形相同的边上的高相等全等三角形相同的边上的高相等技能训练技能训练-弧、弦、圆心角弧、弦、圆心角25、如图，在、如图，在O中中 ACB=60.求证：求证： AOB= BOC= AOC.证明：证明： _ AB=ACABC是等腰三角形是等腰三角形.ACB=60,ABC是是_三角形三角形 _ . _ . 等边等边AB=BC=CA AOB= BOC= AOC技能训练技能训练-弧、弦、圆心角弧、弦、圆心角26、如如图，AB是是O的直径，的直径， COD=35 ，求，求 AOE的度数的度数.解：解： ， COD=35 BOC= COD= DOE=35 AOE= AOB- BOC COD- DOE =180-35 -35 -35 =75技能训练技能训练-弧、弦、圆心角弧、弦、圆心角2727、如果两个圆心角相等，那么（、如果两个圆心角相等，那么（ ） A A、这两个圆心角所对的弦相等、这两个圆心角所对的弦相等 B B、这两个圆心角所对的弧相等、这两个圆心角所对的弧相等C C、这两个圆心角所对的弦的弦心距相等、这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D D、以上说法都不对、以上说法都不对D技能训练技能训练-弧、弦、圆心角弧、弦、圆心角2828、顶点在点在 ，并且两，并且两边都与都与圆 的角的角叫做叫做圆周角周角2 29 9、圆周角定理：周角定理： . .3 30 0、推、推论： 所所对的的圆周角相等。周角相等。 所所对的的圆周角也相等，都等于周角也相等，都等于9090。9090的的圆周角所周角所对的弦是的弦是 。 一条弧所一条弧所对的的圆周角等于它周角等于它所所对的的圆心角的一半心角的一半.圆上上相交相交同弧或等弧同弧或等弧半半圆（或直径）（或直径）直径直径 知识测评知识测评-圆周角定理及推论圆周角定理及推论3 31 1、如下左图，、如下左图，O O的直径的直径ABAB垂直于弦垂直于弦CDCD，ABAB、CDCD相交于点相交于点E E，CODCOD100100，则，则COECOE= = ，DOEDOE= = . .3 32 2、如下右图，、如下右图，ABAB、ACAC、BCBC都是都是O O的弦，若的弦，若CABCABCBACBA，则，则COB=COB= ,AC=,AC= . .50500 050500 0COACOABCBC技能训练技能训练-圆周角定理及推论圆周角定理及推论 3232、证明圆周角定理、证明圆周角定理. .在在O O任取一个圆周角任取一个圆周角BACBAC，则圆心，则圆心O O在在圆周角的位置，会出现三种情况：圆周角的位置，会出现三种情况：在圆周角的一条边上（如图在圆周角的一条边上（如图1 1）圆心圆心O O在在BACBAC的一条边上的一条边上. .OA=OCOA=OC . .BOC=A+CBOC=A+CBOC=A+A BOC=A+A 即：即： . .A=CA=C技能训练技能训练-圆周角定理及推论圆周角定理及推论弧所对的圆周角等于它弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半所对的圆心角的一半. .在在圆周角的内部即：周角的内部即：圆心心O在在 BAC的内部的内部. 由由可知：可知： DAC= DOC BAD= .DAC+ BAD=_BAC= .在在圆周角的外部即：周角的外部即：圆心心O在在 BAC的外部的外部. 由由可知：可知： DAC= ， BAD= .DAC- BAD= _ BAC= .知识测评知识测评-圆周角定理及推论圆周角定理及推论3333、如图，、如图，OA,OB,OCOA,OB,OC都是都是O O的半径，的半径， AOB=2BOC.AOB=2BOC.求证：求证：ACB=2BACACB=2BAC证明：证明：技能训练技能训练-圆周角定理及推论圆周角定理及推论34、 如如图，O的直径的直径 AB 为10 cm，弦，弦 AC 为6 cm， ACB 的平分的平分线交交O于于 D.求求BC、AD、BD的的长解：解：连接接ODAB是直是直经， ACB= ADB= ( )在在RtABC中，中，BC= = = .CD平分平分 ACB， = ， AD=BD.又在又在RtABC中，中， + = , 令令AD=BD=X 即即 + = ，解得解得x = ，AD=BD= .90ACD直径所对的圆周角是直角8BCDx2x2技能训练技能训练-圆周角定理及推论应用圆周角定理及推论应用3535如果一个多边形的如果一个多边形的 都在同一个都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形；这个圆圆上，这个多边形叫做圆内接多边形；这个圆叫做这个多边形的叫做这个多边形的 . .3636、如图，四边形如图，四边形ABCDABCD 是是O O的的 ，O O是四边形是四边形ABCD ABCD 的的 . . 顶点点外接外接圆内接四内接四边形形外接外接圆知识测评知识测评-圆内接四边形圆内接四边形37、性性质：圆内接四内接四边形的形的对角角 .已知已知:如如图.四四边形形ABCD是是O的内接四的内接四边形形求求证：A+C=180，B+D=180证明：明：连接接OB、OCA所所对的弧是的弧是 ，C所所对的弧是的弧是 ，且且 和和 所所对的的圆心角的和是心角的和是 ，A+C= = .同理：同理： .互补互补弧DCB弧BAD弧DCB弧BAD360x360180B+D=180技能训练技能训练-圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质38、如、如图，四，四边形形ABCD是是O的内接四的内接四边形，形，D=50，则ABC= 39、如、如图，四，四边形形ABCD内接于内接于O，若，若C=36，则A的度数的度数为_ .40、如、如图，四，四边形形ABCD是是圆内接四内接四边形，形，E是是BC延延长线上一点，若上一点，若BAD=105，则DCE= 130144105技能训练技能训练-圆内接四边形圆内接四边形4141、点和圆的位置关系有：、点和圆的位置关系有：_._.4242、经过一点可以作、经过一点可以作_ _个圆；个圆； 经过两点可以作经过两点可以作_个圆，个圆， 经过不在同一直线上的三个点可以作经过不在同一直线上的三个点可以作_个圆个圆.1 1、点在圆上、点在圆上2 2、点在圆内、点在圆内3 3、点在圆外、点在圆外无数无数无数无数一一知识测评知识测评-点和圆的位置关系点和圆的位置关系4343、到圆心的距离等于半径的点在、到圆心的距离等于半径的点在 ，大于半径的点在，大于半径的点在 ，小于半径的点在，小于半径的点在 4444、如图，在平面内任意取一点、如图，在平面内任意取一点P P，若圆的半径为若圆的半径为r r，点，点P P到圆心到圆心O O的的距离为距离为d d，那么：，那么：点点P P在圆内在圆内 d d r r 点点P P在圆上在圆上 d d r r 点点P P在圆外在圆外 d d r r注：注：“ ”“ ”读作读作“等价于等价于”，它表示从符，它表示从符号的左边可以推出号的左边可以推出 ，从右边可以推出，从右边可以推出 . .圆上圆上圆外圆外圆内圆内=右边右边左边左边知识测评知识测评-点和圆的位置关系点和圆的位置关系4545、经过三角形的三个顶点可以作、经过三角形的三个顶点可以作 个圆，个圆，这个圆叫做三角形的这个圆叫做三角形的 圆圆4646、外接圆的圆心是三角形三条边的、外接圆的圆心是三角形三条边的 的交点，也叫做这个三角形的的交点，也叫做这个三角形的 4747、判断、判断 ：下列语句下列语句三角形的外心是各边垂直平分线的交点；三角形的外心是各边垂直平分线的交点；三角形的外心到三角形三边的距离相等；三角形的外心到三角形三边的距离相等；等腰三角形的外心一定在这个三角形内等腰三角形的外心一定在这个三角形内. .正确的是正确的是 . .一一外接外接垂直平分线垂直平分线外心外心知识测评知识测评-三角形的外接圆三角形的外接圆4848、不是直接从命题的已知得出结论，而是假、不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论设命题的结论 ，由此经，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立这种证明方法叫做从而得到命题成立这种证明方法叫做 不成立不成立反证法反证法知识测评知识测评-反证法反证法证明：如图，假设过同一直线证明：如图，假设过同一直线L L上的上的A A、B B、C C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P P，那么点那么点P P既在线段既在线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线L L1 1上，又上，又在线段在线段 的垂直平分线的垂直平分线L L2 2上，上，即点即点P P为为L L1 1与与L L2 2的的 点，而点，而L L1 1LL，L L2 2LL，这与我们以前所学的，这与我们以前所学的“过一点有过一点有且只有且只有 条直线与已知直线条直线与已知直线 ”相矛盾所以，相矛盾所以，过同一直线上的三点不能过同一直线上的三点不能作圆作圆BC垂直4949、用反证法的证明：、用反证法的证明：经过同一条直线上的三点不经过同一条直线上的三点不能作出一个圆能作出一个圆练一一练：用反证法证明“一个三角形不能有两个角是钝角”的第一步_ .交交假设一个三角形有两个角是钝角假设一个三角形有两个角是钝角知识测评知识测评-反证法反证法一5050、过在同一平面上的三点、过在同一平面上的三点 （填（填“一定一定”或或“不一定不一定”）可以画一个圆）可以画一个圆. .5151、判断下列说法是否正确、判断下列说法是否正确任意的一个三角形一定有一个外接圆。任意的一个三角形一定有一个外接圆。 ( ( ) )任意一个圆有且只有一个内接三角形任意一个圆有且只有一个内接三角形 。 ( ( ) )经过三点一定可以确定一个圆。经过三点一定可以确定一个圆。 ( ( ) )三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。（三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。（ ）不一定不一定技能训练技能训练-点和圆的位置关系点和圆的位置关系 数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，数学知识是最纯粹的逻辑思维活动， 以及最高级智能活力美学体现。以及最高级智能活力美学体现。 普林舍姆普林舍姆 C1AOBC2C3如如图，O 的直径的直径 AB 为 10 cm，弦，弦 AC 为 6 cm，ACB 的平分的平分线交交O 于点于点 D，求，求 BC，AD，BD 的的长解：解：连接接 OD，AD，BD， ACBDOAB 是是O 的直径，的直径，ACB=ADB=90在在 RtABC 中，中，BC= =8（cm）技能训练技能训练-综合综合如如图，O 的直径的直径 AB 为 10 cm，弦，弦 AC 为 6 cm，ACB 的平分的平分线交交 O 于点于点 D，求，求 BC，AD，BD 的的长ACBDOCD 平分平分ACB，ACD=BCD， AOD=BOD AD=BD 在在 RtABD 中，中， AD2+BD2=AB2 ，AD=BD=（cm）技能训练技能训练-综合综合